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1、/一章习题解答一章习题解答1.1 给定三个矢量A、B和C如下：23xyzAeee4yz Bee52xzCee求：（1）Aa；（2）AB；（3）A BA；（4）AB；（5）A在B上的分量；（6） A C；（7）()A B CA和()AB CA；（8）()ABC和()AB C。解解 （1）22223123 14141412( 3)xyz Axyz eeeAaeeeA（2）AB(23)(4)xyzyz eeeee6453xyzeee（3）A BA(23)xyzeee(4)yzeeA11（4）由 cosAB1111 1417238 A B A BA，得 1cosAB11()135.5238（5）A在B
2、上的分量 BA AcosAB11 17 A B BA（6）A C123502xyz eee41310xyzeee（7）由于B C041502xyz eee8520xyzeeeAB123041xyz eee1014xyzeee所以 ()A B CA(23)xyzeeeA(8520)42xyz eee()AB CA(1014)xyzeeeA(52)42xz ee/（8）()ABC1014502xyz eee2405xyzeee()AB C1238520xyz eee554411xyzeee1.2 三角形的三个顶点为1(0,1, 2)P、2(4,1, 3)P和3(6,2,5)P。（1）判断123PP
3、 P是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。解解 （1）三个顶点1(0,1, 2)P、2(4,1, 3)P和3(6,2,5)P的位置矢量分别为12yzree，243xyzreee，3625xyzreee则 12214xzRrree， 233228xyzRrreee，311367xyz Rrreee由此可见1223(4) (28)0xzxyzRReeeeeAA故123PP P为一直角三角形。（2）三角形的面积 12231223111176917.13222S RRRR1.3 求( 3,1,4)P 点到(2, 2,3)P点的距离矢量R及R的方向。解解 34Pxyz reee，223Pxyzree
4、e，则 53P PPPxyzRrreee且P PR与x、y、z轴的夹角分别为115cos ()cos ()32.3135xP P x P Pe R RA113cos ()cos ()120.4735yP P y P PeRRA111cos ()cos ()99.7335zP P z P Pe R RA1.4 给定两矢量234xyzAeee和456xyzBeee，求它们之间的夹角和A在 B上的分量。解解 A与B之间的夹角为 1131cos ()cos ()1312977ABA B A BAA在B上的分量为 313.53277BA BABA/1.5 给定两矢量234xyzAeee和64xyz Be
5、ee，求AB在xyzCeee上的分量。解解 AB234 641xyz eee132210xyzeee所以AB在C上的分量为 ()CAB()2514.433 A B C CA1.6 6 证明：如果A BA A CA和ABA C，则BC；解解 由ABA C，则有()()AABAA C，即 ()()()()A B AA A BA C AA A CAAAA由于A BA A CA，于是得到 ()()A A BA A CAA 故 BC 1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p A XA而PAX，p和P已知，试求X。 解解 由PAX，有 ()()
6、()()pAPAAXA X AA A XAA A XAAA故得 pAAPXA AA1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,3)3定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标； （2）球坐标中的坐标。解解 （1）在直角坐标系中 4cos(23)2x 、4sin(23)2 3y、3z 故该点的直角坐标为( 2,2 3,3)。（2）在球坐标系中 22435r 、1tan (4 3)53.1、23120故该点的球坐标为(5,53.1 ,120 )1.9 用球坐标表示的场225rrEe ，（1）求在直角坐标中点( 3,4, 5)处的E和xE；（2）求在直角坐标中点( 3,4, 5)处E与矢量22xyzBee
7、e构成的夹角。解解 （1）在直角坐标中点( 3,4, 5)处，2222( 3)4( 5)50r ，故2251 2rrEe133 2cos2205 2xxrxE e EEA（2）在直角坐标中点( 3,4, 5)处，345xyz reee，所以/233452525 10 2xyz rreeerE故E与B构成的夹角为 1119 (10 2)cos ()cos ()153.63 2EBE B E BA A1.10 球坐标中两个点111( ,)r 和222( ,)r 定出两个位置矢量1R和2R。证明1R和2R间夹角的余弦为121212coscoscossinsincos()解解 由 111111111s
8、incossinsincosxyzrrrReee222222222sincossinsincosxyzrrrReee得到 1212cosR R R RA1122112212sincossincossinsinsinsincoscos121211212sinsin(coscossinsin)coscos121212sinsincos()coscos1.11 一球面S的半径为5，球心在原点上，计算： (3sin ) dr SeSAA 的值。解解 (3sin ) d(3sin )drrr SSSeSeeAAAA2 2200d3sin5 sind75 1.12 在由5r 、0z 和4z 围成的圆柱形区
