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1、两角差的余弦公式两角差的余弦公式教学设计教学设计课题课题两角差的余弦公式两角差的余弦公式 项目项目内内 容容理论依据或设计意图理论依据或设计意图教教 材材 地地 位位 及及 作作 用用两角差的余弦公式是普通高中课 程标准实验教科书人教 A 版数学 4（必修） 中的第三章的 3.1.1 节内容，教学课时为 1 课时。前两章学生已经学习了任意角的 三角函数和平面向量等知识，对三角函数 有了一定的认识，有利于学生接受两角差 的余弦公式. 两角差的余弦公式是三角恒等变换 这一章中的一个重要内容，只有对两角差 的余弦公式有了认识，才能够以此为基础 推导其他三角恒等变换公式。这是一个逻 辑推理过程也是一个
2、认识三角函数式的特 征，体会三角恒等变换特点的过程.课程标准教教材材分分析析教教学学目目标标1 1知识与技能知识与技能（1）通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能.（2）通过公式的灵活应用，使学生掌握两角差的余弦公式的作用. 2 2过程与方法过程与方法 （1）利用两角差的余弦公式推导过程， 使学生体会向量在代数几何方面运用的方 式方法. （2）在公式的灵活运用过程中进一步 培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、 数形结合思想. 3 3情感态度与价值观情感态度与价值观通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、应用的获取知识的方式。从应用
3、中去体会数学的严谨，形成理性思维，体会向量及两角差的余弦公式的运用价值。根据新课程标准 的要求，从提高学生 的数学素质和能力出 发，结合学生心理发 展的需求，以及人格、 情感、价值观的具体 要求制订.重重 难难 点点重点：重点：两角差的余弦公式的运用. 难点：难点：用两角差余弦公式进行简化、计算 及逆用公式等技能.数学教学不仅使 学生理解知识的发生 过程，更重要是培养 学生对知识的应用能 力.一一以以 境境 激激 情情我们已经知道2330cos,2245cos由此我们能否得到的值呢？15cos对于coscos)cos(你们同意这个观点吗？说说理由？通过学生熟知的特殊角余弦值引入问题，引发认知冲
4、突，引出本节课题.使学生明确数学是一 门严谨的科学，激励 学生探索新知.教教学学设设计计二二研研 探探 论论 证证活动活动 1 1： （教师活动）（教师活动）提出问题：究竟该如何计 算？对于求角的余弦值这种问题，)cos( 我们有哪些方法？（学生活动（学生活动）回忆三角函数定义、三角 函数线以及平面向量数量积运算等相关知 识.活动活动 2:2: （教师活动）（教师活动）引导学生尝试用向量的方法 来探究如何计算.)cos( 先复习两个向量数量积的定义与坐标运 算公式；定义式：；cosbaba坐标式：2121yyxxba（学生活动）（学生活动）在平面直角坐标系中作单位圆，以轴非负半轴为始边作角，x
5、它们的终边与单位圆的交点分别为、OA，则，；Bsin,cosAsin,cosB试用、两点的坐标表示的余弦ABAOB值。通过设问，激发学生自觉回顾三角函数和向量的相关知识，为公式的探索提供思路.通过带有指向性的问 题，使学生意识到， 向量方法可能是解决 问题的工具，引导学 生建立向量使用的数 学环境，培养学生自 主探索和数形结合的 能力.教教学学设设计计二二研研 探探 论论 证证（教师活动）（教师活动）引导学生经历用向量方法探索求，结合图形，明确应选择哪)cos(几个向量，它们怎么用坐标表示？怎样利用数量积计算公式得到推导结果？（学生活动）（学生活动）计算，得到OBOA；sinsincoscos
