高鸿业,微观经济学,第七版,课后答案,西方经济学18第十章博弈论初步.doc

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1、第十章 博弈论初步第一部分 教材配套习题本习题详解一、简答题一、简答题 什么是纳什均衡？纳什均衡一定是最优的吗？ 解答：（）所谓纳什均衡，是参与人的一种策略组合，在该策 略组合上， 任何参与人单独改变策略都不会得到好处。 （）不一定。如果纳什均衡存在，纳什均衡可能是最优的，也 可能不是最优的。例如，在存在多个纳什均衡的情况下，其中有一 些纳什均衡就不是 最优的；即使在纳什均衡是唯一时，它也可能不 是最优的，因为与它相对应的支付组合可能会小于与其他策略组合 相对应的支付组合。如：囚徒 困境。在只有两个参与人且每个参与人都只有两个策略可供选择的 情况下， 纯策略的纳什均衡最多可有几个？为什么？解答

2、：在只有两个参与人 （如 和 ）且每个参与人都只有 两个策略可供选择的情况下，纯策略的纳什均衡最多可有四个。例 如，当与的支付矩阵可分别表示如下时，总的支付矩阵中所有 四个单元格的两个数字均有下划线，从而，总共有四个纳什均衡。A 的支付矩阵 B 的支付矩阵 22211211 aaaa 22211211 bbbb例如：a11=a12=a21=a22，b11=b12=b21=b22就会得到以上四个纳什均 衡。具体事例为： 7373 7373 在只有两个参与人且每个参与人都只有两个策略可供选择的情况下， 纯策略的纳什均衡可能有三个。试举一例说明。解答：在只有两个参与人且每个参与人都只有两个策略可供选

3、择的情况下， 纯策略的 纳什均衡可能有个、个、个、个和 0 个五种情况，所以可 能有个。例如，当参与 人与的支付矩阵可分别表示如下时，总的支付 矩阵中恰好有三个单元格的两个数字均有下划线，从而，总共有三个纳什均衡。A 的支付矩阵 B 的支付矩阵 22211211 aaaa11122122bbbb A、B 共同的支付矩阵 1111121222222121abababab 具体事例为： 7615 7323 在只有两个参与人且每个参与人都只有两个策略可供选择的情况下， 如何找到所 有的纯策略纳什均衡？解答：可使用条件策略下划线法。具体步骤如下：首先，把整个博弈的支 付矩阵分解 为两个参与人的支付矩阵

4、；其次，在第一个 （即位于整个博弈矩 阵左方的）参与人的支付矩阵中，找出每一列的最大者，并在其下画线；再次， 在第二个 （在位于整个博弈矩阵上 方的）参与人的支付矩阵中，找出每一行 的最大者，并在其下画线；然后，将已经画好线的两个参与人的支付矩阵再合 并起来，得到带有下划线的整个博弈的支付矩阵；最后，在带有下划线的整个 的支付矩阵中，找到两个数字之下均画有线的支付组合。由该支付组合 代表 的策略组合就是博弈的纳什均衡。设有、两个参与人。对于参与人的每一个策略，参与人的条 件策略有无 可能不止一个？试举一例说明。解答：例如，在如表的二人同时博弈中，当参与人 选择上策略 时，参与人 既可以选择左策

5、略，也可以选择右策略，因为他此时选择这两 个策略的支付是完全一样 的。因此，对于参与人的上策略，参与人的条 件策略有两个，即左策略和右策略。表如果无论其他人选择什么策略，某个参与人都只选择某个策略，则该 策略就是该参与人的绝对优势策略 （简称优势策略）。试举一例说明某个参 与人具有某个优势策略的情况。 解答：例如，在如表的二人同时博弈中，无论参与人 是选择上 策略还是选择下策略，参与人总是选择左策略，因为他此时选择左策略的支 付总是大于选择右策略。因此，在这一博弈中，左策略就是参与人的绝对优 势策略。同时下策略是的绝对优势策略。表混合策略博弈与纯策略博弈有什么不同？ 解答：在纯策略博弈中，所有

