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1、2023年高一数学正弦定理教案 第一篇：高一数学正弦定理教案 湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一下第五章平面对量 正弦定理 教学目标 一学问与技能目标 (1)驾驭正弦定理及其推导过程 (2)会利用正弦定理求解简洁的斜三角形边角问题 (3)能利用计算器进行计算 二过程与实力目标 (1)通过用向量的方法证明正弦定理，表达向量的工具性，加深对向量学问应用的相识 (2)通过启发、诱导学生觉察和证明正弦定理的过程，培育学生视察与分析、归纳与猜测、抽象与概括等规律思维实力 三情感与看法目标 通过三角函数、正弦定理、向量数量积等学问间的联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一 教学重点 正弦定理的证明及应用
2、 教学难点 (1)用向量学问证明正弦定理时的思路分析与探究(2)正弦定理在解三角形时的应用思路 教学过程 一、引入 解直角三角形需要用到的学问： 三角形内角和定理： A+B+C=180 锐角三角函数： ababsinA= ,cosA= ,tanA= ,cotA=; ccbababasinB= ,cosB= ,tanB= ,cotB=.ccab勾股定理：a+b=c 22 2二、新课 在直角三角形ABC中找出a, b,c与sinA, sinB, sinC之间的关系： sinA=acsinB=c=bsinBbcsinC=1 c=csinC即：c=asinA asinA=bsinB=csinC 湖南省
3、长沙市第一中学 数学教案 高一下第五章平面对量 证明： 证法一: (传 统 证 法)在随便斜DABC中：SDABC=12absinC=1212acsinB=12bcsinABc abC两边同除以asinA=bsinBabc,即得：csinCA=证法二: (将角转化到直角三角形中)作DABC的外接圆O，作直径BC,连接AC，则C=C，设圆O半径R，cc则：=2R;sinCsinC同理可得：asinAasinA=2R,=bsinBbsinB=2RcsinC=2RBcabCC A这里涉及到三角形中的边角关系，而向量中的数量积则反应了边角关系.证法三: (向量学问来证明)r过A作单位向量 j 垂直于A
4、C AC+CB=AB，两边同乘以向量rrj(AC+CB)=jABrrr则：jAC+jCB=jABr j，Brcj rrjACcos90+jCBcos(90-C)r =jABcos(90-A)asinC=csinAasinA=csinCabAC同理：若过rC作j垂直于CB得： cb=，sinCsinBasinA=bsinB=csinCBcAarjbC 当DABC为钝角三角形时，设rA90，过A作单位向量j垂直于AC可证明.湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一下第五章平面对量 正 弦 定 理 ： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦csinC比相等，即：.asinA=bsinB= =2R(R为DA
5、BC外接圆半径)它适合于任何三角形变 式 (1)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2)sinA : sinB : sinC = a : b : c； (3)SD ABC=12absinC=12bcsinA =12acsinB 正弦定理可以解决三角形问题： 1.两角和随便一边，求其它两边和一角； 2.两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.三、应用 例 1.在DABC中，已知c=10,A=45, C=30, 求a、b和B.例 2.已知DABC中三内角的正弦之比为 4 ： 5 ： 6 ,又周长为2152,求三边长.例 3.在DABC中，已知sin2A+
6、sinB=sinC,求证DABC为直角三角形2.练习 教材第144页第1题 课堂小结： 1.正弦定理及其变形公式2.利用正弦定理解决三角; 形的两类问题; 作业： 1.阅读教材139页至 144 页； 2.教材第144页习题5.9第1(1)(3)、2、5题 其次篇：高一数学正弦定理教案(三) 资料由大小学习网收集 xiexiebang 课题：正弦定理 三 学问目标：运用正弦定理及其变形形式解决简洁的实际问题 实力目标：在问题解决中，培育学生的运用学问解决问题的实力 情感目标：通过用数学学问解决现实问题,以引起学生爱好,在数学活动中获得对数学良好的感性相识 一复习回顾 正弦定理： 正弦定理的变形
7、形式： 二数学运用 例1：已知在DABC中，c=22，ab，C=p4，tanAtanB=6，试求a，b及三角形的面积 变题训练：把例题中的条件“ab改为“ab，再求a，b及三角形的面积 例2：某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35，沿倾斜角为20的斜坡前进1000米后到达D处，又测得山顶的仰角为65，求山的高度(精确到1米) 资料由大小学习网收集 xiexiebang 资料由大小学习网收集 xiexiebang 练习：为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B，要测算出A，B两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=100m，B=60，C=45，试计算AB的长 例3
8、：在DABC中，AD是BAC的平分线，用正弦定理证明： ABAC=ooA B C BDDC 探究：在DABC中，AD是BAC的外角平分线，D为外角平分线与BC的延长线的交点，此时ABAC=BDDC成立吗？ 三回顾小结： 资料由大小学习网收集 xiexiebang 第三篇：高一数学正弦定理的应用教案 湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一下第五章平面对量 正弦定理的应用 教学目标 一学问与技能目标 会利用正弦定理求解简洁的斜三角形边角问题 二过程与实力目标 (1)通过用向量的方法证明正弦定理，表达向量的工具性，加深对向量学问应用的相识 (2)通过启发、诱导学生觉察和证明正弦定理的过程，培育学生视察
9、与分析、归纳与猜测、抽象与概括等规律思维实力 三情感与看法目标 通过三角函数、正弦定理、向量数量积等学问间的联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一 教学重点 正弦定理的应用 教学难点 正弦定理在解三角形时的应用思路 教学过程 一、复习 正弦定理： abc=2R sinAsinBsinC变 式 (1)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2)sinA : sinB : sinC = a : b : c； (3)SD ABC=111absinC=bcsinA =acsinB 222正弦定理可以解决三角形问题： 1.两角和随便一边，求其它两边和一角； 2.两边和其中一边对角，求