6、OBOA另一方面，从定义式计算； coscosOBOAOBOA得出结论 sinsincoscoscos活动活动 3 3：（教师活动）（教师活动）引导学生思考,的,范围，完善公式的推导.（学生活动（学生活动）提出的任意性，而向量夹角为 ，学生产生疑惑：与向, 0量之间的夹角有什么关系呢？教师活动：几何画板动态展示，引导学生结合计算机图形语言和三角函数诱导公式对公式的严密性进行论证.根据终边相 kk 2,2 ,()2(;2, 0) 1 (同的角的性质，cos)cos(活动活动 4 4： （教师活动）（教师活动）引导学生说出两角差的余弦 公式的结构特点. （学生活动）（学生活动）发现公式左边是差角的
7、余弦， 右边是单角同名三角函数值乘积之和.活动活动 5 5：例题分析：例题分析 （教师活动）（教师活动）在教师的引导下，通 过求两个已知向量的 夹角问题以及三角函 数定义的应用得出新 的结论，使学生体会 和认识严格的推导过 程是获取数学结论的 方法。 由学生得到结论，让 学生在数学课上体会 成功.由于向量工具已被引 入，因此将问题归结 为角度问题，选用向 量方法推导公式，使 得公式的得出成为一 个纯粹的代数运算过 程，大大降低了思考 难度.另外，在公式的 完善过程中，学生用 对比、联系、化归的 观点去分析问题、处 理问题，使他们在建 立公式的过程中发展 逻辑推理能力和对知 识的迁移应用.培养学
8、生用自己的 语言描述公式特征的二二研研 探探 论论 证证讲评例 1.利用两角差的余弦公式求 的值15cos 这是通过应用理解公式最基础的练习， 在讲评过程中引导学生注意以下几个要点：（1）三角变换关注角的拆分，易于理解. （2）由于是具体角，拆分过程容易进行. （3）拆分的多样性，决定变换的多样性.（学生活动）（学生活动）求出的值.75sin（1）通过诱导公式转化为；15cos （2）转化为先利用求，)45120cos(75cos 再用同角关系求75sin（教师活动）（教师活动） 讲评例题讲评例题 2 2：已知是,135cos),2(,54sin第三象限角，求的值.)cos(引导学生分析问题，
9、形成如下思路：结合余弦公式,欲求的值,必先知道)cos(的值,然后利用公式cos,sin,cos,sin即可求解.,注意角所在的象限,)(C,准确判断它们的三角函数值的符号.表达能力。加深对公 式的印象，掌握公式 特点，为下一步公式 的应用做好铺垫.学生到此刻，能够利 用本课新发现的两角 差的余弦公式解决这 个问题，呼应前面， 同时让学生获得了成 果的数学体验.通过正、余弦之间的 转化；非特殊角与特 殊角之间的转化，进 一步巩固公式的应用， 渗透化归的数学思想.对题目进行解析，使 学生形成解决这类问 题的基本思路.在讲评例题的过程中注重在表述规范性上作出点评和要求，提高学生的数学表达能力.教教
10、学学设设计计三三 反反 馈馈活动活动 6 6：课堂练习：课堂练习 （学生活动）（学生活动）.sin)2cos(1、证明（教师活动）（教师活动）对学生的证明过程进行点评， 使学生认识到该诱导公式是两角差余弦公 式的特殊情形.（学生活动）（学生活动）学生上台演板，运用公式解决以下问题：使学生独立完成证明，培养学生独立思考的数学思维品质和对数学知识前后联系，建立数学知识网络的能力.学生上台演板，是本练练 习习.)4cos(),2(,53cos2的值求、已知（教师活动）（教师活动）对学生的计算过程的每一步 进行点评，是学生认识到两角差余弦公式 使用时注意利用特殊角的正弦值余弦值.（学生活动）（学生活动
11、）先请一位同学在黑板上演示， 然后再向全体同学讲解：.)3cos(,1715sin3的值求是第二象限角、已知（教师活动）（教师活动）找几份具有代表性的解答投 影，让同学们点评.（学生活动）（学生活动）学生认真审题，求解问题.)cos(),2 ,23(,43cos),23,(,32sin4的值求、已知（教师活动）（教师活动）对学生表述的步骤是否规 范作出必要的点评和要求。引导学生一定 要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符 号.节课教学的重要一环，能充分调动学生学习 数学的实践活动能力， 使教师了解学生学习 情况，是激发学生学 习兴趣的有效途径.通过问题的设计， 注重培养学生分类讨 论的数学思想
