2023年高数期末复习题.docx

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1、2023年高数期末复习题 第一篇：高数期末复习题 重点：会求多元函数的定义域、极限、偏导数留意复合函数链式法、全微分；会推断二元函数的极限有不存在、多元函数的连续、可偏导、可微分的必要条件与充分条件；会求多元函数的极值特别是条件极值、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线向量以及方向导数及方向余弦。 一、单项选择题 1设f(x,y)在(x0,y0)点的偏导数存在，则fx(x0,y0)=。 Alimf(x0+Dx,y0+Dy)-f(x0,y0)f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)lim Dx0Dx0DxDx f(x,y)-f(x0,y0)f(x,y)-f(x0,y0)limlim xx0xx

2、0x-x0x-x0yy0 2函数f(x,y)在(x,y)=(x0,y0)处可微是在该处连续的条件.A.充分B.必要C.充分必要D.无关的3设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0,则().(x0,y0)为极值点B.(x0,y0)为驻点 C.f(x,y)在(x0,y0)有定义D.(x0,y0)为连续点 4设f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在,则f(x,y)在该点().极限存在B.连续C.可微D.以上结论均不成 5.若函数f(x, y)在点(xo,yo)处不连续，则()。 Alimf(x, y)必不存在；Bf(xo,yo)必不存在； xxoyyo Cf(x, y)在点(xo,yo)必不行

3、微；Dfx(xo,yo)、fy(xo,yo)必不存6.fx(x0,y0)和fy(x0,y0)存在是函数f(x,y)在点(x0,y0)连续的 A必要非充分条件；B充分非必要条件； C充分且必要条件；D既非充分又非必要条件。 7考虑二元函数f(x, y)的下面4 条性质： 函数f(x, y)在点(xo,yo)处连续； 函数f(x, y)在点(xo,yo)处两个偏导数连续；函数f(x, y)在点(xo,yo)处可微； 函数f(x, y)在点(xo,yo)处两个偏导数存在。则下面结论正确的选项是。 ABCD。8以下极限存在的为 x2x11AlimBlimClimDlimxsin x0x+yx0x+yx

4、0x+yx0x+yy0 y0 y0 y0 x2y 9二元函数极限lim为。 (x,y)(0,0)x4+y 2A0B;C2D不存在 10设f(x,y)=xyex，则fx(1,x)=。 A0BeCe(x+1)D 1+ex 11函数z=Ln(x3+y3)在1，1处的全微分dz=。 A.dx+dyB.2(dx+dy)C.3(dx+dy)D.(dx+dy) 2z 12设z=esin3y，则。= xy 2x Ae2xsin3yBe2x+e2xsin3yC6e2xcos3yD-6e2xsin3y 13设y-xey=0,则 dy =()。dx eyey1-xeyxey-1AB.C.D.xey-11-xeyey

5、ey 14设函数z=f(x,y)在点0，0的某邻域内有定义，且fx(0,0)=3，fy(0,0)=-1，则有 Adz(0,0)=3dx-dy B曲面z=f(x,y)在点(0,0,f(0,0)的一个法向量为(3,-1,1) C曲线 z=f(x,y) 在点(0,0,f(0,0)的一个切向量为(1,0,3) y=0 z=f(x,y)D曲线在点(0,0,f(0,0)的一个切向量为(3,0,1) y=0 15设函数 f(x,y)=x+8y-6xy+5，则f(x,y)(D)。A在(0,0)点有微小值B没有极值 C在(0,0)点有极大值D在1，16函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极值为。点有微小

6、值2 A极大值为8B微小值为0C微小值为8D极大值为0 17.函数z=2x+y在点(1，2)沿各方向的方向导数的最大值为。A3BC 0D 5二、填空题 1函数z=ln(1-x)+ y-x2+x+y-1的定义域是_。 2极限lim sinxy = 。 x2yy0 lim 3二元函数的极限 (x,y)(0,0) (x2+y2)cos =。2 2xy 4设z=e x2y，则dz=。 5设函数z=z(x,y)由方程sinx+2y-z=ez所确定，则 z = _。x 6设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)=3,fy(0,0)=-1, 则曲线z=f(x,y),在点(0,0,