10、另一边的对角，进而可求其它的边和角.二、应用 例 1.在DABC中，已知a=20,b=28,A=40, 求B(精确到1)和c(保存两个有效数字).例 2.在DABC中，已知a=60,b=50,A=38, 求B(精确到1)和c(保存两个有效数字).湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一下第五章平面对量 归纳：在ABC中，已知a, b和A时解三角形的各种状况： 1.当A为锐角时： Ca b AB a b一解练习 在DABC中，已知A=30,b=4,试分别探讨以下状况的解的个数(1)a=1,(2)a=1,(3)a=3,(4)a=4,(5)a=5.例 3.在DABC中, 若a2tanB=b2tanA,
11、试推断这个三角形的形态.例 4.在DABC中，若B=30，AB=23，AC=2，求DABC的面积.课堂小结： 已知三角形的两边及其中一边的对角，其解的6种状况.作业： 1.阅读教材139页至 144 页； 2.教材第144页习题5.9第3题;3.优化设计第113115页 第四篇：正弦定理教案 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理沉着说课本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有亲热的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的学问也有着亲热的联系教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何学问动身，提出探究性问题“在随便三角形中有大边对大角，小边对
12、小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系精确量化的表示呢?在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“假如已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形态完全确定的三角形.我们照旧从量化的角度来探讨这个问题，也就是探讨如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的学问有了新的相识，同时使新学问建立在已有学问的坚实基础上，形成良好的学问结构教学重点1.正弦定理的概念； 2.正弦定理的证明及其基本应用教学难点1.正弦定理的探究和证明； 2.已知两边和其中一边的对角解三角形时推断解的个数教具准
13、备直角三角板一个三维目标 一、学问与技能 1.通过对随便三角形边长和角度关系的探究，驾驭正弦定理的内容及其证明方法； 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 二、过程与方法 1.让学生从已有的几何学问动身,共同探究在随便三角形中，边与其对角的关系； 2.引导学生通过视察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理； 3.进行定理基本应用的实践操作 三、情感看法与价值观 1.培育学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算实力； 2.培育学生探究数学规律的思维实力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等学问间的联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一教学过程导入新课 师如右图，固定
14、ABC的边CB及B，使边AC围着顶点C转动师思索：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？生明显，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系如右图，在RtABC中，设BC =A,AC =B,AB =C,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有=sinA，=sinB，又sinC=1=,则.从而在直角三角形ABC中，.推动新课 师那么对于随便的三角形，以上关系式是否照旧成立？由学生探讨、分析生可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况： 如右图，当ABC是锐角三角形时，设
15、边AB上的高是CD，根据随便角三角函数的定义，有CD=AsinB=BsinA,则，同理，可得.从而.当ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的状况，由学生自己完成正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作ABC的外接圆，在ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明这一关系师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的学问来解决此问题，我们一起来看下面的证法.在ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B,设BB=2R.则根据直径所对
16、的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 BAB=90，C =B，sinC=sinB=. .同理,可得. .这就是说,对于随便的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式.点评:上述证法接受了初中所学的平面几何学问,将随便三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在稳固平面几何学问的同时,易于被学生理解和接受,并且消退了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径这一误会.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. 师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量学问来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量学问中,哪一学问点表达边
