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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)(北京卷)本试卷满分 150 分,考试时 120 分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,第一部分(选择题 共 40 分)一、选择题(共8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1已知集合 A1,0,1,Bx|1xb,则()Aacbc B.1ab2 Da3b3 答案 D 解析 当 ab 时,a3b3成立A 中对 c0 不成立B 项取 a1,b1,则1ab2不成立 3下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的是()Ay1x Byex Cyx21 Dylg|x|答案 C 解析 A
2、 中为奇函数,B 中 yex非奇非偶函数yx21 是偶函数,且在(0,)上递减 4在复平面内,复数 i(2i)对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 A 解析 i(2i)2i1 对应点(1,2)在第一象限 5在ABC 中,a3,b5,sin A13,则 sin B 等于()A.15 B.59 C.53 D1 答案 B 解析 由正弦定理,asin Absin B,sin Bbasin A531359.6执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()A1 B.23 C.1321 D.610987 答案 C 解析 执行一次循环后 S23,i1,执行第二次循环后,S1321
3、,i22,退出循环体,输出 S 的值为1321.7双曲线 x2y2m1 的离心率大于 2的充分必要条件是()是否结束输出Si2i=i+1S=S2+12S+1开始i=0,S=1Am12 Bm1 Cm1 Dm2 答案 C 解析 由 x2y2m1 知,a1,b m,c2a2b21m,e2c2a21m,由 e 2,得 1m2,m1.8.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,P 为对角线 BD1的三等分点,P 到各顶点的距离的不同取值有()A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 答案 B 解析 设正方体边长为 1,不同取值为 PAPCPB163,PA1PDPC11,PB33,PD12 33共有 4
4、 个 第二部分 二、填空题 9若抛物线 y22px 的焦点坐标为(1,0),则 p_;准线方程为_ 答案 2 x1 解析 y22px 的焦点 Fp2,0.p2,准线 l:xp21.10某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为_ 答案 3 解析 由三视图知,四棱锥的高 h1,底面是边长为 3的正方形,四棱锥的体积 V13Sh133213.11若等比数列an满足 a2a420,a3a540,则公比 q_;前 n 项和 Sn_.答案 2 2n12 解析 设等比数列的公比为 q,由 a2a420,a3a540.20q40,且 a1qa1q320,解之得q2,且 a12.因此 Sna11qn122n1
5、2.12设 D 为不等式组 x0,2xy0,xy30表示的平面区域区域 D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_ 答案 25 5 解析 PACBDC1B1D1A1 作不等式组表示的平面区域,如图所示(OAB 及其内部),易观察知,所求最小值为点 P(1,0)到2xy0 的距离 d|210|221225 5.13函数 f(x)log12x,x1,2x,x1的值域为_ 答案(,2)解析 当 x1 时,log12x0;当 x1 时,02x2,f(x)的值域为(,0(0,2)(,2)14 已知点 A(1,1),B(3,0),C(2,1)若平面区域 D 由所有满足 APABAC(12,01)的点
6、P 组成,则 D 的面积为_ 答案 3 解析 设 P(x,y),且AB(2,1),AC(1,2)OPOAAP(1,1)(2,1)(1,2)x12y12 32yx332xy3 又 12,01 0 x2y362xy9表示的可行域是平行四边形及内部 可求其面积 S3.三、解答题(共 6 小题,共 80 分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤)15(本小题共 13 分)已知函数21()(2cos1)sin2cos42f xxxx(1)求()f x的最小正周期及最大值。(2)若(,)2,且2()2f,求的值。解(1)f(x)(2cos2x1)sin 2x12cos 4x cos 2xsin 2x12co
7、s 4x 12(sin 4xcos 4x)22sin4x4 f(x)的最小正周期 T2,最大值为22.(2)由 f()22,得 sin441.2,则94440 时,f(x)0,f(x)在(0,)递增 当 x0 时,f(x)1 时曲线 yf(x)与直线 yb 有且仅有两个不同交点 19直线 ykxm(m0)与椭圆 W:x24y21 相交于 A、C 两点,O 是坐标原点(1)当点 B 的坐标为(0,1),且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长;(2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 OABC 不可能为菱形 (1)解 四边形 OABC 为菱形,则 AC 与 OB 相互垂直
8、平分 由于 O(0,0),B(0,1)设点 At,12,代入椭圆方程得t24141 则 t 3,故|AC|2 3.(2)证明 假设四边形 OABC 为菱形,因为点 B 不是 W 的顶点,且 ACOB,所以 k0.由 x24y24,ykxm,消 y 并整理得(14k2)x28kmx4m240.设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 x1x224km14k2,y2y22kx1x22mm14k2.所以 AC 的中点为 M4km14k2,m14k2.因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m0,k0,所以直线 OB 的斜率为14k,因为 k14k141,所以 AC 与 OB 不垂直 所以 OAB
9、C 不是菱形,与假设矛盾 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形 20给定数列 a1,a2,an.对 i1,2,n1,该数列前 i 项的最大值记为 Ai,后 ni 项 ai1,ai2,an的最小值记为 Bi,diAiBi.(1)设数列an为 3,4,7,1,写出 d1,d2,d3的值;(2)设 a1,a2,an(n4)是公比大于 1 的等比数列,且 a10.证明:d1,d2,dn1是等比数列(3)设 d1,d2,dn1是公差大于 0 的等差数列,且 d10.证明:a1,a2,an1是等差数列 (1)解 d12,d23,d36.(2)证明 因为 a10,公比 q1.数列
10、 a1,a2,a3,an(n4)是递增数列 因此,对 i1,2,n1,Aiai,Biai1,diAiBiaiai1a1qn1(1q)因此 di0,且di1diq(i1,2,n2),故数列 d1,d2,dn1是等比数列(3)证明 设 d 为 d1,d2,dn1的公差,且 d0,对于 1in2,因为 BiBi1,d0.Ai1Bi1di1BididBidiAi,又因为 Ai1maxAi,ai1,所以 ai1Ai1Aiai.从而 a1,a2,an1是递增数列,因此 Aiai(i1,2,n1)又因为 B1A1d1a1d1a1,所以 B1a1a2an1.因此 anB1,所以 B1B2Bn1an.所以 aiAiBidiandi,因此对于 i1,2,n2 都有 ai1aidi1did.故数列 a1,a2,a3,an1是等差数列