6、参与人对策略的选择都是 “确定”的，即总是以 100 的可能性来选择某个策略，而在混合策略博弈中，参与人则是以一定的可能性 来选择某个策略，又以另外的可能性选择另外一些策略。在这种情况下，参与 人选择的就不再是原来的 100的确定策略 （如上策略或下策略），而是一个 概率向量 （如以某个概率选择上策略，以另外一个概率选择下策略）。纯策 略博弈可以看成是混合策略博弈的一种特例。 条件混合策略与条件策略有什么不同？ 解答：例如，在一个只包括参与人 与参与人 的二人同时博弈中，参 与人的条件策略是在选择某个既定策略时所选择的可以使其支付达到最 大的策略。相应地， 参与人的条件混合策略是在选择某个既定

7、的混合策 略时所选择的可以使其期望支付达到最大的混合策略。 混合策略纳什均衡与纯策略纳什均衡有什么不同？ 解答：在纯策略博弈中，纳什均衡是参与人的一种策略组合，在该策略组 合上，任何 参与人单独改变其策略都不会得到好处。在混合策略博弈中，纳什均衡是参与人的一种概率向量组合，在该概率向 量组合上， 任何参与人单独改变其概率向量都不会得到好处。10设某个纯策略博弈的纳什均衡是有限的。试问：相应的混合策略博弈的 纳什均衡会是无限的吗？试举一例说明。 解答：当纯策略博弈的纳什均衡为有限时，相应的混合策略博弈的纳什均 衡既可能是有限的，也可能是无限的。例如，在只包括与的二人同时博弈 中，混合策略纳什均衡

8、的 “集合”可以是单位平面、三条线段、两条线段、一 条线段、三个点、两个点和一个点，其中，前四种情况就意味着存在无限多个 纳什均衡。11在完全信息动态博弈中，纳什均衡与逆向归纳策略有什么不同？ 解答：与同时博弈一样，在序贯博弈中，纳什均衡也是指这样一些策略组 合，在这些 策略组合中，没有哪一个参与人会单独改变自己的策略。同样， 在序贯博弈中，纳什均衡 也可能不止一个。在这种情况下，可以通过逆向归 纳法对纳什均衡进行 “精炼”，即从多个纳什均衡中，排除掉那些不合理的 纳什均衡，或者，从众多的纳什均衡中进一步确定“更好”的纳什均衡。经由 逆向归纳法的精炼而得到的纳什均衡就是所谓的逆向归纳策略。 二

9、、论述题 1设某个纯策略博弈的纳什均衡不存在。试问：相应的混合策略博弈的纳 什均衡会存在吗？试举一例说明。 解答：在同时博弈中，纯策略的纳什均衡可能存在，也可能不存在，但相 应的混合策略纳什均衡总是存在的。例如，在表的二人同时博弈中， 根据条件策略下划线法可 知，由于没有一个单元格中两个数字之下均有下划 线，故纯策略的纳什均衡不存在，但是，相应的混合策略纳什均衡却是存在的。表B 的策略 q1左策略1-q1右策略p1上策略3,67,3 A 的策略 1-P1下策略9,22,8首先，分别计算与的条件混合策略。EA3p1q19p1(1q1)7(1p1)q12(1p1)(1q1)3p1q19p19p1q

10、17q17p1q122q12p12p1q17p111p1q15q12p1(711q1)5q12EB6p1q12p1(1q1)3(1p1)q18(1p1)(1q1)6p1q12p12p1q13q13p1q188q18p18p1q19p1q185q16p1q1(9p15)6p18其次，分别计算 A 和 B 的条件混合策略。p1 11/7011/71 , 011/71111qqqq1 9/519/51 , 09/50111ppp最后，混合策略纳什均衡参见图中的点。图2在下面的博弈树中 （见图），确定纳什均衡和逆向归纳策 略。 解答：纳什均衡和逆向归纳策略都是同一个，即与支付向量 （，）相 应的策略组

11、合（决策，决策）。图3用逆向归纳法确定下面的 “蜈蚣博弈”的结果 （见图）。在 该博弈中，第 步是决策：如果决定结束博弈，则得到支付，得到 支付，如果决定继续博 弈，则博弈进入到第步，由做决策。此时，如 果决定结束博弈，则得到支付， 得到支付，如果决定继续博弈， 则博弈进入到第步，又由做决策，如此等等， 直到最后，博弈进入到第 9999 步，由做决策。此时，如果决定结束博弈，则得 到支付 9999， 得到支付；如果 决定继续博弈，则 得到支付，得到支付 10000。图解答：首先考虑第 9999 步 的决策。此时，肯定会结束博弈结束博 弈 可以 得到支付 9999，否则只能得到 0。于是，我们可