9、域，对矢量22rzrzAee验证散度定 理。解解 在圆柱坐标系中 21()(2 )32rrzrrrzAA所以 425000ddd(32) d1200zrrrAA又 2d(2 ) (ddd)rzrrzz SSrzSSSASeeeeeAAAA4 25 2 20 00 055d d2 4 d d1200zrr 故有 d1200 AAdSASAA1.13 求（1）矢量22222324xyzxx yx y zAeee的散度；（2）求 AA对中心在原点 的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。解解 （1）222223 2222()()(24)2272xx yx y zxx y
10、x y zxyzAA（2） AA对中心在原点的一个单位立方体的积分为/1 21 21 2 22221 21 21 21d(2272)d dd24xx yx y zxy z AA（3）A对此立方体表面的积分1 21 21 21 2 221 21 21 21 211d( ) dd() dd22Sy zy z ASAA1 21 21 21 2 22221 21 21 21 2112( ) d d2() d d22xx zxx z 1 21 21 21 2 2232231 21 21 21 211124( ) d d24() d d2224x yx yx yx y 故有 1d24AAdSASAA1.1
11、4 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求 r A对球体积的积 分。解解 2 2300dddsind4r SSSaaa rSr eAAAA又在球坐标系中，2 21()3r rrrr A ，所以 2 230 0 0d3sind dd4a rra r A1.15 求矢量22 xyzxxy zAeee沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分， 此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求 A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托 克斯定理。解解 2222 20000ddd2 d0d8CxxxxyyAlAA又 2222xyzxzyzxxyz xxy zeeeAee所以 2 20 0d
12、(22 )d d8xzz SyzxxyASeeeAA故有 d8CAlAAdS ASA1.16 求矢量2 xyxxyAee沿圆周222xya的线积分，再计算 A对此圆面积的 积分。/解解 2dddCCxxxyyAlAAA24 24220(cos sincossin)d4aaad()dyx zz SSAASxyASeeAA24 2220 0dsind d4aSaySrrr 1.17 证明：（1）3RA；（2）R0；（3）()A RAA。其中xyzxyzReee，A为一常矢量。解解 （1）3xyz xyzRA（2） xyzxyz xyyeeeR0（3）设xxyyzzAAAAeee，则xyzA xA
13、yA zA RA，故()()()xxyzyxyzA xA yA zA xA yA zxyA ReeA()zxyzA xA yA zze xxyyzzAAAeeeA1.18 一径向矢量场( )rf rFe表示，如果0FA，那么函数( )f r会有什么特点呢？ 解解 在圆柱坐标系中，由 1 d( )0drf rrrFA可得到( )Cf rrC为任意常数。在球坐标系中，由 2 21 d( )0dr f rrrFA可得到 2( )Cf rr1.19 给定矢量函数xyyxEee，试求从点1(2,1, 1)P到点2(8,2, 1)P的线积分 dElA：（1）沿抛物线2xy；（2）沿连接该两点的直线。这个E
14、是保守场吗？ 解解 （1） dddxy CCExEyElAddCyxxy2 221d(2)2dyyyy2 216d14yy （2）连接点1(2,1, 1)P到点2(8,2, 1)P直线方程为/ 28 12xx yy即 640xy故 21dddd(64)(64)dxy CCExEyyyyyElA21(124)d14yy由此可见积分与路径无关，故是保守场。1.20 求标量函数2x yz的梯度及在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量 345 505050xyzeee 定出；求(2,3,1)点的方向导数值。 解解 222()()()xyzx yzx yzx yzxyzeee222xyzxyzx z
15、x yeee故沿方向345 505050lxyzeeee 的方向导数为22645 505050lxyzx zx y l e A点(2,3,1)处沿le的方向导数值为 361660112 50505050l 1.21 试采用与推导直角坐标中yxzAAA xyzAA 相似的方法推导圆柱坐标下的公式 1()z rAArArrrz AA 。解解 在圆柱坐标中，取小体积元如题 1.21 图所示。矢量场A沿re方向穿出该六面体的表 面的通量为()d dd dzzzzrrrrrr zzArrrArr ()(, , )( , , )rrrr A rrzrA rzz ()()1rrrArArzrrr 同理d d
