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1、2023年逆向思维在数学分析中的作用 第一篇:逆向思维在数学分析中的作用 摘 要 数学分析是数学殿堂的基石性学科,其内容的广泛性与深刻性包含着形式多样的数学思想与方法,而逆向思维在解决数学分析问题时别开生面.因此,本文就逆向思维在数学分析中作用进行初探.本论文中,首先阐述逆向思维的内涵及其特征;其次将以数学分析为载体,选取逆向思维作为探讨切入点,主要以举例子的形式表达了逆向思维在数学分析中的具体作用.无论其深化定义、定理的理解,高效的强化解题,批判性命题验证,还是创新性数学品质,无不渗透出笔者最终总结性论述,即逆向思维在数学分析中具有举足轻重的地位.二十一世纪的信息时代日新月异.数学思维无处不
2、在,无时不有,而逆向思维就是在对数学文化素养的思想探讨的基础上,提高数学新意,感受理性美誉,体会数学文化品位,这已成为国内外数学进展的重要趋势.关键词:逆向思维,作用,数学分析,重要性 The function of reverse thought in mathematical analysis Abstract:Mathematical analysis is the cornerstone of the temple mathematical discipline,breadth and depth of its content contains a variety of mathema
3、tical ideas and methods,and the spectacular reverse thinking in solving mathematical analysis of the problem.Therefore,this paper analyzes the role of reverse thought in mathematics carried study.In this thesis,first expounded the connotation and characteristics of reverse thought ,mathematical anal
4、ysis will be followed by the carrier,select reverse thinking as a research starting point,mainly in the examples given in the form of reverse thought described in mathematical analysis of the specific role.Whether its deepening definitions,theorems understanding and efficient strengthen problem-solv
5、ing,critical proposition verification,or innovative mathematical quality permeates the author concludes discourse, reverse thought plays a decisive role in the mathematical analysis.Information era of the 21st century rapidly.Mathematical thinking is everywhere and at all times there , but the rever
6、se thought is based on the study of mathematics literacy ideas on improving mathematical ideas, feelings rational reputation,experience culture grade math,which has become an important trend in the development of mathematics at home and abroad.Keywords: reverse thought, function, mathematical analys