12、,在解题 的过程中培养学生思 维的严密性和逻辑的 条理性，同时注重对 学生的表述规范性的 指导.引导学生认识到 要使用两角差余弦公 式，应该运用同角三 角函数关系对四个数 据作出准备，培养学 生 “举一反三”的解 决数学问题的能力.教教学学设设计计四四 变变 式式 训训 练练活动活动 7 7：变式训练：变式训练 （学生活动）（学生活动） 应用本课所学的公式进行以下计算：?15sin60sin15cos60cos1、?sin)3sin(cos)3cos(2、（教师活动）（教师活动）点评，不仅要会公式的正用 而且要注意公式的逆用和变形应用.在练习中加深对公式 结构和功能的认识， 使学生熟练、灵活运
13、 用公式；掌握三角式 变换的特点，培养学 生公式的逆用能力.（学生活动（学生活动）应用公式计算：.cos,15060,53)30sin(3的值求、已知（教师活动）（教师活动）引导学生比较已知的角 与所求的角之间的关系，注意构30 造角以及研究角的范围.引导学生独立思考， 得出，30)30( 从而具备使用两角差 余弦公式的条件，培 养学生解决数学问题 的化归思想.五五应应 用用 评评 价价课堂小结：通过本节课的学习你有哪些收获？1、探索并证明了两角差的余弦公, 经历了，猜想 探究证明 ,利用向量法得出了：cos()coscossinsin 在证明公式的过程中，我们利用了向量 这一简洁有效的工具，
14、在后面的学习中我 们会继续感受它的便利. 2、所涉及的数学思想与方法:猜想、化 归与转化、数形结合、分类讨论.布置作业：1.必做：P137，2,3,4)cos(,54coscos,53sinsin2求、选做：3.课下思考：你能用,推导出)cos( 吗？)cos(让学生在课堂小 结中进行自我评价， 回顾当堂所学，交流 学习体会.注意公式特征，正用，逆用和角的拼凑！在探究问题时，结合所学知识，要大胆猜想，细心证明！通过例题、练习、课 堂小结、作业等对学 生在三维目标方面进 一步评价，反思教学， 改进方法.板书设计： 两角差的余弦公式两角差的余弦公式()()cos()coscossinsin C 投
15、影屏幕投影屏幕板演区域板演区域教学设计说明一、教材地位及其作用恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主要作用是化简.在数学中通过恒等变换，可以把复杂的关系用简单的形式表示出来.三角恒等变换在后续学习中具有重要的作用.而以本节课为起始课的第三章内容需要学习三角函数运算中蕴涵的恒等关系.由于和、差、倍之间存在的联系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的内在联系，因而需要推出一个公式作为基础。由于三角恒等变换的内容与三角函数没有直接的关系，因此现行的课改教材（人教版）安排学生学完三角函数后，先学习了平面向量，因此选择了运用A向量方法推导公式作为建立其它公式的基础，使得公式sinsincosc
16、os)cos(的得出成为一个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度。本节课的作用承前启后,非常重要。二、学情分析与教学目标学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。但学生的逻辑推理能力有限，要发现并证明公式C C(-)(-)有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流，体会向量法的作用，探索两角差的余弦公式。由于学生初次使用恒等变换去推理解答问题，分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺，并且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑.但同时学生在学习新的一章知识时又都会充满好奇心，这对教学是非常有利的。根据学生的认知结构和心理特点，
