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1、三角函数三角函数【知识网络】一、任意角的概念与弧度制一、任意角的概念与弧度制 1、将沿轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.x逆时针旋转为正角正角，顺时针旋转为负角负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为360kkZ A轴上角：x180kkZ A轴上角：y90180kkZ A3、第一象限角：036090360kkkZAA第二象限角：90360180360kkkZAA第三象限角：180360270360kkkZAA第四象限角：270360360360kkkZAA4、区分第一象限角、锐角以及小于的角90第一象限角：036090360kkkZAA锐角： 小于的角：0909090 任意角的概念
2、弧长公式角度制与 弧度制同角三角函数 的基本关系式诱导 公式计算与化简 证明恒等式任意角的 三角函数三角函数的 图像和性质已知三角函 数值求角 图像和性质和角公式和角公式倍角公式倍角公式差角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用5、若为第二象限角，那么为第几象限角？2kk222kk224,24, 0k,23 45, 1k所以在第一、三象限26、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为 弧度的圆心角，记作.11rad7 7、角度与弧度的转化：、角度与弧度的转化： 01745. 01801815730.571801 8 8、角度与弧度对应表：、角度与弧度对应表：角度0304560901201351
3、50180360弧度06 4 3 22 33 45 629 9、弧长与面积计算公式、弧长与面积计算公式弧长：；面积：，注意：这里的均为弧度制.lR211 22SlRR二、任意角的三角函数二、任意角的三角函数1、正弦：；余弦；正切 siny rcosx rtany x其中为角终边上任意点坐标，., x y22rxy2 2、三角函数值对应表：、三角函数值对应表：3 3、三角函数在各象限中的符号、三角函数在各象限中的符号度030456090120135150180270360弧度06 4 3 22 33 45 63 22sin01 22 23 213 22 21 2010cos13 22 21 20
4、1 22 23 2101tan03 313无313 30无0ry)(x,P口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全 s t c” ）sintancos第一象限： sin0,cos0,tan0,0, 0.yx第二象限： sin0,cos0,tan0,0, 0.yx第三象限： sin0,cos0,tan0,0, 0.yx第四象限： sin0,cos0,tan0,0, 0.yx4 4、三角函数线三角函数线设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与OxP ，( , )x y过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向PxM(1,0)A 延长线交于点 T.
5、由四个图看出： 当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有,OMx MPy， ，sin1yyyMPrcos1xxxOMrtanyMPATATxOMOA我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线正弦线、余弦线、正切线。,MP OM AToxyMTP AoxyMTPAxyoMTPAxyoMTPA（ ）（ ）（ ）（ ）5 5、同角三角函数基本关系式、同角三角函数基本关系式22sincos1sintantancot1cosAcossin21)cos(sin2cossin21)cos(sin2(，三式之间可以互相表示，三式之间可以互相表示)cossincossincossin6、诱导公式诱导公式口诀
6、：奇变偶不变口诀：奇变偶不变, ,符号看象限符号看象限(所谓奇偶指的是中整数的奇偶性，把看作锐2n n角)；. .21 2( 1) sin,sin()2( 1)s ,nnnncon 为偶数为奇数21 2( 1)s ,s()2( 1)sin,nnconncon 为偶数为奇数.公式（一）：与2,kkZ；sin)2sin( kcos)2cos( ktan)2tan( k.公式（二）：与；sinsin coscostantan .公式（三）：与；sinsin coscos tantan.公式（四）：与；sinsincoscos tantan .公式（五）：与2；sincos2cossin2 .公式（六
7、）：与2；sincos2cossin2.公式（七）：与3 2；3sincos2 3cossin2.公式（八）：与3 2；3sincos2 3cossin2 3 3、三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质1、将函数的图象上所有的点，向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）sinyxsinyx到原来的倍（纵坐标不变） ，得到函数的图象；再将函数1 sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变） ，得sinyxA到函数的图象。sinyAx2、函数函数的性质：的性质：sin0,0yAxA振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：
8、A2T 1 2fT x。3 3、周期函数：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一 f xT个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，叫做该函数的周叫做该函数的周x f xTf x f xT期期. .4 4、对称轴：令，得)sin(xAy2xk 2k x对称中心：，得，； kxkx)(0 ,(Zkk对称轴：令，得；)cos(xAykxkx对称中心：，得，；2kx 2k x)(0 ,2(Zkk 周期公式周期公式: :函数及的周期 (A、为常数，且sin()yAxcos()yAx2TA0).函数的周期 (A、为常数，且 A0).xAytanT5 5、三角函数的图像与性质表格、三角函数
9、的图像与性质表格sinyxcosyxtanyx图 像定 义 域RR,2x xkkZ值 域1,11,1R最 值当时，22xkkZ；max1y当时，22xkkZmin1y 当时，2xkkZ；当max1y2xk时，kZmin1y 既无最大值也无最小值周 期 性22奇 偶 性奇函数偶函数奇函数单 调 性在2,222kk上是增函数；kZ在32,222kk上是减函数kZ在上2,2kkkZ是增函数；在2,2kkkZ上是减函数在,22kk上是增函数kZ函数性质对 称 性对称中心,0kkZ对称轴2xkkZ对称中心,02kkZ对称轴xkkZ对称中心,02kkZ无对称轴6. 五点法作五点法作)sin(xAy的简图的