7、is,important.目 录 一、引言.3 二、逆向思维内涵及特征.1 一逆向思维的内涵.1 二逆向思维的特征.1 三、逆向思维在数学分析中的重要性.2 四、逆向思维在数学分析中四种作用.3 一深化定义、定理理解.3 二高效强化解题.6 三批判性命题验证.11 四创新性数学品质.15 五、结束语.15 六、参考文献.17 一、引言 司马光“砸缸救小孩是一个古老而又秀丽的传闻,机智的将常规的 “救人离水转变成“让水离人.他揭示了一个真理:逆向思维有时比正向思维更能高效解决实际问题,数学思维方法亦同.由于许多数学定义,数学公式,数学定理,数学运算以及解题过程均有可逆性,其作为可逆性理论为逆向思
8、维供应理论根据.它不拘泥常规、常法、擅长开拓、变异,极有利于打破旧框框的束缚,解放人们的思想,培育思维的灵敏性,使主观能动性得以充分发挥,变更注入式数学思维应变实力缺乏的缺陷,产生相识上的新飞跃.这样,就能使学生在亲身的探究中,驾驭数学分析学问间的内在联系,透彻地理解教材,稳固所学学问,并能培育学生探究实力,打破思维定势,激发学习爱好,开阔学问视野.二、逆向思维内涵及特征 一逆向思维的内涵 逆向思维又称反向思维,通俗地讲,就是在解决问题时,“一计不成,又生一计,若把AB的连续思维看作正向联结,并称这个心理过程为正向思维,那么就把相反的连续BA看作为逆向联结,并称这一心理过程为逆向思维.逆向思索
9、是思维向相反方向重建的过程.它是人们在探讨过程中有意识地去做与习惯性思维方向完全相反的探究,就是站在对立角度上考虑、解剖问题,得到与公理、定理相悖的结论,或得到与条件相冲突的结果,从反面到达解决问题的目的.思维的可逆性,使人们在相识客观事物时,不仅可以顺向思索,而且可以逆向思索;不仅可以从正面看,而且可以从反面看;不仅可以从因到果,而且还能执果索因,正是这种逆向功能确定了逆向思维在创建活动中具有独特的作用.二逆向思维的特征 爱因斯坦在论述自己科学活动时,曾多次提到“实行相反路途,“反过来加以考虑,即逆向思维,其具有以下本质特征: 普遍性:逆向思维在各种领域中都有其独到的适用性,由于对立统一规律
10、是普遍适用的,而对立统一的形式又是多种多样,有一种对立统一形式就有一种逆向思维的角度.怀疑性:逆向思维在某种程度上是以怀疑为手段,以扫除传统偏见和谬误,追求真理,进展科学为目的.批判性:逆向思维是与正向思维相比较而言的,正向思维是指常规的、常识的、公认的或习惯的想法与做法.逆向思维则恰恰相反,是对传统、惯例、常识的反叛,是对常规的挑战,它能够克服思维定势,破除由阅历和习惯造成的僵化的相识模式,要求多方位探究,有批判的汲取、有批判的选择、有批判的理解.新颖性:按部就班的思维和按传统方式解决问题虽然简洁,但简洁使思路僵化、刻板、摆脱不掉习惯的束缚,得到的往往是一些司空见惯的答案,其实,任何事物都具
11、有多方面属性,由于受过去阅历的影响,人们简洁看到熟识的一面,而对另一面却视而不见,逆向思维克服这一障碍,能够见机行事,触类旁通,不受某种固定的思维模式的局限,往往是出人意料,给人耳目一新的感觉.创新性:逆向思维所追求的是创新和独到,它不满意于一般思维所探讨的已知领域,主要留意于探求人类未知天地.将以前所未有的新角度、新观点去视察分析问题,思维方法创新独特,能够提出超常的想象.想别人所未想、求别人所未求、做别人所未做的事情.深刻性:它表现为深化思索问题,细致分析问题,不放过任何蛛丝马迹来钻研探究困难问题背后的本质属性.此外,还有独特性、灵敏性和探究性. 三、逆向思维在数学分析中的重要性 逆向思维
