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1、高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系 ,.UxAxC AUxC AxA2.德摩根公式 .();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B3.包含关系 ABAABBUUABC BC AUAC B UC ABR4.容斥原理 ()()card ABcardAcardBcard AB ()()card ABCcardAcardBcardCcard AB.()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC5集合的子集个数共有 个；真子集有1 个；非空子集有 12 ,na aa2n2n2n1 个；非空的真子集有2 个.2n 6.二次
2、函数的解析式的三种形式(1)一般式;2( )(0)f xaxbxc a(2)顶点式;2( )()(0)f xa xhk a(3)零点式.12( )()()(0)f xa xxxxa7.解连不等式常有以下转化形式( )Nf xM ( )Nf xM ( ) ( )0f xMf xN |( )|22MNMNf x( )0( )f xN Mf x.11 ( )f xNMN8.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后0)(xf),(21kk0)()(21kfkf者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在)0(02acbxax内,等价于,或且,或且),(21kk0)()(21kfkf
3、0)(1kf2221 1kk abk0)(2kf.221 22kabkk9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区)0()(2acbxaxxfqp,abx2间的两端点处取得，具体如下：(1)当 a0 时，若，则qpabx,2；minmaxmax( )(),( )( ),( )2bf xff xf pf qa，.qpabx,2maxmax( )( ),( )f xf pf qminmin( )( ),( )f xf pf q(2)当 a0) （1），则的周期 T=a；)()(axfxf)(xf（2），0)()(axfxf或，)0)()(1)(xfxfaxf或,1()( )
4、f xaf x ( ( )0)f x 或,则的周期 T=2a；21( )( )(),( ( )0,1 )2f xfxf xaf x)(xf(3)，则的周期 T=3a；)0)()(11)(xfaxfxf)(xf(4)且，则)()(1)()()(2121 21xfxfxfxfxxf1212( )1( ()()1,0 | 2 )f af xf xxxa的周期 T=4a；)(xf(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf xaf xa f xaf xa,则的周期 T=5a；( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f xa f xa f xa f xa)(xf(6)，则的周期 T=6a
5、.)()()(axfxfaxf)(xf 30.分数指数幂 (1)（，且）.1m n nma a0,am nN1n (2)（，且）.1m n m na a0,am nN1n 31根式的性质（1）.()nnaa（2）当为奇数时，；nnnaa当为偶数时，.n,0|,0nna aaaa a 32有理指数幂的运算性质(1) .(0, ,)rsr saaaar sQ(2) .()(0, ,)rsrsaaar sQ(3).()(0,0,)rrraba b abrQ注： 若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式.log
6、b aNbaN(0,1,0)aaN 34.对数的换底公式 (,且,且, ).logloglogm a mNNa0a 1a 0m 1m 0N 推论 (,且,且, ).loglogmn aanbbm0a 1a ,0m n 1m 1n 0N 35对数的四则运算法则 若 a0，a1，M0，N0，则 (1);log ()loglogaaaMNMN(2) ;logloglogaaaMMNN(3).loglog()n aaMnM nR36.设函数,记.若的定义域为)0)(log)(2acbxaxxfmacb42)(xf,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要R0a0)(xfR0a00a 单独检验. 3
7、7. 对数换底不等式及其推广若,则函数0a 0b 0x 1xalog ()axybx(1)当时,在和上为增函数.ab1(0,)a1(,)alog ()axybx， (2)当时,在和上为减函数.ab1(0,)a1(,)alog ()axybx推论:设，且，则1nm0p 0a 1a （1）.log()logmpmnpn（2）.2logloglog2aaamnmn38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有pxy.(1)xyNp 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系( 数列的前 n 项的和为).11,1,2n nnsnassnna12nnsaaa4
8、0.等差数列的通项公式；* 11(1)()naanddnad nN其前 n 项和公式为1() 2n nn aas1(1) 2n nnad.2 11()22dnad n41.等比数列的通项公式；1*1 1()nn naaa qqnNq其前 n 项的和公式为11(1),11 ,1nnaqqsqna q 或.11,11 ,1nnaa qqqs na q 42.等比差数列:的通项公式为 na11,(0)nnaqad ab q；1(1) ,1(),11nn nbnd q abqdb qdqq 其前 n 项和公式为.(1) ,(1)1(),(1)111n nnbn ndq sdqdbn qqqq 43.分