7、f(0,0)的一个法平面为。 x=0 7设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)=2,fy(0,0)=-5, 则曲线 z=f(x,y),在点(0,0,f(0,0)处的切线方程为。 x=0 8.若曲面z=4-x2-y2上点P的切平面平行于2x+2y+z=1,则点P的坐标为9旋转抛物面z=x+y-1在点2，1，4处的切平面方程为 10曲面z=e x2y +2xy-3在点(1, 0, -2)处的切平面方程为_。 11.曲面 z=x+y-3上点,2，处的单位切向量为_ 12求曲线 x=t,y=t2,z=t3在t=1时的点的切线方程_。 13函数u=ln(xy-z)+2yz在

8、点(1,3,1)处沿方向l=(1,1,-1)的方向导数 u =。l 14u=xyz在点M(5,1,2)处沿点5，1，2到点9，4，14的方向的方向导数为。 三、解答题 1 计算极限：。 (x,y)(0,0)lim (x,y)(0,0)lim (1,1) 计算极限： 3设函数z=z(x,y)由方程2xz=2xyz-ln(xyz)所确定，求dz4设z=eusinv，而u=xy，v=x+y求。 zz和xy zz2zx 5设函数z=z(x,y)由方程=ln所确定，求。,zxxyy y22z 6设z=f(2xy,),f具有二阶连续偏导数，求。 xxy 7设函数u=(xy)z，求du (1,2,1)。 8

9、设x,y均是z的函数,且 x+y+z=0dxdy,。，求22 2dzdzx+y+z=1 8已知两点A2，2，2和B1，3，0，求向量的模、方向余弦和方向角 9求函数z=xy-x2+11y-y3的极值点和极值。10求曲线x2+y2+z2=6,x+y+z=0在点(1,-2,1)处的切线及法平面方程。11求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 12将一个正数a分为三个正数x,y,z之和，当x,y,z为何值时它们的乘积xyz最大.13求函数z=x+y+1在y=1-x下的极值。 14求曲面z=x+y与平面x+y-2z=2之间的最短距离。15求外表积为a而体积最大的长方体。 17求二元

10、函数f(x,y)=x+xy-x-y在以O(0,0),A(1,0),B(1,2),E(0,2)为顶点的闭 222 矩形区域D上的最大值和最小值。 19某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，据统计资料，销售收入R万元与电台广告费x(万元)及报纸广告费y(万元)之间有如下阅历公式：。R(x,y)=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2，求最优广告策略利润收入本钱 四、证明题 x2y2 1 证明极限lim不存在。 (x,y)(0,0)x2y2+(x-y)2 2证明极限lim(1+ x+y+ 1)x x2x+y 不存在。 xy,x2+y2022 3.设函数f(x,y)=x+y，证明：

11、函数在0，0点不连续。 0,x2+y2=0 4设z=x+ y)，求证x zz1+y=。xy2 5设z=xy+yF(u)，而u= xzz，F(u)为可导函数，证明x+y=z+xy yxy zz +b=1。xy 6设f为可微函数，且x-az=f(y-bz)，证明：a 2u2u2u 7函数u=(x+y+z),证明：2+2+2=0。 xyz 2- 8证明：曲面xyz=c3(c0)上随便点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为确定值. 其次篇：期末高数复习 期末高数复习重点： 一 求极限 1.等价无穷小的代换; 2.洛必达法则; 3.两个重要极限;lim(1-1/x)x=1/e 二求导，求微分 1.复合

12、函数; 2.隐函数； 3.参数函数； 4.求切线，法线方程； 5.反三角函数：sin y=xy=arcsin x 三函数连续性质 1.连续的定义；左右连续 2.分段函数，分段点处的连续性：求函数的间断点及类型 3.闭区间连续函数的性质：零点定理，介值定理 四求函数的单调性，凹凸区间和拐点 五中值定理闭区间开区间连续可导 课本重点复习章节： 第一章 函数与极限 第五节 极限运算法则 无穷小因子分出法 P47例5-例7;消去零因子法P46例3；通分化简 第六节 极限存在法则；两个重要极限 P58：例7可用洛必达法则求； 求幂指函数的极限：如例8 第七节 无穷小的比较 几个重要等价无穷小的代换 第八