16、d drr zzrr zzrzrzArzArz ( , )( , , )A rzA rzr z AArzr d dd drrrrzzzzzz rrArrArr rrzoxyrzz题 1.21 图/( , ,)( , , )zzA rzzA rz r rz zzAAr rzzz 因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为 ()1rz rzArAArrrz 故得到圆柱坐标下的散度表达式 0()1limrzArAA rrrz A1.22 方程222222xyzuabc 给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。解解 由于 222222xyzxyzuabc eee222 2222 ()()()xy
17、zuabc故椭球表面上任意点的单位法向矢量为222 222222()()()()xyzuxyzxyz abcabcuneee1.23 现有三个矢量A、B、C为sincoscoscossinrAeee22sincos2sinrzzzrzBeee22(32 )2xyzyxxzCeee（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表 示？ （2）求出这些矢量的源分布。 解解（1）在球坐标系中2 2111()(sin)sinsinrAr AArrrr AA2 2111(sincos )(sincoscos )( sin )sinsinrrrrr 2cos2sincosco
18、ssincos0sinsinrrrr2sin1 sin sinrrrrrr ArArA eeeA/2sin10sin sincoscoscossinsinrrrrr rr eee故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示； 在圆柱坐标系中11()z rBBrBrrrz B =A2211(sin )(cos )(2sin )rzzrzrrrz22sinsin2 sin2 sinzzrrrr22110sincos2sinrzrzrzrrrrzrrz BrBBzrzrz eeeeeeB故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示； 直角在坐标系中yxzCCC xyzC =A22(
19、32 )()(2 )0yxxzxyz22(26 )322xyzzxyxyz yxxz eeeCe故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。（2）这些矢量的源分布为0AA，0A； 2 sinr B =A，0B； 0CA，(26 )zxyCe1.24 利用直角坐标，证明 ()fffAAAAAA 解解 在直角坐标中()()yxz xyzAAAffffffAAAxyzxyz AAAA/()()()yxz xyzAAAffffAfAfAxxyyzz()()()()xyzfAfAfAfxyz AA1.25 证明 ()AHHAAHAAA 解解 根据算子的微分运算性质，有 ()()()AH AHAHAHAAA式中
20、A表示只对矢量A作微分运算，H表示只对矢量H作微分运算。由()()a b cc abAA，可得 ()()()AA AHHAHAAAA同理 ()()()HH AHAHAHAAA故有 ()AHHAAHAAA 1.26 利用直角坐标，证明 ()fff GGG 解解 在直角坐标中()()()yyxxzz xyzGGGGGGffyzzxxyGeeef G()()()xzyyxzzyxffffffGGGGGGyzzxxyeee所以ff GG()()yz xzyGGffGfGfyyzze()()xz yxzGGffGfGfzzxxe()()yx zyxGGffGfGfxxyye()()yz xfGfG yz
21、e()()xz yfGfG zxe()()yx zfGfG xye()fG1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明()0u 及 ()0 AA，试证明之。 解解 （1）对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有() dddd0SCCCuuululSlAAAAA由于曲面S是任意的，故有 ()0u / （2）对于任意闭合曲面S为边界的体积，由散度定理有12()d() d() d() dSSS AASASASAAAAA其中1S和2S如题 1.27 图所示。由斯托克斯定理，有11() ddSCASAlAAA ， 22() ddSCASAlAAA由题 1.27 图可知1C和
22、2C是方向相反的同一回路，则有 12ddCC AlAlAAAA所以得到 1222()ddddd0CCCC AAlAlAlAlAAAAAAAAA由于体积是任意的，故有 ()0 AA二章习题解答二章习题解答2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为4 32 3 004 9U dx ，式中阴极板位于0x ，阳极板位于xd，极间电压为0U。如果040VU 、1cmd 、横截面210cmS ，求：（1） 0x 和xd区域内的总电荷量Q；（2）2xd和xd区域内的总电荷量Q。解解 （1） 4 32 3 00 04d() d9d QU dxSx 11 0044.72 10C3U Sd （2） 4 32 3