17、我制定了本课的学习目标如下：1 1知识与技能知识与技能（1）通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能。（2）通过公式的灵活应用，使学生掌握两角差的余弦公式的作用。2 2过程与方法过程与方法（1）利用两角差的余弦公式推导过程，使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法。（2）在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想。3 3情感态度与价值观情感态度与价值观通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、应用的获取知识的方式。从应用中去体会数学的严谨，形成理性思维，体会向量及两角差的余弦公式的运用价值。三、教学
18、重点及难点重点：重点：两角差的余弦公式的运用. 难点：难点：用两角差余弦公式进行简化、计算及逆用公式等技能.四、教法选择和学法指导基于对教材和学生的分析，本节课我采用“引导发现”和“主动参与、独立探索”等方法组织课堂教学. 为了抓住重点，我从学生已有的认知水平出发，设计具有梯度的问题导入，激发学生的求知欲，引导和组织学生参与探索公式的建立和推导过程，鼓励学生独立思考，让学生在参与推理的过程中感受成功的快乐和提高逻辑推理能力；在突破难点上，主要通过以下四个方面的师生活动：引导学生积极思考，大胆探索，学会对目标进行对比分析，把握思维方向；组织学生共同钻研，学会合作，开展讨论交流；对学生的探究活动适
19、当指导，适时地给与帮助；完善推理过程对的情况引导学生完善., 0通过实际生活问题引入课题，为公式学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲。采用多媒体等现代教学手段，增强教学简易性和直观性。通过有梯度的练习、变式训练、分层作业，让学生对知识掌握逐步提高。学法分析 .教师在课前让学生简单复习一下本课要用到的一些知识点，如三角函数的定义，向量的数量积等。 .在学生自主探究过程中，教师要从某些角度引导学生去发现公式，给出一些证明方法的提示性问题，引导学生去推导公式。 五、教学基本流程设计 教学活动设计意图 活动活动 1 1： 提出问题：究竟该如何计算？对)cos( 于求角的余弦值这种问题，
20、我们有哪些方法？通过设问，激发学生自觉回顾三角函数和向量的相关知识，为公式的探索提供思路.活动活动 2:2: 尝试用向量的方法来探究如何计算.)cos(通过带有指向性的问题，使学生意识到， 向量方法可能是解决问题的工具，引导学生 建立向量使用的数学环境，培养学生自主探 索和数形结合的能力.活动活动 3 3：引导学生思考,的范围，完善公式,在公式的完善过程中，学生用对比、联系、 化归的观点去分析问题、处理问题，使他们 在建立公式的过程中发展逻辑推理能力和对的推导.知识的迁移应用.活动活动 4 4：引导学生说出两角差的余弦公式的 结构特点.培养学生用自己的语言描述公式特征的表 达能力。加深对公式的
21、印象，掌握公式特点， 为下一步公式的应用做好铺垫.活动活动 5 5：例题分析：例题分析 例 1、 利用两角差的余弦公式求的15cos 值 例 2、 已知是,135cos),2(,54sin第三象限角，求的值.)cos(对题目进行解析，使学生形成解决这类 问题的基本思路.在讲评例题的过程中注重在 表述规范性上作出点评和要求，提高学生的 数学表达能力.活动活动 6 6：课堂练习：课堂练习.sin)2cos(1、证明.)4cos(),2(,53cos2的值求、已知.)3cos(,1715sin3的值求是第二象限角、已知.)cos(),2 ,23(,43cos),23,(,32sin4的值求、已知学生