13、节 函数的连续性 证明函数的连续性;求函数的间断点及类型，特别是可去间断点 第九节 闭区间上连续函数的性质 中值定理和介值定理 其次章 导数与微分 第三节 复合函数的求导法则 第五节 隐函数的导数以及参数方程所确定的函数的导数 对数求导法 P116 例5，例6； 参数求导 第三章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 其次节 洛必达法则 各种未定式类型求极限 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 单调性和驻点；凹凸性和拐点；不行导点 第三篇：高数总复习题一 1总习题一 1.在“充分、“必要和“充分必要三者中选择一个正确的填入以下空格内: (1)数列xn有界是数列xn收敛的_条件.数列xn收敛是

14、数列xn有界的_的条件.(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的_条件.xx0 xx0limf(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的_条件.xx0(3)f(x)在x0的某一去心邻域内无界是limf(x)=的_条件.xx0limf(x)=是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的_条件. xx0(4)f(x)当xx0时的右极限f(x0+)及左极限f(x0-)都存在且相等是limf(x)存 在的_条件.解(1)必要, 充分.(2)必要, 充分.(3)必要, 充分. (4)充分必要.2.选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f(x)=2x+3x-2.则当x0时,

15、 有().(A)f(x)与x是等价无穷小;(B)f(x)与x同阶但非等价无穷小; (C)f(x)是比x高阶的无穷小;(D)f(x)是比x低阶的无穷小.xxxxf(x)2+3-22-13=lim=lim+lim-1解 因为limx0x0x0x0xxxx t+ln3limu=ln2+ln3=ln2lim(令2x-1=t, 3x-1=u). t0ln(1+t)u0ln(1+u) 所以f(x)与x同阶但非等价无穷小.故应选B.3.设f(x)的定义域是, 求以下函数的定义域: (1)f(ex); (2)f(ln x); (3)f(arctan x); (4)f(cos x).解(1)由0ex1得x0,

16、即函数f(ex)的定义域为(-, 0.(2)由0 ln x1得1xe , 即函数f(ln x)的定义域为.(3)由0 arctan x 1得0xtan 1, 即函数f(arctan x)的定义域为.(4)由0 cos x1得2np-px2np+p(n=0, 1, 2, ),22 即函数f(cos x)的定义域为,(n=0, 1, 2, ).22 4.设 x00x 00 f(x)=, g(x)=2,xx 0-xx0 求f, g, f, g.0x0解 因为f(x)0, 所以f=f(x)=xx0; 因为g(x)0, 所以g=0;因为g(x)0, 所以f=0; x00 因为f(x)0, 所以g=-f

17、2(x) =2.-xx0 5.利用y=sin x的图形作出以下函数的图形: (1)y=|sin x|;(2)y=sin|x|;(3)y=2sinx.6.把半径为R的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为a的一扇形后围成一无底圆锥.试将这圆锥的体积表为a的函数. 解 设围成的圆锥的底半径为r, 高为h, 依题意有 R(2p-a) R(2p-a)=2pr , r=, 22R2(2p-a)2pa-a=Rh=R-r=R-.2p4p2 圆锥的体积为 R2(2p-a)214pa-a2 RV=p 32p4p2 3R(2p-a)2pa-a2(0a0, 要使|-x-6-5|e, 只需|x-3|e , 取d=e ,

18、当x-3 0|x-3|d时, 就有|x-3|e , 即|x-x-6-5|0, b0, c0);x03 (6)lim(sinx)tanx.xp 2(x-1)2x1=.=0, 所以lim-x+解(1)因为lim2 2x1x-x+1x1(x-1) x(x2+1-xx2+1+x) (2)limx(x+1-x)=lim 2x+x+(x+1+x) =lim x+ x11.=lim= x2+1+xx+1+12 x2 2x+1+1 2x+322x+1x+1 (3)lim)=lim(1+=lim(1+)22 x2x+1xx2x+12x+1 2x+12x+111 =lim(1+2(1+2)=lim(1+2)lim