12、重要性之一:常规思维难以解决的问题,通过逆向思维却可能轻松破解.逆向思维重要性之二:逆向思维会使你独辟蹊径,在别人没有留意到的地方有所觉察,有所建树,从而制胜于出人意料.逆向思维重要性之三:逆向思维会在多种解决问题的方法中获得最正确方法和途径.逆向思维重要性之四:自觉运用逆向思维,会将困难问题简洁化,从而使效率和效果成倍提高.逆向思维重要性之五:逆向思维可运用在各个领域.逆向思维最可宝贵的价值,是它对人们相识的挑战,是对事物相识的不断深化,关心我们克服正向思维中出现的困难,寻求新的思路,新的方法深化学问,开拓新的学问领域,在探究中敢于离径叛道,大胆立异,并由此而产 生“原子弹爆炸般的威力.再遇
13、到新问题时就不会只走“华山一条路了,而是“水路不通走旱路,条条大道通罗马,它是开拓型人才必备的思维品质.四、逆向思维在数学分析中四种作用 一深化定义、定理理解 数学分析这门课程探讨的对象是函数,所用的探讨方法是极限方法,这种抽象又严谨的理论体系要求必需深度驾驭数列极限的定义,为数学分析的接着学习打下坚实基础.1.定义 设有数列an,a是有限常数,若对随便e0,总存在正整数N,对随便正整数nN,有 an-a0,$NN+,nN,有an-a0,$N0,当nN时,an中有无穷多个项满意an-a0,$N= 2其次,分析数列当n=2kN时(k为自然数),虽然an中有无穷多个项满意a2k-00,$d0,x:
14、0x-adxa 有 f(x)-b0,$NN+,nN,有0an-aN,有f(an)-b0,d0,$x:0x-ad 有 取 d=1,$a1:0a1-a1,有f(a1)-be0,11,$a2:0a2-a,有f(a2)-be0, 22 .d= 11,$an:0an-a1)an分析 两题看似困难,实则奇异.可转化为定积分定义形式,这类题目的特点是:先把极限转化为某一函数在区间0,1上的定积分,再把区间0,1进行等分,从而把求极限问题转化为求一个特定结构的和式极限.可利用级数 收敛的必要条件(若级数un收敛,则limun=0)来解决问题,二者均为逆 n=1n向思维实例.解 limnn(n+1)(n+2)L
15、(n+n)12n=limn(1+)(1+)L(1+)nnnnnn1nk =lim1+ nk=1n1kln(1+)nk=1n =limenn =e01ln(1+x)dx=e2ln2-1 1nnn10,an+1=an+c,证明:liman存在并求其值. n分析 用数学归纳法简洁证明数列an是单调递增的,为找到an的上界,接受逆向推理方法,先设liman=a,代入递推关系式an+1=an+c,得 na2=a+c,由于liman非负,因此a=n1+1+4c,从而对任何自然数n, 2必有an1+1+4cc+1,然后用数学归纳法证明这一等式成立.2证明 用归纳法证明数列an严格增加有上界,明显 当n=1时
16、,有a1a2,设n=k时,有akak+1,则ak+cak+1+c, 即ak+cak+1+c,有ak+1ak+2,即数列严格增加.明显,当n=1时,有a1=cc+1,设n=k时,akc+1,则ak+1=c+akc+c+1N时,有anbn,则limanlimbn.nn 若条件anbn改为anbn,其结论仍为limanlimbn nn而不能断言limanlimbn nn分析 若正向分析,则会无从下手,而举一反例来说明该命题不成立将轻而1111易举.如:-,但是lim-=lim=0.nnnnnn 数学分析中,继了解极限后,应用极限方法探讨,无论在理论上或是在应用中都常见的连续函数,进而探讨一样连续,区
17、分一样连续与连续的区分,真正地领悟一样连续的本质及其与连续的关系,对后面的学习中遇到一样收敛、一样有界等概念也有重要作用.一样连续是函数的整体性质,它反映了函数在区间上的更强的连续性,而连续是函数的局部性质,函数f(x)在区间I上一样连续则确定连续,反之不愿定.定理 f(x)在(a,b)内或a,b上一样连续f(x)在(a,b)内或a,b上连续.这个定理的逆命题是不成立的.分析 通过举一反例f(x)=x2在0,+)上连续,但非一样连续.取xn=n+1,xn=n,n=1,2,L,当n时, xn-xn=n+1-n0 但是f(xn)-f(xn)=1 于是,取定差e0=1,则无论d取得多么小,当n足够大