12、以把该博弈中最后 一条水平线段删除；其次考虑第 9998 步的决策。此时，也肯定会结束博弈， 结束博弈可以得到,9998， 否则只能得到 0。于是，我们可以把该博弈中倒 数第二条水平线段 （以及它后面的最后一 条垂直线段）也删除。这样倒推下 来的结果是，任何一个人在轮到自己决策时都会决定结束博弈。因此，整个博 弈的结果是：在第步，就决定结束博弈，于是，得到，得到。4在图 103 所示的情侣博弈中，如果将第二个支付向量 （0，0）改为 （0，1.5）， 纳什均衡和逆向归纳法策略会有什么变化？改为 （0，1）呢？ 解答：（1）当第二个支付向量不变，仍然为 （，）时，有两个纳什 均衡，即 （足球，足

13、球）和 （芭蕾，芭蕾），逆向归纳策略为 （足球，足 球）。 （2）将第二个支付向量由 （0，0）改为 （0，1.5）后，纳什均衡和逆向 归纳法策略都是 （芭蕾，芭蕾）。 （3）如果将第二个支付向量改为 （0，1），则纳什均衡仍然为（足球， 足球）和 （芭蕾，芭蕾），但逆向归纳法失效：当男方选择芭蕾时，女方也 选择芭蕾，从而，男方可得 到支付，但是，当男方选择足球时，女方既可 以选择足球，也可以选择芭蕾，如果女方 选择足球，则男方可以得到更大的 2，如果女方选择芭蕾，则男方只能得到更小的 0。图5.在只有两个参与人且每个参与人都有三个策略可供选择的情况下,纯策略的纳什均衡最多可有几个? 解答：在

14、只有两个参与人且每个参与人都只有三个策略可供选择的情况下， 纯策略的纳什均衡最多可有九个。例如，当参与人与的策略不同，但各自 的支付相同，则有九个支付相同的纳什均衡。6.设有两个参与人 x 和 y。x 有两个纯策略 x1 和 x2,y 有两个纯策略 y1 和 y2。当 y 选择 y1 和 y2 时,x 选择 x1 得到的支付分别为 x11 和 x12,选择 x2 得到的支付分别为 x21 和 x22;当 x 选择 x1 和 x2 时,y 选择 y1 得到的支付分别为 y11 和 y21,选择 y2 得到的支付分别为 y12和 y22。(1)试给出相应的博弈矩阵。 (2)这种博弈矩阵的表示是唯一

15、的吗? 为什么?解答：(1)x 的支付矩阵 B 的支付矩阵11122122xxxx 11122122yyyy A、B 共同的支付矩阵 1111121221212222xyxy xyxy (2) 这种博弈矩阵的表示不是唯一的。也可以表示为以下形式：y 的策略 y1策略y1策略x1策略x11, y11x12, y12 x 的策略 x2策略x21, y21x22, y227. 根据表 10-1 的二人同时博弈模型求:（1）参与人 A 与 B 的期望支付 （2）参与人 A 与 B 的条件混合策略。 （3）纳什均衡。表 10 1 B 的策略q11-q1 左策略右策略p1上策略3,21,1A 的策略1-p

16、1下策略0,02,3解答（1）分别计算与的期望支付：EA3p1q1p1(1q1)0(1p1)q12(1p1)(1q1)3p1q1p1p1q122q12p12p1q14p1q1p12q12p1(4q11)-2q12EB2p1q1p1(1q1)0(1p1)q13(1p1)(1q1)2p1q1p1p1q133q13p13p1q14p1q13q12p13q1(4p13)2p13（2）分别计算 A 和 B 的条件混合策略。11111q1/ 4p =0,11/ 401/ 4qq fp11111p3/ 4q =0,1p3/ 40p3/ 4 fp（3）混合策略纳什均衡见图中 e 和 m 点8.根据表 10-的