19、(1+2)=e.xxx2x+12x+12x+12x+1 sinx(1-1)sinx(1-cosx)sinx=lim=lim(4)limtanx- x0x0x0x3x3x3cosx sinx2sin2x2x(x2 =lim=1 (提示: 用等价无穷小换) .=lim33x0x0xcosxx2 xxx1xxx a+b+ca+b+c-3ax+bx+cx-3=lim(1+(5)lim(x0x033xxx a+b+c-3ax+bx+cx-3=e,lim(1+x03 ax+bx+cx-3 3x, 因为 xxxxxx lima+b+c-3=1lim(a-1+b-1+c-1 x03x3x0xxx =1 t0l

20、n(1+t)u0ln(1+u)v0ln13(+v) =1(lna+lnb+lnc)=ln,3 xxx13 所以lima+b+c)=eln=.x03 提示: 求极限过程中作了变换ax-1=t, bx-1=u, cx-1=v.(6)lim(sinx) x2 tanx =lim.xx(x+,x-) x (2)求曲线y=(2x-1)e的斜渐近线.证明(1)仅就x的状况进行证明. 按渐近线的定义, y=kx+b是曲线y=f(x)的渐近线的充要条件是lim=0. x 必要性: 设y=kx+b是曲线y=f(x)的渐近线, 则lim=0, x 于是有limxx f(x)f(x)f(x) ,-k-b=0lim-

21、k=0k=lim xxxxxx =0b=lim.同时有lim x x 充分性: 假如k=lim x x f(x) , b=lim, 则 xx x x lim=lim=lim-b=b-b=0, 因此y=kx+b是曲线y=f(x)的渐近线. y2x-1(2)因为k=lim=limex=2,xxxx b=lim=lim=2limx(e-1)-1=2lim x x x x1x t-1=1,t0ln1(+t) 所以曲线y=(2x-1)e的斜渐近线为y=2x+1. x 第四篇：高数期末复习总结 高数期末复习 定积分 1、变上限定积分求导数 dxf(t)dtdxa，2、定积分的计算牛顿莱布尼兹公式用到不定积

22、分主要公式tdt、1dt、edt、tat，sintdt、costdt，凑微分法 3、对称区间奇偶函数的定积分，4、定积分的几何意义，5、a0，+a1dxxa收敛、发散的充要条件，6、定积分应用：求平面曲线所围成图形的面积，已知边际收益，求平均收益。 多元函数 1、求已知多元函数的偏导数及全微分，2、半抽象函数的一阶偏导数，3、求一个已知二元函数的极值，4、直角坐标系下f(x,y)dxdy的计算及交换 D二次积分的依次。 微分方程 1、一阶微分方程，2、可分别变量微分方程求解，3、一阶线性非齐次微分方程的求解公式法、常数变易法。 无穷级数 记住e、sinx、cosx绽开式，并理解绽开式中的x可以

23、换元。 线性代数部分 1、计算行列式，2、矩阵乘法，3、利用行变换求矩阵的秩，4、方阵可逆的充要条件，矩阵可逆时求逆矩阵，5、非齐次线性方程组AX=B无解、有解、有唯一解、有无穷多解的充要条件，一个具体的线性方程组的求解，6、求一般二阶方阵和特殊三阶方阵对角矩阵、上三角形矩阵、下三角形矩阵的特征值及特征向量。xmnn1m1 第五篇：高数精品 高等数学精品课程 支 撑 材 料(二) 贵州高校 2023年6月 支撑材料书目 一、课程简介 二、高等数学教学大纲 三、示范教学用课件及教案 四、教学改革项目 1、贵州省高等教化面对21世纪教学内容和课程体系改革支配项目。 五、教学改革论文 1、向淑文等，

