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1、2023年高一数学(必修一)知识点总结 高一数学必修1各章学问点总结 拂晓搜集整理 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1) 元素确实定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3) 元素的无序性: 如:a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示: 如:我校的篮球队员,太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 u 留意:常用数集及其记法: 非负整数集即自然数集 记作:N 正整数集
2、 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1 列举法:a,b,c 2 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32,x| x-32 3 语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 4 Venn图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合例:x|x2=5 二、集合间的基本关系 1.“包含关系子集 留意:有两种可能1A是B的一部分,;2A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2“相等关系:A=B (55,且55,则5=5)
3、实例:设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等 即: 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:假如AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA) 假如 AB,BC,那么 AC 假如AB 同时 BA 那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 u 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集 三、集合的运算 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由全部属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB读作A交B,即AB=x|xA,且xB 由全部属于集合A或属于集合B的元素所
4、组成的集合,叫做A,B的并集记作:AB读作A并B,即AB =x|xA,或xB) 设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中全部不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集或余集 S A 记作,即 CSA= 韦 恩 图 示 S A 性 质 AA=A A= AB=BA ABA ABB AA=A A=A AB=BA AB ABB (CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= 例题: 1.以下四组对象,能构成集合的是 A某班全部高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合a,b,c 的真子
5、集共有 个 3.若集合M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x0,则M与N的关系是 .4.设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种试验,已知物理试验做得正确得有40人,化学试验做得正确得有31人,两种试验都做错得有4人,则这两种试验都做对的有 人。 6.用描述法表示图中阴影部分的点含边界上的点组成的集合M= .7.已知集合A=x| x2+2x-8=0,B=x| x2-5x+6=0,C=x| x2-mx+m2-19=0,若BC,AC=,求m的值 二、函数的有关概念 1函数的概念:设A、B是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系f,使对于集合A中的随便一个数x
6、,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数记作: y=f(x),xA其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 留意: 1定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要根据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必需大于零; (4)指数、对数式的底必需大于零且不等于1.(5)假如函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集
7、合.(6)指数为零底不行以等于零,(7)实际问题中的函数的定义域还要保证明际问题有意义.u 相同函数的推断方法:表达式相同与表示自变量和函数值的字母无关;定义域一样 (两点必需同时具备) (见课本21页相关例2) 2值域 : 先考虑其定义域 (1)视察法 (2)配方法 (3)代换法 3.函数图象学问归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x),(xA)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x,y)均满意函数关系y=f(x),反过来,以满意y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上
8、 .(2) 画法 A、描点法: B、图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4区间的概念 1区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 2无穷区间 3区间的数轴表示 5映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的随便一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f对应关系:A原象B象 对于映射f:AB来说,则应满意: (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集
9、合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值状况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集 补充:复合函数 假如y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=f=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。 二函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) 1增函数 设函数y=f(x)的定义域为I,假如对于定义域I内的某个区间D内的随便两个自变量x1,x2,当x11,且* u 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。 当是奇数时,当是偶数时,2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规
10、定:,u 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 1; 2; 3 二指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R 留意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1 2、指数函数的图象和性质 a1 0 定义域 R 定义域 R 值域y0 值域y0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点0,1 函数图象都过定点0,1 留意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: 1在上,值域是或; 2若,则;取遍全部正数当且仅当; 3对于指数函数,总有; 二、对数函数 一对数 1对数的概
11、念:一般地,假如,那么数叫做以为底的对数,记作: 底数, 真数, 对数式 说明: 留意底数的限制,且; 留意对数的书写格式 两个重要对数: 常用对数:以10为底的对数; 自然对数:以无理数为底的对数的对数 u 指数式与对数式的互化 幂值 真数 N b 底数 指数 对数 二对数的运算性质 假如,且,那么: ; ; 留意:换底公式 ,且;,且; 利用换底公式推导下面的结论 1;2 二对数函数 1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是0,+ 留意: 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,留意区分。如:,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制:
12、,且 2、对数函数的性质: a1 0 定义域x0 定义域x0 值域为R 值域为R 在R上递增 在R上递减 函数图象都过定点1,0 函数图象都过定点1,0 三幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数 2、幂函数性质归纳 1全部的幂函数在0,+都有定义并且图象都过点1,1; 2时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸; 3时,幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地靠近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地靠近轴正半轴 例题: 1.已知a0,a0,函数y=ax与y=loga(
13、-x)的图象只能是 2.计算: ;= ;= ; = 3.函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为 4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则a= 5.已知,1求的定义域2求使的的取值范围 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 3、函数零点的求法: 代数法求方程的实数根; 几何法对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点: 二次函数 1,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点 2,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点 3,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点 5.函数的模型 收集数据 画散点图 选择函数模型 求函数模型 用函数模型说明实际问题 符合实际 不符合实际 检验