18、时, 那些xn与xn的差小于d,但是函数数值之差不会小于e0, 因此得出f(x)=x2在0,+)上连续,但非一样连续.拓展: 定理1 设f(x)在有限开区间(a,b)上连续,则f(x)在(a,b)上一样连续的充要条件是lim+f(x)与lim-f(x)存在并有限.xaxb注:若f(x)在有限开区间(a,b)上有连续的导函数,且limf(x)与+xaxb-limf(x)均存在且有限,可以推出limf(x)与limf(x)都存在并有限,因此+-xaxbf(x)在(a,b)上一样连续.当函数f(x)在区间(-,+)上连续,定理的必要性不再成立,如 f(x)=x在(-,+)上一样连续,但在端点无极限,
19、对于无穷区间充分 性照旧是对的.定理2 设f(x)在区间 该定理是说,在连续的条件下二阶混合偏导数与求导的次序无关.更一般 地,在连续的条件下,多元函数的高阶混合偏导数与求导的次序无关.而假如一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点是连续.这时,自然会想到一个问题:这个定理的逆命题是否成立?即是否有如下命题: 2z2z命题 假如函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内 yxxy存在且相等,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数连续.分析 虽然易得一函数,使其两个二阶混合偏导数存在相等,并且连续(如 z=exy),但是难得
20、函数z=f(x,y),使其两个二阶混合偏导数存在相等,却不连续.此时,可利用逆向思维的方式,先找到一个不连续的二元函数,如:xy22x2+y2,x+y0g(x,y)=, 0,x2+y2=0这个分段函数在(0,0)点不连续.可以把g(x,y)作为z=f(x,y)的二阶混合偏导数,在通过微分的逆运算积分计算出z=f(x,y).再求z=f(x,y)的偏导数时,是将一个变量看成常量,对另一个变量求导数,故我们可以通过先对x积分得 u(x,y)=g(x,y)dx=yln(x2+y2)+C1 2 再将x看成常量对y积分得 x2+y2(x2+y2)22 v(x,y)=u(x,y)dy=ln(x+y)-+C1
21、y+C2 44其中C1,C2为随便常数.当随便常数C1,C2取不同的值时,就会得到不同的函数,这样的函数会有无穷多个.考虑到求二阶混合偏导时,函数v(x,y)的后三项最终为0,所以不妨只取第一项,并补充定义其在(0,0)点的值为0,即有 (x2+y2)ln(x2+y2),x2+y20, f(x,y)= 40,x2+y2=0.可以验证分段函数z=f(x,y)在(0,0)点不连续,即命题不成立.所以,该定理为充分条件,而不是必要条件.四创新性数学品质 19世纪中叶,数学界长期认为对于一个区间上的随便连续函数,总认为存在可微点的直觉想象,但是1860年数学家魏尔斯特拉斯却极为精致地构造了一可以被称为
22、“数学中的艺术品的反例: f(x)=ancos(bnpx),其中0a1+p,b为奇数.2n=0这是一个在实数轴上点点连续点点不行微的函数,从而严格弄清楚了函数的连续性与可微性之间的关系,推翻了流行很长时间的谬误,可见反例在数学进展史中的重要地位.反例就是逆向思维的一种表现形式,也就是说,逆向思维在数学进展史的崇高地位,这种发散性思维是创建性人才必备的一种思维品质.五、结束语 从以上的例子我们看到,在数学分析学习中,将逆向思维解题方法进行适当的归类和分类.如考虑间接方法,考虑递推,考虑探讨逆否命题,逆向应用公式,考虑问题的不行能性,反证法,分析法,困难化等,可以开拓新的解题途径,避开繁杂的计算,
23、使问题简化而得以顺当解决.这对优化学生的思 维结构,培育他们的创新实力大有裨益.本文作者通过阅读大量有关逆向思维在数学分析中的作用文献,根据自己的学习、探讨、理解、体会、分析,深刻体会到逆向思维是21世纪数学教学所提倡的思维模式.数学问题千变万化,解题方法灵敏多样,虽然我们不行能归纳出题目的一切类型,更不行能找到解题的神方妙法,但是,人们在长期的解题实践中,总结了丰富的阅历,找寻了一些更为科学、更为严谨的解题方法与技巧.逆向思维作为发散思维的一种,必将起到重要作用.我们应当自觉地运用逆向思维方法,创建更多的奇迹.本文简要的表达,望为读者探讨和学习数学分析中有关逆向思维问题供应确定的关心.六、参