17、二人同时博弈模型求:（1）参与人 A 与 B 的期望支付 （2）参与人 A 与 B 的条件混合策略。 （3）纳什均衡。8. 表 10 2 B 的策略q11-q1 左策略右策略p1上策略3,02,1A 的策略1-p1下策略3,21,1解答（1）分别计算与的期望支付：EA3p1q12p1(1q1)3(1p1)q1 (1p1)(1q1)q11e B 的条件混 A 的条件混合策略曲线 合策略曲线1/4 m0 3/4 1 p13p1q12p12p1q13 q13 p1q1+1p1- q1p1q1-p1q1+p1+2q11p1(1q1)+2q11EB0p1q1p1(1q1)2(1p1)q1 (1p1)(1

18、q1)p1p1q12 q12 p1q1+1p1- q1p1q1-2p1q1q11q1(12p1)1（2）分别计算 A 和 B 的条件混合策略。1 1 11q1p =0,1q =1p11111p1/ 2q =0,1p1/ 20p1/ 2 pf（3）虚线 MBC 为 A 的条件混合策略曲线，实线 MDNC 为 A 的条件混合策略曲线，混合策略纳什均衡为图中线段重合部分 MD 段，重合部分 MD 段部分上每一点都代表一个混合策略纳什均衡， C 点也是混合策略纳什均衡。纳什均衡为（p1，1-p1），（q1，1-q1）=（0，0.5，0.5，1，(1，0) ），（1,0）（0,1）9. 根据图 10 4

19、 的博弈树模型求:(1)纳什均衡。q1 1 M D BB 的条件混 A 的条件混合策略曲线 合策略曲线N C0 1/2 1 p1(2)逆向归纳策略。决策 384 参与人 Bd决策 1b 决策 422 e参与人 A a11决策 3 f决策 2c参与人 B 决策 448 g图 104 解答(1)纳什均衡是(8,4),(4,8)。这个结论可以通过下划线方法得到。也可以通过纳什均衡定义得到这个结论。若当前策略组合是 d，参与人 A 选择对策 1 时，参与人 B 改变策略，由决策 3 改为决策 4，策略组合变为 e，显然参与人 B 支付减少，参与人 B 不会改变决策。若当前策略组合是 d，参与人 B 选

20、择决策 3，参与人 A 也不会改变对策 1 的对策。所以 d(8,4)是纳什 均衡。同理，g 点也是纳什均衡。B 的策略决策3决策4决策18,42,2 A 的策略 决策21,14,8(2)逆向归纳策略是(8,4)。 逆向归纳法第一步，在 d 和 e 中进行选择，删除 e，选择 d；在 f 和 g 中进行选择，删除 f，选择 g。逆向归纳法第二步，在 d 和 g 中进行选择，由于参与人 A 具有先行优势，参与人 A 选择决策 1，参与人 B 只能选择决策 3。所以 d(8,4)是逆向归纳策略。10. 根据图 10 5 的博弈树模型求:(1)纳什均衡。 (2)逆向归纳策略。决策348 参与人Bd决

21、策1b 决策411 e参与人A a22决策3f决策2c参与人B 决策484 g图 105解答(1)纳什均衡是(4,8) , (8,4)。这个结论可以通过下划线方法得到。也可以通过纳什均衡定义得到这个结论。若当前策略组合是 d，参与人 A 选择对策 1 时，参与人 B 改变策略，由决策 3 改为决策 4，策略组合变为 e，显然参与人 B 支付减少，参与人 B 不会改变决策。若当前策略组合是 d，参与人 B 选择决策 3，参与人 A 也不会改变对策 1 的对策。所以 d(4,8)是纳什 均衡。同理，g 点也是纳什均衡。B 的策略决策3决策4决策14,81,1 A 的策略 决策22,28,4(2)逆向归纳策略是(8,4)。 逆向归纳法第一步，在 d 和 e 中进行选择，删除 e，选择 d；在 f 和 g 中进行选择，删除 f，选择 g。逆向归纳法第二步，在 d 和 g 中进行选择，由于参与人 A 具有先行优势，参与人 A 选择决策 2，参与人 B 只能选择决策 4。所以 g(8,4)是逆向归纳策略。