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1、2023年构造法 内容摘要： 这几年的高考数学试题中，出现了求解型如“an+1=pan+ f(n)”的数列的通项公式的一类问题，本文针对这类数列问题，提出具体的解决方法，让读者能熟练掌握此类问题的解法，并能触类旁通。 关键词： 通项公式 等比数列 等差数列 待定系数法 正文： 这类问题的模型是题中出现了下面形式的条件: an+1=pan+f(n) () (目的：求an的通项公式) 其中p是已知常数；f(n)是关于n的已知代数式，类似等比数列或等差数列的通项公式；an+ 1、an是待求数列。 我们的目的是借用待定系数法，将（）式化成下列形式： an+1+cn+1=p(an+cn) () 其中cn
2、+ 1、cn待定。此时an+cn构成等比数列，进一步可求出an的通项公式。 具体方法如下： 方法 一、当f(n)类似等比数列的通项公式： 由()式得：an+1=pan+pcn-cn+1;对比()式，得:pcn-cn+1=f(n) () 设cn=kf(n),cn+1=kf(n+1)(其中k为待求常数)，代入()式，得pkf(n)-kf(n+1)=f(n); 这时p为已知常数，f(n)是已知代数式，可求出k的值；我们得到了cn、cn+1；从而达到了我们的目的。 例题1：2023年四川高考20题 设数列an的前 项和为sn，已知ban-2n=(b-1)sn(其中b是常数)； (1)证明：当b2时，a
3、n-n2n-1是等比数列；(2)求an的通项公式； 在(2)问求an的通项公式过程中，我们可以利用本文的方法。 解：ban-2n=(b-1)sn ban+1-2n+1=(b-1)sn+1 两式相减得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1 即an+1=ban+2n (1)（将2n看作f(n)，则可用方法一） 设an+1+cn+1=b(an+cn) (2) an+1=ban+bcn-cn+1 对比(1)式，得bcn-cn+1=2n (3) nn+1设cn=k2,cn+1=k2; 代入(3)式得： bk2n-k2n+1=2n 即k(b-2)=1 至此我们可以进一步求出an的通项公式。 例题2
4、：2023年全国高考二20题 设数列an的前 项和为sn已知a1=a,an+1=sn+3n，()设bn=sn-3n，求数列bn的通项公式。 解：sn+1-sn=an+1=sn+3n sn+1=2sn+3n (1)（将3n看作f(n),则可用方法一） 设sn+1+cn+1=2(sn+cn) (2) 则sn+1=2sn+2cn-cn+1；从而2cn-cn+1=3n (3); 设cn=k3n,cn+1=k3n+1;代入(3)式，可得k=-1; cn=-3n,cn+1=-3n+1; (2)式变为sn+1-3n+1=2(sn-3n)；至此我们可求出数列bn的通项公式。 例题3：2023年广东高考21题
5、解：在(2)问求xn的通项公式过程中，我们试着利用本文的方法。 条件an+1=pan+ f(n)中, f(n)是解题的关键,方法一中的f(n)还可以是带系数和常数项的,类似等比数列的通项公式,感兴趣的读者可以尝试做下题: 已知数列an中,a1=1,且an+1=an+23n-1,求an的通项公式。(提示:可设cn=k3n-m,其中k,m为待求常数) 方法 二、当f(n)类似等差数列的通项公式： 条件an+1=pan+ f(n)中已知f(n)=nd+m, 其中d,m是已知常数。解题过程类似方法一： 由()式pcn-pcn+1= f(n)得:pcn-cn+1=nd+m () 设cn=kn+r,cn+
6、1=k(n+1)+r(其中k,r是待求常数)； 代入()式整理得：k(p-1)n+(pr-k-r)= nd+m; 对比两个式子可得k(p-1)=d;且p,d为已知常数，可求出k的值； 进而由pr-k-r=m可得r的值，从而我们得到了cn、cn+1，达到了我们的目的。 例题4：2023年天津文科20题 在数列an中，a1=2,an+1=4an-3n+1,(1)证明数列an-n是等比数列。 解:设an+1+cn+1=4(an+cn),即an+1=4an+4cn-cn+1;对比条件an+1=4an-3n+1,得： 4cn-cn+1=-3n+1 (*) 设cn=kn+r,cn+1=k(n+1)+r；代
7、入(*)式整理得：3kn+(3r-k)=-3n+1 3k=-3,3r-k=1;解得k=-1,r=0； cn=-n,cn+1=-(n+1) 代入an+1+cn+1=4(an+cn)得：an+1-(n+1)=4(an-n)；从而an-n是首项为a1-1=1,公比为4的等比数列。 条件an+1=pan+ f(n)中f(n)的变化会带来不同的设元解题过程。 比如：当f(n)变成一常数b时，我们可采用常见的待定系数法，设an+1+k=p(an+k)，整理后得pk-k=b(p,b为已知常数)，可求出k值，从而an+k是公比为p的等比数列，进而可求出an的通项公式。 比如:当f(n)是cqn+dn+m（c、q、d、m为已知常数）的形式时,我们可以综合方法 一、方法二来求解。 以上是本人通过研究近年的高考数列题得出的一些心得体会，希望能对大家有所帮助。 参考文献： 1、2023年高考分类题选 2、高等代数 邱森 武汉大学出版社 构造法 构造法之构造函数 构造函数法 构造函数法与放缩法 构造法证明等差 构造数列和放缩法 导数的应用(构造法) 构造法证明不等式 构造法证明函数不等式 构造函数法证明不等式