9、期付款(按揭贷款) 每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).(1) (1)1nnabbxbanb44常见三角不等式（1）若，则.(0,)2xsintanxxx(2) 若，则.(0,)2x1sincos2xx(3) .|sin|cos| 1xx 45.同角三角函数的基本关系式 ，=，.22sincos1tan cossintan1cot46.正弦、余弦的诱导公式21 2( 1) sin ,sin()2( 1)s ,nnnco 21 2( 1)s ,s()2( 1)sin,nnconco 47.和角与差角公式;sin()sincoscossin;cos()coscossinsin.tantant
10、an()1tantan(平方正弦公式);22sin()sin()sinsin.22cos()cos()cossin=(辅助角所在象限由点的象限决定,sincosab22sin()ab( , )a b).tanb a48.二倍角公式 .sin22sincos.2222cos2cossin2cos11 2sin .22tantan21tan 49. 三倍角公式 .3sin33sin4sin4sinsin()sin()33(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数).3cos34cos3cos4coscos()cos()33.323tantantan3tantan()tan()1 3ta
11、n3350.三角函数的周期公式 函数，xR 及函数，xR(A,为常数，且sin()yxcos()yxA0，0)的周期；函数，(A,为常数，2T tan()yx,2xkkZ且 A0，0)的周期.T 51.正弦定理 .2sinsinsinabcRABC52.余弦定理;2222cosabcbcA;2222cosbcacaB.2222coscababC 53.面积定理（1）（分别表示 a、b、c 边上的高）.111 222abcSahbhchabchhh、（2）.111sinsinsin222SabCbcAcaB(3).221(| |)()2OABSOAOBOA OB 54.三角形内角和定理 在ABC
12、 中，有()ABCCAB.222CAB222()CAB55. 简单的三角方程的通解.sin( 1) arcsin (,| 1)kxaxka kZa .s2arccos (,| 1)co xaxka kZa.tanarctan (,)xaxka kZ aR 特别地,有.sinsin( 1)()kkkZ .scos2()cokkZ.tantan()kkZ 56.最简单的三角不等式及其解集.sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ.sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ.cos(| 1)(2arccos ,2arcco
13、s ),xa axkaka kZ.cos(| 1)(2arccos ,22arccos ),xa axkaka kZ.tan()(arctan ,),2xa aRxka kkZ.tan()(,arctan ),2xa aRxkka kZ57.实数与向量的积的运算律 设 、 为实数，那么 (1) 结合律：(a a)=()a a; (2)第一分配律：(+)a a=a a+a;a; (3)第二分配律：(a a+b b)=a a+b b. 58.向量的数量积的运算律： (1) a ab=b= b ba a （交换律）; (2)（a a）b=b= （a ab b）= =a ab b= a a（b b）;
14、 (3)（a a+b+b）c=c= a a c c +b+bc.c. 59.平面向量基本定理 如果 e e1 1、e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且 只有一对实数 1、2，使得 a=a=1e e1+ +2e e2 不共线的向量 e e1、e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底 60向量平行的坐标表示 设 a a=,b b=，且 b b0 0，则 a a b(bb(b0)0).11( ,)x y22(,)xyA12210x yx y53. a a与 b b 的数量积(或内积) a ab b=|a a|b b|cos61. ab 的几何意义 数
15、量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a a=,b b=，则 a+b=a+b=.11( ,)x y22(,)xy1212(,)xxyy(2)设 a a=,b b=，则 a-b=a-b=. 11( ,)x y22(,)xy1212(,)xxyy(3)设 A，B,则.11( ,)x y22(,)xy2121(,)ABOBOAxx yy (4)设 a a=，则a=a=. .( , ),x yR(,)xy(5)设 a a=,b b=，则 a ab=b=.11( ,)x y22(,)xy1212()x xy y63.两向
16、量的夹角公式公式(a a=,b b=).12122222 1122cosx xy yxyxy 11( ,)x y22(,)xy64.平面两点间的距离公式=,A Bd|ABAB AB (A，B).22 2121()()xxyy11( ,)x y22(,)xy65.向量的平行与垂直 设 a a=,b b=，且 b b0 0，则11( ,)x y22(,)xyA A|b bb b=a a .12210x yx ya ab(ab(a0)0)a ab=b=0.12120x xy y66.线段的定比分公式 设，是线段的分点,是实数，且，111( ,)P x y222(,)P xy( , )P x y12P
17、P12PPPP 则121211xxxyyy 12 1OPOPOP （）.12(1)OPtOPt OP 1 1t 67.三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为、,则ABC 的重心的坐11A(x,y)22B(x,y)33C(x,y)标是.123123(,)33xxxyyyG68.点的平移公式 .xxhxxhyykyykOPOPPP 注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的F( ,)P x yPP坐标为.( , )h k 69.“按向量平移”的几个结论（1）点按向量 a a=平移后得到点.( , )P x y( , )h k(,)P xh yk(2) 函数的