23、 00 24d() d9ddQU dxSx 11 00341(1)0.97 10C32U Sd 2.2 一个体密度为732.32 10C m的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速的 质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电 流。 解解 质子的质量271.7 10kgm、电量191.6 10Cq。由21 2mvqU得 621.37 10vmqUm s故 0.318Jv2A m26(2)10IJdA 2.3 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度绕一个直径 旋转，求球内的电流密度。 解解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴
24、。设球内任一点P的位置矢量为r，且1n1C2C2S1S2n题 1.27 图/ r与z轴的夹角为，则P点的线速度为sinrvre 球内的电荷体密度为343Q a故 333sinsin434QQrraaJvee2.4 一个半径为a的导体球带总电荷量为Q，同样以匀角速度绕一个直径旋转，求球表 面的面电流密度。 解解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为r，且 r与z轴的夹角为，则P点的线速度为sinavre 球面的上电荷面密度为24Q a故 2sinsin44SQQaaaJvee2.5 两点电荷18Cq 位于z轴上4z 处，24Cq 位于y轴上4y 处，求 (4,0,
25、0)处的电场强度。解解 电荷1q在(4,0,0)处产生的电场为11 133 001442 4(4 2)xzq eerrE rr电荷2q在(4,0,0)处产生的电场为22 233 002441 4(4 2)xyq eerrE rr故(4,0,0)处的电场为12 0232 2xyz eeeEEE2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷l，求垂直于圆平面的轴线上za处的电场强度 (0,0, )aE，设半圆环的半径也为a，如题 2.6 图所示。解解 半圆环上的电荷元ddllla在轴线上za处的 电场强度为 3 0dd4( 2 )la arrE0(cossin)d8 2zxyl aeeeazxyldlPdEr
26、 r题 2.6 图/在半圆环上对上式积分，得到轴线上za处的电场强度为 (0,0, )da EE220(cossin)d8 2l zxyaeee0(2) 8 2lzx a ee2.7 三根长度均为L，均匀带电荷密度分别为1 l、2l和3l地线电荷构成等边三角形。设1 l22l32l，计算三角形中心处的电场强度。 解解 建立题 2.7 图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为3tan3026LdL则11 1 003(cos30cos150 )42ll yydL Eee21 2 0033(cos30sin30 )(3)28ll xyxyLL Eeeee31 3 0033(cos30sin30 )(
27、3)28ll xyxyLL Eeeee故等边三角形中心处的电场强度为123EEEE111000333(3)(3)288lll yxyxyLLL eeeee103 4l yL e2.8 点电荷q位于(,0,0)a处，另点电荷2q位于( ,0,0)a处，空间有没有电场强 度0E的点？ 解解 电荷q在( , , )x y z处产生的电场为 1222 3 2 0()4()xyzxayzq xayzeeeE电荷2q在( , , )x y z处产生的电场为2222 3 2 0()2 4()xyzxayzq xayz eeeE( , , )x y z处的电场则为12EEE。令0E，则有222 3 2()()
28、xyzxayzxayzeee222 3 22()()xyzxayzxayzeee由上式两端对应分量相等，可得到222 3 2222 3 2()()2()()xaxayzxaxayz 222 3 2222 3 2()2 ()y xayzy xayz 222 3 2222 3 2()2 ()z xayzz xayz 当0y 或0z 时，将式或式代入式，得0a 。所以，当0y 或0z 时无2l1 l3lxyo1E3E2E题 2.7 图/ 解；当0y 且0z 时，由式，有33()()2()()xa xaxa xa 解得( 32 2)xa 但32 2xaa 不合题意，故仅在( 32 2 ,0,0)aa处
29、电场强度0E。 29 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的z轴上0zz 处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为03z的圆内的电荷产生的。解解 半径为r、电荷线密度为dlr的带电细圆环在z轴上0zz 处的电场强度为0 22 3 2 00dd2()zr zr rz Ee故整个导电带电面在z轴上0zz 处的电场强度为00 22 3 222 1 2 0000000d1 2()2()2zzzr zrz rzrz Eeee而半径为03z的圆内的电荷产生在z轴上0zz 处的电场强度为003300 22 3 222 1 2 0000000d11 2()2()42zzzzzr zrz
30、rzrz EeeeE2.10 一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转，如题 2.10 图所示。求球心处的磁感应强度B。解解 球面上的电荷面密度为24Q a当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量rare点处的电流面密度为SzraJv reesinsin4Qaaee将球面划分为无数个宽度为ddla的细圆环，则球面上任一个宽度为ddla细圆环的电流为 ddsind4SQIJl细圆环的半径为sinba，圆环平面到球心的距离cosda，利用电流圆环的轴线上的磁 场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为2 0 22 3 2dd2()zbI bdBe23 0 22