24、数学教学方法、手段及考评内容和方法的探讨与创新，进展创新改革-世行贷款二十一世纪初高等理工科教化教学改革项目结题成果汇编，教化部高等教化司编，高等教化出版社，pp.51-55。 2、周国利、王锡贵，加强素养教化，提高教学质量，贵州工业高校学报社会科学版，1999.9，pp.33334。 3、明祖芬、韦维、张大凯，计算方法课件写作介绍，贵州高校学报自然科学版，1998.11，pp.276279。 4、黄敏，数理统计在试卷分析中的应用，玉溪师范学院学报，2023年第3期，pp.1013。 5、明祖芬，参数方程所确定的函数的高阶导数的一种逐次求导法，贵州高校学报，2023.3，pp.218220。

25、6、明祖芬，谈谈数值分析课的教学与课件写作，贵州高校学报，1997.7，pp.7274。 7、彭长根、蔡绍洪、樊玫玫，任登鸿，基于Internet的试验室评估系统的设计与实现，贵州高校学报，2023.8，pp.307312。 8、胡尧，罗文俊，改良Gauss消去法求解线性方程组，贵州高校学报，2023.5，pp.127131。 9、周永辉，中国工科微积分学教材进展史上的“两个移植，贵州师范高校学报，2023.2，pp.6468。 10、周永辉，加强数学教化管理与探讨，提高数学教学质量，贵州教化学院学报，2000.8，pp.7680。 六、学术论文 1、Jian yu、Shu-wen Xiang

26、,The stability of the set of KKM points,Nonlinear Analysis 54(2023)839-844 2、Shuwen Xiang、Yonghui Zhou,On essential sets and essential components of efficient solutions for vector optimization problems,J.Math.Anal.Appl.315(2023)317-326 3、Shu-wen Xiang、Gui-dong Liu、Yang-hui Zhou,On the strongly essen

27、tial components of Nash equilibria lf infinite n-person games with quasiciconcave payoffs, Nonlinear Analysis 63(2023)e2639-e2647 4、Yong-hui Zhou , Shu-wen Xing , and Hui Yang , Stability of solutions for Ky Fans section theorem with some applications , Nonlinear Analysis 62(2023)1127-1136 5、S.W.Xia

28、ng ,Y.H.Zhou , Continuity properties of solutions of vector optimizations , Nonlinear Analysis 64(2023)2496-2506 6、Wei Wei and X.Xing, Optimal control for a class of nonlinear impulsive equations in Banach spaces, Nonlinear Analysis 36(2023), e53-e63.7、WeiWei and H.M.Yin, Global solvablity for a sin

29、glar nonlinear Maxwells equations, Communications on pure and applied analysis，4(2023), 431-444.8、WEI WEI、HONG-MING YIN ,NUMERICAL SOLUTIONS TO BEANS CRITICAL-STAYE MODEL FOR TYPE- OF SUPERCONDUCTORS,INYERNATIONAL JOURNAL NUMERICAL ANALYSIS AND MODELING, 2(2023)473-488 七、教学成果及有关获奖证书 1、周国利，贵州省高等学校教学名

30、师证书，贵州省教化厅，2023.7.2、周国利，1999贵州省一般高等学校教学管理先进个人，贵州省教化委员会，1999.6 3、杨辉、胡支军、向淑文、刘真祥、黄敏，开展数学建摸教学、促进高校数学教学改革，贵州省高等教化教学成果奖省级二等奖，贵州省教化厅，2023.12 4、明祖芬、韦维，“计算方法课课堂教学现代化的探究与实践，省级三等奖，贵州省教化厅，2023.8 5、明祖芬，坚持教学改革、努力提高教学质量，校级优秀教学成果一等奖，贵州高校，1991.11.6、明祖芬、韦维，计算方法课件写作，理工学院优秀教学成果优秀奖，贵州高校理工学院，2000.10.7、贵州高校理学院，全国高等学校教学探讨