18、图象按向量 a a=平移后得到图象,则的函数解析式( )yf xC( , )h kCC为.()yf xhk(3) 图象按向量 a a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数C( , )h kCC( )yf xC解析式为.()yf xhk(4)曲线:按向量 a a=平移后得到图象,则的方程为C( , )0f x y ( , )h kCC.(,)0f xh yk(5) 向量 m m=按向量 a a=平移后得到的向量仍然为 m m=.( , )x y( , )h k( , )x y 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则OABC, ,A B C, ,a b
19、c（1）为的外心.OABC222OAOBOC （2）为的重心.OABC0OAOBOC （3）为的垂心.OABCOA OBOB OCOC OA （4）为的内心.OABC0aOAbOBcOC （5）为的的旁心.OABCAaOAbOBcOC 71.常用不等式：（1）(当且仅当 ab 时取“=”号), a bR222abab（2）(当且仅当 ab 时取“=”号), a bR2abab（3）3333(0,0,0).abcabc abc （4）柯西不等式22222()()() , , , ,.abcdacbda b c dR（5）.bababa72.极值定理 已知都是正数，则有yx,（1）若积是定值，则当
20、时和有最小值；xypyx yx p2（2）若和是定值，则当时积有最大值.yx syx xy2 41s推广 已知，则有Ryx,xyyxyx2)()(22（1）若积是定值,则当最大时,最大；xy|yx |yx 当最小时,最小.|yx |yx （2）若和是定值,则当最大时, 最小；|yx |yx | xy当最小时, 最大.|yx | xy73.一元二次不等式，如果与20(0)axbxc或2(0,40)abac a同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之2axbxca2axbxc 间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. ；121212()()0()xxxxxxxxx.121212,()
21、()0()xxxxxxxxxx或74.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有.22xaxaaxa 或.22xaxaxaxa 75.无理不等式（1） .( )0 ( )( )( )0( )( )f x f xg xg xf xg x （2）.2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或（3）.2( )0 ( )( )( )0( ) ( )f x f xg xg xf xg x 76.指数不等式与对数不等式 (1)当时,1a ; ( )( )( )( )f xg xaaf xg x.( )0log( )log( )( )0( )(
22、)aaf xf xg xg xf xg x (2)当时,01a;( )( )( )( )f xg xaaf xg x( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x 77.斜率公式 （、）.2121yykxx111( ,)P x y222(,)P xy78.直线的五种方程 （1）点斜式 (直线 过点，且斜率为)11()yyk xxl111( ,)P x yk（2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距).ykxbl（3）两点式 ()(、 ().112121yyxx yyxx12yy111( ,)P x y222(,)P xy12xx(4)截距式 (
23、分别为直线的横、纵截距，)1xy abab、0ab 、（5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0).0AxByC 79.两条直线的平行和垂直 (1)若，111:lyk xb222:lyk xb;121212|,llkk bb.12121llk k (2)若,且 A1、A2、B1、B2都不为零,1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC；111 12 222|ABCllABC；1212120llA AB B 80.夹角公式 (1).212 1tan|1kk k k(，,)111:lyk xb222:lyk xb121k k (2).12211212tan|ABA B A AB B(,
24、).1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC12120A AB B直线时，直线 l1与 l2的夹角是.12ll281. 到的角公式 1l2l(1).212 1tan1kk k k(，,)111:lyk xb222:lyk xb121k k (2).12211212tanABA B A AB B(,).1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC12120A AB B直线时，直线 l1到 l2的角是.12ll282四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线000(,)P xy00()yyk xx),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为0x
25、xk000(,)P xy,其中是待定的系数00()()0A xxB yy,A B(2)共点直线系方程：经过两直线,的交1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC点的直线系方程为(除)，其中 是待定的系111222()()0AxB yCA xB yC2l数 (3)平行直线系方程：直线中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线ykxb系方程与直线平行的直线系方程是()，0AxByC0AxBy0 是参变量(4)垂直直线系方程：与直线 (A0，B0)垂直的直线系方程0AxByC是, 是参变量0BxAy 83.点到直线的距离 (点,直线 ：).0022|AxByCd AB 00(,)P