24、考文献 1逆向思维反向思维,华东科技 2023,10 2刘玉琏 傅沛仁 林玎 范德馨 刘宁 数学分析讲义.第五版高等教化出 版社 3朱红英 王金华 湘南学院学报.2023:其次期 4梁经珑 娄底师专学报.2023:其次期 5马建珍 宜宾学院学报.2023:第十二期 6裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 .北京:高等教化出版社,2023.631-635 7B.R.Gail Baum,J.M.H.Olmstead.In the analysis of the case .Shanghai;Shanghai Scientific and Technical Publishers,1980.4.2 8
25、凌建 科技风:2023年10月下 其次篇:剖析逆向思维作用 剖析逆向思维的作用 导读:我根据大家的需要整理了一份关于剖析逆向思维的作用的内容,具体内容:SEO 是大家耳熟能详的一个词语,是推广网站中一个常用的方法,那么怎么样才能做好 SEO 呢,下面是我为你们整理的内容,盼望你们宠爱。SEO 是大家耳熟能详的一个词语,是推广网.SEO 是大家耳熟能详的一个词语,是推广网站中一个常用的方法,那么怎么样才能做好 SEO 呢,下面是我为你们整理的内容,盼望你们宠爱。 SEO 是大家耳熟能详的一个词语,是推广网站中一个常用的方法,那么怎么样才能做好 SEO 呢,假如我们站在搜寻引擎的角度考虑问题,假如
26、我们的网站是关心搜寻引擎在为用户供应服务,那么 SEO 是不是将会变得更加自然和快速呢?这种换角度思索问题方法就是逆向思维。今日与大家浅谈逆向思维在 SEO 中的运用。 其一、能顺当打开的网页是好网页:站长搜寻引擎的立场上,被搜寻到的网页打开速度应当足够志向,不能出现持续打不开或者间断性的打不开,因为网速会影响排名。假如排名靠前的网页网速打开缓慢,那么用户就会对搜寻引擎产生不信任感,关于网速影响关键词排名,Google 官方已经正式承认和发表声明。 其二、图文并茂的文章更获得用户宠爱:大家思索一个问题,作为一般用户,是宠爱看单一的图片呢,还是宠爱单纯的文字呢?我想两者应当都不是,能兼之最好,即
27、精致的图片并协作适当的文字,这才是用户的最爱,所以在早期的搜狐搜寻中图文并茂的权重是最高的,排名也是最靠前的。 其实如今的搜寻引擎也是如此,这点也是王通老师力赞的观点,并盼望大家做试验对比验证。 其三、大家都在用的是最好的:平常我们买东西的时候有个很重要的参考标准,那就是销量火爆的产品一般都是不错的产品,因为群众的眼睛是雪亮的。假如站在搜寻引擎的角度,一个被众多用户阅读的网页应当也是有价值的网页,而假如这个网站中的很多网页均有众多用户阅读,那么这个网站就特殊有价值,因此你网站的流量也确定了你网站的质量,很多作弊手法也是通过做流量来提高关键词排名的,同时,从近几年来百度特别重视百度统计也可以想象
28、的到。 其四、获得高流量的前提是有高数量:这个道理相对简洁,假如你想获得 100w 的流量,那么你至少要有 300w 的收录或者更多,从一些门户网站我们就可以觉察,它们海量的收录最终为它们带去了海量的流量,这些流量假如付费推广的话是需要大量资金的。因此,我们想要高流量,就要有高数量作为前提,要大量的创建新的长尾关键词,从网页中深度挖掘将变成一个特殊重要的工作重点。 其五、网页内部必需合理优化:让搜寻引擎的蜘蛛爬行你海量的网页,假如内部结构不合理的话,就好比一个公司内部特别混乱,大家勾心斗角,没有方法团结一样,超同一个目标共同奋斗。所以,内部确定要做基础的SEO 优化,内功先做扎实,再去做外部链
29、接的工作。“攘外必先安内同样适用于互联网。 其六、外部链接不能只看页脚:搜寻引擎赐予外部链接足够的权重,但是很多人就会利用这个方法作弊,所以页脚的链接权重会逐步降低,会逐 渐重视在正文中提到的链接。就像平常在谈话中,不经意间、很自然举出的例子才是真正的好。搜寻引擎自然会留意这一点,并逐步调整。 说到这里,假如用六个词语来总结的话分别是“速度、“图文并茂、“流量、“收录数量、“内部 SEO、“正文链接,其实这六个词语很多站长也都了解,但未必都做的很好。利用逆向思维,站长搜寻引擎的角度,做好这六点,或许你的网站就会得到志向的提升。 第三篇:逆向思维 逆向思维 平阴县其次中学 张树峰 第六周 教学目