31、会数学学科委员会单位委员，全国高等学校教学探讨会，2023.7.8、向淑文，全国高校生数学建模竞赛优秀组织工作者，全国高校生数学建模竞赛组委会，2023.9、杨辉，全国高校生数学建模竞赛优秀指导老师，全国高校生数学建模竞赛组委会，2023.10、胡支军，全国高校生数学建模竞赛优秀指导老师，全国高校生数学建模竞赛组委会，2023.11、舒亚东、万亚兵、舒勇，2023年高教社杯全国高校生数学建模竞赛甲组一等奖，教化部高等教化司、中国工业与应用数学学会，2023 12、张亚军、常江、王耀星，2023年高教社杯全国高校生数学建模竞赛甲组二等奖，教化部高等教化司、中国工业与应用数学学会，2023 13、

32、常江等，2023年高教杯全国高校生数学建模竞赛甲组二等奖，教化部高等教化司、中国工业与应用数学学会，2023 14、崔巍等，2023年高教社杯全国高校生数学建模竞赛甲组二等奖，教化部高等教化司、中国工业与应用数学学会，2023 15、学生：杨应明、邓一斌、侯先培，指导老师：戴佳佳等，2023年全国高校生数学建模竞赛二等奖，教化部高等教化司、中国工业与应用数学学会，2023 16、学生：王晓娟、徐喜虹、李再弟，指导老师：杨光惠等，2023年全国高校生数学建模竞赛二等奖，教化部高等教化司、中国工业与应用数学学会，2023 17、田玉莲等，2023年高社杯全国高校生数学建模竞赛二等奖，教化部高等教化

33、司、中国工业与应用数学学会，2023 18、胡思贵、陈昌恒、徐凤美，2023年全国高校生数学建模竞赛二等奖，教化部高等教化司、中国工业与应用数学学会，2023。 19、学生：罗小林等，指导老师：胡支军，2023年全国高校生数学建模竞赛贵州赛区二等奖，中国工业与应用数学学会、全国高校生数学建模竞赛组委会，2023 20、陈杰等，2023年全国高校生数学建模竞赛二等奖，教化部高等教化司、中国工业与应用数学学会，2023 21、学生：张仕学、夏仁强、曾斌，指导老师：胡支军，2000年网易杯全国高校生数学建模竞赛贵州赛区一等奖，全国高校生数学建模竞赛贵州赛区组委会、中国工业与应用数学学会，2000 2

34、2、学生：李进宇等，指导老师：胡支军，2000年网易杯全国高校生数学建模竞赛贵州赛区一等奖，全国高校生数学建模竞赛贵州赛区组委会、中国工业与应用数学学会，2000 23、学生：陈明庆等，指导老师：杨辉，99年创维杯全国高校生数学建模竞赛联合赛区二等奖，中国工业与应用数学学会，1999 24、学生：何光发等，指导老师：胡支军，1998年全国高校生数学建模竞赛联合赛区一二等奖，中国工业与应用数学学会，1998 25、学生：唐云飞等，指导老师：杨辉，1998年全国高校生数学建模竞赛联合赛区一二等奖，中国工业与应用数学学会，1998 26、学生：左建军等，指导老师：胡支军，99年创维杯全国高校生数学建

35、模竞赛二等奖，中国工业与应用数学学会，1999。 27、郭正林，1999年事业单位工作人员考核优秀，贵州高校，2000.3 28、明祖芬，社会主义精神文明建设创建1997-1998先进个人，中共贵州高校委员会、贵州高校，1999.5 29、明祖芬，1997年事业单位工作人员考核优秀，贵州高校，1998.3 30、明祖芬，贵州高校“先进老师，贵州高校，1998.9 八、编写出版教材书目 1、廖代明、黄朝芬、刘治修，高等学校专科试用教材高等数学上下册，贵州人民出版社 2、何伟保、张民选，数值分析，贵州科技出版社 3、周国利、况山，高等学校教材概率论与数理统计，重庆高校出版社 4、张方南、张民选、白世恒、李声庆，高等学校教材高等数学(上下册)，贵州人民出版社