17、角关系呢?生向量的数量积的定义式AB=|A|B|Cos,其中为两向量的夹角.师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢?生 可以通过三角函数的诱导公式sin=Cos(90-)进行转化.师这一转化产生了新角90-,这就为帮助向量j的添加供应了线索,为便利进一步的运算,帮助向量选取了单位向量j,而j垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90-这一形式,这是作帮助向量j垂直于三角形一边的缘由.师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得 而添加垂直于的单位向量j是关键,为了产生j与、的数量积,而在上面对量等式的两边同取与向量j的数量积运算,也就在情
18、理之中了.师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并 留意总结在证明过程中所用到的向量学问点.点评:(1)在赐予学生适当自学时间后,应强调学生留意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在稳固向量学问的同时,进一步体会向量学问的工具性作用.向量法证明过程:(1)ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与的夹角为90-A,j与的夹角为90-C.由向量的加法原则可得 ,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面对量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到 由支配律可得. |j|Cos90+|j|Cos(90-C)=|j|Cos(9
19、0-A). AsinC=CsinA. .另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90+C,j与的夹角为90+B,可得.(此处应强调学生留意两向量夹角是以同起点为前提,防止误会为j与的夹角为90-C,j与的夹角为90-B) .(2)ABC为钝角三角形,不妨设A90,过点A作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为A-90,j与的夹角为90-C.由,得j+j=j,即ACos(90-C)=CCos(A-90), AsinC=CsinA. 另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90+C,j与夹角为90+B.同理,可得. 形式1.综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立
20、.师在证明白正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用. 1正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC；2等价于(形式2).我们通过视察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.已知三角形的随便两角及其中一边可以求其他边，如.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对简洁,课本P4的例1就属于此类问题. 已知三角形的随便两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如此类问题转变较多,我们在解题时要分清题目所给的条件一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和
21、角的过程叫作解三角形师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结.例题剖析在ABC中，已知A=32.0,B=81.8,A=42.9 cm,解三角形.分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,干脆应用正弦定理可求出边B,若求边C,再利用正弦定理即可.解：根据三角形内角和定理， C=180-(A+B)=180-(32.0+81.8)=66.2;根据正弦定理， b=80.1(cm); c=74.1(cm). (1)此类问题结果为唯一解,学生较易驾驭,假如已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180求出第三角,再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的困难运算可运用计算器.在ABC中，已知A=20c
22、m，B=28cm，A=40，解三角形角度精确到1，边长精确到1 cm分析:此例题属于BsinAab的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.解：根据正弦定理， sinB =0.899 9.因为0B180，所以B64或B116.1当B64时， C =180-A+B=180-40+64=76， C =30(cm).2当B116时， C=180-A+B=180-40+116=24， C=13(cm). 通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟识已知两边
23、和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来推断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会.变式一：在ABC中,已知A60,B50,A38,求B(精确到1)和C(保存两个有效数字).分析:此题属于AB这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来解除B为钝角的情形.解：已知B (1)B=11,A=20,B=30;(2)A=28,B=20,A=45;(3)C =54,B=39,C=115;(4)A=20,B=28,A=120.解：(1). sinA =0.909 1. A165，A2115.当A165时，C1=180-(B+A1
24、)=180-(30+65)=85， C1=22.当A2115时，C2=180-(B+A2)=180-(30+115)=35, C2=13.(2)sinB=0.505 1, B130，B2150.由于A+B2=45+150180,故B2150应舍去(或者由BA知BA,故B应为锐角). C=180-(45+30)=105. C=38.(3), sinB=0.654 6. B141,B2139.由于BC,故BC,B2139应舍去. 当B=41时，A=180-(41+115)=24, A=24.(4)sinB= =1.2121. 此题无解.点评:此练习目的是使学生进一步熟识正弦定理,同时加强解三角形的
