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1、2023年高二数学教案：圆锥曲线方程：02 椭圆及其标准方程 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程 (二)能力训练点 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力 (三)学科渗透点 通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力 二、教材分析 1重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程 (解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较) 2难点：椭圆的标准方程的推导 (解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明) 3疑点：椭
2、圆的定义中常数加以限制的原因 (解决办法：分三种情况说明动点的轨迹) 三、活动设计 提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答 四、教学过程 (一)椭圆概念的引入 前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答： 问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识 提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形 问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？ 一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”对同学提
3、出的轨迹命题如： “到两定点距离之和等于常数的点的轨迹” “到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹” “到两定点距离之差等于常数的点的轨迹” 教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神 比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图： 取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等 在此基础上，引导学生概
4、括椭圆的定义： 平面内到两定点F 1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距 学生开始只强调主要几何特征到两定点F 1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调： (1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内” (2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|” (二)椭圆标准方程的推导 1标准方程的推导 由椭圆的
5、定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤 (1)建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的 以两定点F 1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)设|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0) (2
6、)点的集合 由定义不难得出椭圆集合为： P=M|MF1|+|MF2|=2a (3)代数方程 (4)化简方程 化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示： 原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要 (ab0) 关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略 示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)这里c2=a2-b2 2两种标准方程的比较(引导学生归纳) 0)、F
7、2(c，0)，这里c2=a2-b2； -c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到 教师指出：在两种标准方程中，a2b2，可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上 (三)例题与练习 例题 平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程 分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程 解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F 1、F2表示取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系 2a=10，2c=8 a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9b=3 因此，这个椭
8、圆的标准方程是 请大家再想一想，焦点F 1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分 练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是 由学生口答，答案为D (四)小结 1定义：椭圆是平面内与两定点F 1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 3图形如图2- 15、2-16 4焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)F1(0，-c)，F2(0，c) 五、布置作业 1如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2，A2 F1的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程 3求适合下列条件的椭圆的标准方程： 是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求ABF2的周长 作业答案： 4由椭圆定义易得，ABF2的周长为4a 六、板书设计 高二数学教案：圆锥曲线方程：02 白蒲中学高二数学教案：圆锥曲线方程：13(苏教版) 高二数学 圆锥曲线 章未小结 圆锥曲线教案 第2章圆锥曲线与方程2.1 圆锥曲线导学案 人教版高中数学圆锥曲线和方程全部教案 高三数学教案：圆锥曲线的综合问题（版） 圆锥曲线切点弦所在直线方程 4.4.9圆锥曲线的参数方程 教案 圆锥曲线教案 对称问题教案