26、xyl0AxByC84. 或所表示的平面区域0AxByC0设直线，则或所表示的平面区域是：:0l AxByC0AxByC0若，当与同号时，表示直线 的上方的区域；当与0B BAxByClB异号时，表示直线 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.AxByCl若，当与同号时，表示直线 的右方的区域；当与0B AAxByClA异号时，表示直线 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.AxByCl85. 或所表示的平面区域111222()()0AxB yCA xB yC0设曲线（） ，则111222:()()0CAxB yCA xB yC12120A A B B 或所表示的平面区域是：1112
27、22()()0AxB yCA xB yC0所表示的平面区域上下两部分；111222()()0AxB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分.111222()()0AxB yCA xB yC86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 .222()()xaybr（2）圆的一般方程 (0).220xyDxEyF224DEF（3）圆的参数方程 .cos sinxar ybr （4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是1212()()()()0xxxxyyyy、).11( ,)A x y22(,)B xy87. 圆系方程 (1)过点,的圆系方程是11( ,)A x y22(,)B xy121211211
28、2()()()()()()()()0xxxxyyyyxxyyyyxx,其中是直线1212()()()()()0xxxxyyyyaxbyc0axbyc的方程, 是待定的系数AB(2)过直线 :与圆:的交点的圆系方程l0AxByCC220xyDxEyF是, 是待定的系数22()0xyDxEyFAxByC(3) 过圆:与圆:的交1C22 1110xyD xE yF2C22 2220xyD xE yF点的圆系方程是, 是待定的2222 111222()0xyD xE yFxyD xE yF系数 88.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种00(,)P xy222)()(rbyax若，则22 00()(
29、)daxby点在圆外;点在圆上;点在圆内.drPdrPdrP 89.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:0CByAx222)()(rbyax;0交交rd;0交交rd.0交交rd其中. 22BACBbAad 90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21;交交交交交交421rrd;交交交交交交321rrd;交交交交交交22121rrdrr;交交交交交交121rrd.交交交交交交210rrd91.圆的切线方程(1)已知圆220xyDxEyF若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是00(,)xy.00 00()()022D xxE yyx xy
30、 yF当圆外时, 表示过两个切点00(,)xy00 00()()022D xxE yyx xy yF的切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求 k，这时00()yyk xx必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为，再利用相切条件求 b，必有两条切线ykxb(2)已知圆222xyr过圆上的点的切线方程为;000(,)P xy2 00x xy yr斜率为的圆的切线方程为.k21ykxrk92.椭圆的参数方程是.22221(0)xyababcossinxayb 93.椭圆焦半径公式 22221(0)xyabab，.)(21caxePF)(22xca
31、ePF94椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.00(,)P xy22221(0)xyabab22 00 221xy ab（2）点在椭圆的外部.00(,)P xy22221(0)xyabab22 00 221xy ab95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆上一点处的切线方程是.22221(0)xyabab00(,)P xy00 221x xy y ab（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是22221(0)xyabab00(,)P xy.00 221x xy y ab（3）椭圆与直线相切的条件是22221(0)xyabab0AxByC.22222A aB bc96.双曲线的焦半径公式22221(
32、0,0)xyabab，.21| ()|aPFe xc22| ()|aPFexc97.双曲线的内外部(1)点在双曲线的内部.00(,)P xy22221(0,0)xyabab22 00 221xy ab(2)点在双曲线的外部.00(,)P xy22221(0,0)xyabab22 00 221xy ab98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.12222 by ax22220xy abxaby(2)若渐近线方程为双曲线可设为.xaby0by ax2222by ax(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在 x12222 by ax2222by ax0轴上，焦点在
33、y 轴上）.0 99. 双曲线的切线方程(1)双曲线上一点处的切线方程是.22221(0,0)xyabab00(,)P xy00 221x xy y ab（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是22221(0,0)xyabab00(,)P xy.00 221x xy y ab（3）双曲线与直线相切的条件是22221(0,0)xyabab0AxByC.22222A aB bc100. 抛物线的焦半径公式pxy22抛物线焦半径.22(0)ypx p02pCFx过焦点弦长.pxxpxpxCD212122101.抛物线上的动点可设为 P或 P，其pxy22),2(2ypy交 )2 ,2(2ptp