25、实力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体状况进行正确取舍.课堂小结通过本节学习,我们一起探讨了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形.布置作业 一课本第10页习题1.1 第1、2题. 二预习内容：课本P5P 8余弦定理 (1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量学问.(2)余弦定理如何与向量产生联系.(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.板书设计正弦定理 1.正弦定理: 2.证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题:(1)平面几何法(1)已知两
26、角和一边(2)向量法(2)已知两边和其中一边的对角 第五篇：正弦定理教案 正弦定理教案 教学目标： 1学问目标:通过对随便三角形边长和角度关系的探究，驾驭正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2.实力目标:让学生从已有的几何学问动身,共同探究在随便三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过视察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 3情感目标：培育学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算实力；培育学生合情推理探究数学规律的数学思思想实力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等学问间的联系来表达事物之间的普遍联
27、系与辩证统一。 教学重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用。 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时推断解的个数。 教学过程： 一、复习引入 创设情境： ：世界有名的巴黎埃菲尔铁塔，比其他的建筑高出很多。假如只供应测角仪和皮尺，你能测出埃菲尔铁塔的高度吗？ ：可以先在离铁塔一段距离的地方测出观看铁塔的仰角，再测出与铁塔的水平距离，就可以利用三角函数测出高度。 ：解决上述问题的过程中我们将距离的问题转化为角，进而转化为三角函数的问题进行计算。这个实际问题说明白三角形的边与角有紧密的联系，边和角甚至可以互相转化，这节课我们就要从正弦这个侧面来探讨三角形边角的关系即正弦定理。 二、新课讲解 ：
28、请同学们回忆一下，在直角三角形中各个角的正弦是怎么样表示的？ ：在直角三角形ABC中，sinA=ab,sinB=,sinC=1 cc abc,c=,c=，也就是说在RtABCsinAsinBsinC：有没有一个量可以把三个式子联系起来？ ：边c可以把他们联系起来，即c= 中abc= sinAsinBsinC ：对，很美、很对称的一个式子，用文字来描述就是：“在一个直角三角形中，各边与 它所对角的正弦比相等，那么在斜三角形中，该式是否也成立呢？让我们在几何画板中验证一下，对随便的三角形ABC是不是都有“各边与它所对角的正弦比相等成立？ ：通过验证我们得到，在随便的三角形中都有各个边和他所对的角的
29、正弦值相等。 在上面这个对称的式子中涉及到了三角形三个角的正弦，因此我们把它称为正弦定理，即我们今日的课题。 ：直观的印象并不能代替严格的数学证明，所以，只是直观的验证是不够的，那能不 能对这个定理给出一个证明呢？ ：可以用三角形的面积公式对正弦定理进行证明：S=1111absinC=acsinB=bcsinA，然后三个式子同时处以abc就可以得222 2到正弦定理了。 ：这是一种很好的证明方法，能不能用之前学过的向量来证明呢？答案是确定的。怎 么样利用向量只是来证明正弦定理呢？大家视察，这个式子涉及到的是边和角，即向量的模和夹角之间的关系。哪一种运算同时涉及到向量的夹角和模呢？ 板书：证法二
30、，向量法 rrrr：向量的数量积ab=abcosq ：先在锐角三角形中探讨一下，假如把三角形的三边看做向量的话，则简洁得到三角 uuuruuuruuur形的三个边向量满意的关系：AB+BC=AC,那么，和哪个向量做数量积呢？还 有数量积公式中提到的是夹角的余弦，而我们要得是夹角的正弦，这个又怎么转化？启发学生得出通过做点A的垂线根据诱导公式来得到 ：做A点的垂线 ：那是那条线的垂线呢？ ：AC的垂线 rr：假如我们做AC垂线上的一个单位向量j，把向量j和上面那个式子的两边同时做数 cos(90-A)cos(90+C)=cos90，化简000 即可得到csinA=asinC，即acbc=，同理可
31、以得到。即在sinAsinCsinBsinC 锐角三角形ABC中有每条边和它所对的角的正弦值相等这个结论。 ：假如ABC是钝角三角形呢？又怎么样得到正弦定理的证明呢？不妨假设A是钝 rr角，那么同样道理假如我们做AC垂线上的一个单位向量j，把向量j和上面那个式 uuuruuuruuur子AB+BC=AC的两边同时做数量积运算就可以得到 ruuurruuurruuur00jABcos(C-90)+jBCcos(90+C)=jACcos900，化简即可得到csinA=asinC，即acbc=，同理可以得到。即在钝角三角sinAsinCsinBsinC 形ABC中也有每条边和它所对的角的正弦值相等这
32、个结论。 ：经过上面的证明，我们用两种方法得到了正弦定理的证明，并且得到了正弦定理对 于直角、锐角、钝角三角形都是成立的。 ：大家视察一下正弦定理的这个式子，它是一个比例式。对于一个比例式来说，假如 我们知道其中的三项，那么就可以根据比例的运算性质得到第四项。因此正弦定理的应用主要有哪些呢？ ：已知三角形的两边一其中一边的对角求另外一边的对角，或者两角一边求出另外一 边。 ：其实大家假如联系三角形的内角和公式的话，其实只要有上面的随便一个条件，我们都可以解出三角形中全部的未知边和角。下面我们来看正弦定理的一些应用。 三、例题解析 优化P101例 1分析：干脆代入正弦定理中运算即可 ab=sin
33、AsinB csinA10sin45o a=osinCsin30 bcQ=sinBsinC B=180o-(A+C)=180o-(45o+30o)=105oQ csinB10sin105ob=20=5sinCsin30o总结：本道例题给出了解三角形的第一类问题已知两角和一边，求另外两边和一 角，因为两个角都是确定的的，所以只有一种状况 教材P144练习1可以让学生上台板演 见幻灯片 四、课堂小结 ：本节课的主要内容是正弦定理，即三角形ABC中有每条边和它所对的角的正弦值相等。写成数学式子就是abc=。并且一起探讨了他的证明方法，利用它解决sinAsinBsinC 了一些解三角形问题。对于正弦定理的证明主，要有面积法和向量法，其实对于正弦定理的证明，还有很多别的方法，有爱好的同学下去之后可以自己去了解一下。 五、作业布置 世纪金榜P86自测自评、例 1、例 2板书设计： 六、教学反思