22、上台演板，是本节课教学的重要一环，能充分调动学生学习数学的实践活动能力， 使教师了解学生学习情况，是激发学生学习 兴趣的有效途径. 通过问题的设计，注重培养学生分类讨 论的数学思想,在解题的过程中培养学生思维 的严密性和逻辑的条理性，同时注重对学生 的表述规范性的指导. 引导学生认识到要使用两角差余弦公式， 应该运用同角三角函数关系对四个数据作出 准备，培养学生 “举一反三”的解决数学问 题的能力.活动活动 7 7：变式训练：变式训练?15sin60sin15cos60cos1、?sin)3sin(cos)3cos(2、.cos,15060,53)30sin(3的值求、已知在练习中加深对公式结
23、构和功能的认识， 使学生熟练、灵活运用公式；掌握三角式变 换的特点，培养学生公式的逆用能力.六、教学评价分析六、教学评价分析 1.本节课采用“创设情境-提出问题-探索尝试-启发引导-解决问题”的过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。 2. 在得到两角差的余弦公式后，使学生进一步体会代数思想的深刻性。通过对公式的认识，例题的讲解，变式的强化训练，可以加深学生对公式特征的印象，及灵活应用公式解题的能力。 3. 在教学手段上使用多媒体技术，使重点得到突出，抽象变得直观，有效增加课堂容量，激发学生的学习兴趣，提高教学效率。 4.面对不同程度的教学对象，在教学时间上和作业
24、的布置中，突出了学生学习的个体差异现实，但也要视教学对象的接受程度进行灵活的删减。两角差的余弦公式教学设计点评省级骨干教师 周净两角差的余弦公式是普通高中课程标准实验教科书人教 A 版数学4（必修）第三章的 3.1.1 节内容，教学课时为 1 课时。本节课教师采用了活动教学法，将获取知识的猜想、论证和应用过程分解成为 7 个教学活动，在活动中通过教师的问来启发引导学生，通过学生的练来巩固知识，是高效课堂的典型模式之一。本节课有以下 4 个特点：1体现了教师在教学中的主导地位。教师在本节课的教学活动中主要是通过问题创设情境，激发学生的求知欲，在学生探究新知时对学生的方向和方法加以指导，在例题分析
25、时注重启发学生的思路和规范学生的表达，在反馈练习和变式训练环节组织和激励学生独立思考，观察和点评学生的知识掌握情况，让学生动脑动手，积极参与到课堂，充分体现了教师作为课堂组织者的导学作用。2体现了学生在教学中的主体地位。学生在公式的探索过程中，通过思考和回答教师有指向性的问题和与教师及学生之间的讨论，得出公式推导过程，学生感受到获得新知识的成就感；在练的环节，由学生上台演板，教师巡视学生解题的情况，能够激发学生的学习积极性，让学生都在课堂中动起来；对学生演板的情况给予了诚恳的点评，同时对其他同学做的情况用投影仪展示，不仅能使学生在课堂得到成功的体验，还能够注意到一些解题过程中的细节问题。本节课
26、学生在整堂课中精神饱满，积极参与，认真完成了教师设计的各项任务，学习效果好。3详略得当，重难点突出。本节课的重难点是公式的应用，在公式推导环节教师对两角差的任意性问题上处理得当，引导学生用三角诱导公式解决该问题，既不会在内容上宣宾夺主，又培养了学生数学思维的严谨品质。活动 5、6、7是本节课的主体部分，学生在这 3 项教学活动中通过典型的例题和反馈练习，充分掌握了公式的直接应用和逆用的技巧，突破了教学重难点。4.注重培养学生的数学思维。本课的例题与练习题的设置有针对性，强调了基本知识点和学生的基础技能，并且在应用公式解决问题的过程中渗透了分类讨论、化归等数学思想，教师的点评过程中也注重引导学生对解决问题的方法进行总结归类，提高学生“举一反三”的数学思维能力，教师还特别注重通过规范学生答题过程培养学生严谨的数学思维品质，创设的情境、对学生的及时的肯定和指导，都激发了学生积极求索和独立思考的数学思维品质。总之，本节课教学设计合理，教学目标准确具体，符合课程标准，教学要求符合学生实际，关注学生情感、态度和价值观；教师语言表达准确，教态自然亲切，教学过程流畅，师生双边活动达成，学生在愉悦中获得新知，教学效果好。