10、简图，设xt，取 0、2、23、2来求相应x的值以及对应的 y 值再描点作图。7. 的的图像)sin(xAy8.8. 函数的变换：函数的变换： （1 1）函数的平移变换）函数的平移变换) 0)()(aaxfyxfy 将)(xfy 图像沿x轴向左（右）平移a个单位（左加右减）（左加右减）) 0()()(bbxfyxfy 将)(xfy 图像沿y轴向上（下）平移b个单位（上加下减）（上加下减） （2 2）函数的伸缩变换：）函数的伸缩变换： )0)()(wwxfyxfy 将)(xfy 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w1倍（1w缩短， 10 w伸长）)0)()(AxAfyxfy 将)(xfy 图像横坐
11、标不变，纵坐标伸长到原来的 A 倍（1A伸长，10 A缩短） （3 3）函数的对称变换：）函数的对称变换：)()(xfyxfy) 将)(xfy 图像绕y轴翻折 180（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于x轴对称）)()(xfyxfy将)(xfy 图像绕x轴翻折 180（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于y轴对称）)()(xfyxfy 将)(xfy 图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）)()(xfyxfy保留)(xfy 在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动）四、三角恒等变换四、三角恒等变换1.1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：两角和与差的正
12、弦、余弦、正切公式： (1） cossincossin)sin(2）cossincossin)sin(3）sinsincoscos)cos(4）sinsincoscos)cos(5） tantan1tantan)tan(tantantan1 tantan(6） tantan1tantan)tan(tantantan1tantan(7) =(其中,辅助角所在象限由点所在的象sincosab22sin()ab( , )a b限决定, ，该法也叫合一变形). 2222sin,cos,tanbab aabab (8) )4tan(tan1tan1 )4tan(tan1tan1 2.2. 二倍角公式二倍
13、角公式（1）aaacossin22sin （2）1cos2sin21sincos2cos2222aaaaa（3）aaa2tan1tan22tan 3.3. 降幂公式：降幂公式：（1）22cos1cos2aa （2） 22cos1sin2aa4.4. 升幂公式升幂公式（1） （2）2cos2cos122sin2cos12（3） （4）2)2cos2(sinsin122cossin1（5）2cos2sin2sin5.5. 半角公式半角公式（符号的选择由所在的象限确定）2（1）2cos1 2sinaa， （2）2cos1 2cosaa ，（3）aa aa aaa sincos1 cos1sin co
14、s1cos1 2tan6. 万能公式: （1）, （2）,2tan12tan2 sin 2 2tan12tan1 cos 22 （3）.2tan12tan2 tan 2 7.7.三角变换：三角变换： 三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活 运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。 （1）角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、 删除角的恒等变形 （2）函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：)sin(cossin22baba其中 2222sin,cos babbaa ，比如： xxycos3sin)co
15、s )3(13sin )3(11()3(1 222222xx )cos23sin21(2xx)3sincos3cos(sin2xx)3sin(2x（3）注意“凑角”运用：， ， 1 2例如：已知,，则),43(、53)sin(1312)4sin(?)4cos(（4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”可转化为“”22cossin（5）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：acos1常用升幂化为有理式。（6）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。 （7）结构变化：在三角变换中常常对条件、
16、结论的结构进行调整，或重新分组，或移 项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方 等。 （8）消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法 （9）思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去 选择更合适、简捷的方法去解题目。（10）利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：aacossin ，aacossin aacossin，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。8.8.函数的最值函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：bxaysin（或)cosbxa型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨
17、论xbxaycossin型：引进辅助角化成)sin(22xbay再利用有界性cxbxaysinsin2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sinx的约束dxcbxaysinsin型：反解出xsin，化归为1sinx解决cxxbxxaycossin)cos(sin型：常用到换元法：xxtcossin，但须注意t的取值范围：2t。9.三角形中常用的关系：)sin(sinCBA， )cos(cosCBA， 2cos2sinCBA，)(2sin2sinCBA， )(2cos2cosCBA10. 常见数据：常见数据：6262sin15cos75,sin75cos1544 ，, ,3215tan3275tan