34、tP(,)x y中 .22ypx102.二次函数的图象是抛物线：（1）2 224()24bacbyaxbxca xaa(0)a 顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程24(,)24bacb aa241(,)24bacb aa是.241 4acbya103.抛物线的内外部(1)点在抛物线的内部.00(,)P xy22(0)ypx p22(0)ypx p点在抛物线的外部.00(,)P xy22(0)ypx p22(0)ypx p(2)点在抛物线的内部.00(,)P xy22(0)ypx p 22(0)ypx p 点在抛物线的外部.00(,)P xy22(0)ypx p 22(0)ypx p
35、 (3)点在抛物线的内部.00(,)P xy22(0)xpy p22(0)xpy p点在抛物线的外部.00(,)P xy22(0)xpy p22(0)xpy p(4) 点在抛物线的内部.00(,)P xy22(0)xpy p22(0)xpy p点在抛物线的外部.00(,)P xy22(0)xpy p 22(0)xpy p 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线上一点处的切线方程是.pxy2200(,)P xy00()y yp xx（2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.pxy2200(,)P xy00()y yp xx（3）抛物线与直线相切的条件是.22(0)ypx p0AxByC22
36、pBAC 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线,的交点的曲线系方程是1( , )0f x y 2( , )0fx y (为参数).12( , )( , )0f x yfx y(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当22221xy akbk22max,ka b时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.22min,ka b2222min,max,a bka b106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或22 1212()()ABxxyy（弦端点 A2222 211212(1)()| 1tan| 1tABkxxxxyyco，由方程 消去 y 得到，,为直线),(),(2211yxByx 0)y, x(F
37、bkxy02cbxax0 的倾斜角，为直线的斜率）. ABk 107.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线关于点成中心对称的曲线是.( , )0F x y 00(,)P xy00(2- ,2)0Fx xyy（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是( , )0F x y 0AxByC.22222 ()2 ()(,)0A AxByCB AxByCF xyABAB 108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线，用代，用代220AxBxyCyDxEyF0x x2x0y y，用代，用代，用代即得方程2y00 2x yxyxy0 2xxx0 2yyy，曲线的切线，切点弦，中0000 000222x yxyxxyyA
38、x xBCy yDEF点弦，弦中点方程均是此方程得到.109证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 110证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 111证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 112证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直；
39、（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ab b=b ba a (2)加法结合律：(a ab b)c c=a a(b bc c) (3)数乘分配律：(a ab b)=a ab b 11
40、6.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体 的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b0 )，ab存在实数 使 a=b三点共线.PAB、|APAB APtAB (1)OPt OAtOB 、共线且不共线且不共线.|AB CD AB CD ABCD、ABtCD ABCD、 118.共面向量定理 向量 p p 与两个不共线的向量 a a、b b 共面的存在实数对,使, x ypaxby推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序实数对,使，, x yMPxMAyMB
41、或对空间任一定点 O，有序实数对，使., x yOPOMxMAyMB 119.对空间任一点和不共线的三点 A、B、C，满足（OOPxOAyOBzOC ） ，则当时，对于空间任一点，总有 P、A、B、C 四点共面；当xyzk1k O时，若平面 ABC，则 P、A、B、C 四点共面；若平面 ABC，则 P、A、B、C 四1k OO 点不共面四点共面与、共面 C AB、D AD AB AC ADxAByAC （平面 ABC）.(1)ODxy OAxOByOC O 120.空间向量基本定理 如果三个向量 a a、b b、c c 不共面，那么对空间任一向量 p p，存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使 p pxa ayb bzc c 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使.OPxOAyOBzOC 121.射影公式已知向量=a a和轴 ，e e 是 上与 同方向的单位向量. .作 A 点在 上的射影，作 BAB llllA点在 上的射影，则lBa a，e e=a ae e|cosABAB 122.向量的直角坐标运算 设a a，b b则123(,)a a a123( ,)b b b(1)a ab b；112233(,)ab ab ab(2)a