30、标: 1、学问和实力:了解逆向思维的概念、类型,驾驭逆向思维的方法,学会用逆向思维思索问题、分析问题、解决问题,培育创新思维实力。 2、过程和方法:通过学生活动、案例、故事、逆向思维训练等指导学生学会逆向思维。 3、情感看法和价值观:激励学生擅长用逆向思维的方法解决问题。教学重点: 通过学生活动、案例、故事、逆向思维训练等指导学生学会逆向思维。教学难点: 如何抓住逆向思维的思索点。教学过程: 一、课前笑话一则: 某师为生布置了画一幅春牛吃草图的绘画作业,一生交了白卷。师大怒,问:这就是你的春牛吃草图吗?!答:是。师:草在哪里?答:草让牛吃完了,你当然看不见了。师:那么牛在哪里?答:牛吃完草当然
31、走了,所以你也看不见了 二、故事引出逆向思维 故事: 抗战时期,有一次,敌人把一个村庄包围了,不让村里的任何人出去,派了一个伪军在村子通向外界的唯一通道一座小桥上把守,正好村里有一个重要的情报要报告给在村外的八路军领导人,在敌人看管如此严密的状况下,怎样才能把情报顺当、又平安送出去呢?村里的一个小八路,勇敢地担当起这个任务,这个小八路在黄昏时趁着夜色的掩护,静静的来到了小桥旁边的芦苇地,隐藏了起来,他认真地视察小桥上发生的一切,他留意到守关卡的敌人打起了瞌睡,凡是由村外的人来,他总是头也不抬就说,回去,回去,村里不让进,如此几次,小八路心里有了方法,于是小八路钻出了芦苇地,静静接近并上了小桥,
32、就在敌人抬头发话之前他突然转身向村里的方向走来,并且有意把脚步声弄得挺大,敌人听到后,还是头也不抬的说,回去,回去,村里不让进,结果小八路顺当过关把情报平安的送了出去,为部队打胜仗立下了丰功伟绩。 老师问:小八路为什么能胜利出去? 答案:因为他胜利地运用了逆向思维。 三、展示本课学习任务 1、了解什么是逆向思维; 2、学会如何进行逆向思维; 3、利用逆向思维解决问题。 四、逆向思维概念理解 1、Ppt显示概念: 逆向思维也称反向思维,是指转换思维视角,用与通常考虑问题的方向相反的思索方法。补充说明:世界上的事物都有正反两个方面,人们也应当从正反两个方面相识事物。但是长期的思维习惯往往使人们只看
33、到其中的一面,使思维的过程和结果越来越雷同,没有新意。利用事物的另一面,逆向思维可以获得意想不到的效果。 2、分析回去,回去,村里不让进的反向思索: 抓住“回去,回去,村里不让进的,他把“出去进行逆向思维,变成了“回去,胜利地过了敌人的关卡。 3、通过案例理解逆向思维概念: 英国毛姆在尚未成名之前,他的小说无人问津,在穷得走投无路之下,他用自己最终一点钱,在大报上登了一个醒目的征婚启事:“本人是个年轻有为的百万富翁,爱好音乐和运动。现征求和毛姆小说中女主角完全一样的女性共结连理。广告一登,书店里的毛姆小说一扫而空,一时之间洛阳纸贵。从今,毛姆的小说销售一帆风顺。正是这一独特创意,变更了自己的命
34、运,成为著名的小说家。 分析:如何让自己成为百万富翁,那就是作品大量销售;如何大量销售作品,那就是人们宠爱;如何让人们宠爱,通过主子公形象;如何借用主子公形象,通过“百万富翁的征婚要求。逆向思维关心毛姆产生独特创意,是贫困的毛姆成了百万富翁,名利双收。 4、测测逆向思维 Ppt显示案例: 一个中国人移民到了美国,因要打官司,就对其律师说:“我们是不是找个时间约法官出来坐一坐或者给他送点礼。律师一听,大骇,说:“千万不行!假如你向法官送礼,你的官司必败无疑。中国人说:“怎么可能?律师说:“你给法官送礼不正说明你理屈吗?几天后,律师给他的当事人打电话:“我们的官司赢了。中国人淡淡地说:“我早就知道了。律师诧异地问:“怎么可能呢?中国人说:“我给法官送了礼。那位律师差点跳了起来,惊呼:“不行能吧!?中国人说:“ 。 问题:这个中国人之所以能够胜利,是因为他对问题进行了逆向思维,你认为他的