31、223 2sind 8 (sincos)zQa aa e3 0sind 8zQ a e故整个球面电流在球心处产生的磁场为 3 000sind86zzQQ aa BeeaQbzoId题 2.10 图/2.11 两个半径为b、同轴的相同线圈，各有N匝，相互隔开距离为d，如题 2.11 图所示。 电流I以相同的方向流过这两个线圈。（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度xxBBe；（2）证明：在中点处ddxBx等于零；（3）求出b与d之间的关系，使中点处22ddxBx也等于零。解解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 2 0 22 3 22()zIa azBe得到两个线圈中心点处的磁感应强度为
32、2 0 223 2(4)xNIb bdBe（2）两线圈的电流在其轴线上x)0(dx 处的磁感应强度为22 00 22 3 222 3 22()2() xNIbNIb bxbdxBe所以 22 00 22 5 222 5 2d33() d2()2() xBNIb xNIb dx xbxbdx 故在中点2dx 处，有22 00 225 2225 2d32320d2424xBNIb dNIb d xbdbd （3） 2222 00 2227 222 5 2d153 d2()2()xBNIb xNIb xbxbx222 00 22 7 222 5 215()3 2() 2() NIb dxNIb bd
33、xbdx令 0dd222 dxx xB，有 041 445252227222 dbdbd即 445222dbd故解得 bd 2.12 一条扁平的直导体带，宽为a2，中心线与z轴重合，通过的电流为I。证明在第一象限内的磁感应强度为 0 4xIBa ，021ln4yIrBar 式中、1r和2r如题 2.12 图所 示。解解 将导体带划分为无数个宽度为xd的细条带，每一细条带的电流xaIId2d 。由安培环路定理，可得位于x处的细条带的电流Id在点),(yxP处的磁场为 aaIxy2r1r),(yxPdBR12题 2.12 图bIbId题 2.11 图x/1p2pxyz12r题 2.13 图00dd
34、d24IIxBRaR 0 22 1 2d 4()Ix a xxy 则 0 22dddsin4()xIyxBBa xxy 0 22()dddcos4()yI xxxBBa xxy所以 0 22d 4()ax aIyxBa xxy 0arctan4aaIxx ay 0arctanarctan4Iaxax ayy 0arctanarctan4Ixaxa ayy 0 21()4I a0 4I a0 22()d 4()ay aI xxxBa xxy 220ln()8aaIxxya 22 0 22()ln8()Ixay axay 021ln4Ir ar 2.13 如题 2.13 图所示，有一个电矩为1p的
35、电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为2p的电偶极子，位于矢径为r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为12 12124 03(sinsincos2coscos)4rp pFr式中11,r p，22,r p，是两个平面1( ,)r p和2( ,)r p间的夹角。并问两个偶极子在怎 样的相对取向下这个力值最大？解解 电偶极子1p在矢径为r的点上产生的电场为11 153 03()14rrp r rpEA所以1p与2p之间的相互作用能为1212 2153 03()()14eWrr p rp rp pp EAAAA因为11,r p，22,r p，则111cosp rp r A222cosp rp
36、r A又因为是两个平面1( ,)r p和2( ,)r p间的夹角，所以有2 121212() ()sinsincosr p prprpA另一方面，利用矢量恒等式可得1212() ()()rprprprpAA2 112() rpr p rpAA2 1212()()()rp pr pr pAAA/因此 12121221()() ()()()rp prprpr pr pAAAA 1212sinsincosp p1212coscosp p于是得到 eW12 3 04p p r (12sinsincos122coscos) 故两偶极子之间的相互作用力为e rq constWFr 1204p p (12s
37、insincos122coscos)3d1()dr r12 4 03 4p p r(12sinsincos122coscos)由上式可见，当120时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。2.14 两平行无限长直线电流1I和2I，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力mF。解解 无限长直线电流1I产生的磁场为 0 1 12I r Be直线电流2I每单位长度受到的安培力为 1 0 1 2 122112 0d2mzI IIzd FeBe式中12e是由电流1I指向电流2I的单位矢量。同理可得，直线电流1I每单位长度受到的安培力为 0 1 2 2112122mmI I d FFe2.15 一根通电流
38、1I的无限长直导线和一个通电流2I的圆环在同一平面上，圆心与导线的 距离为d，如题 2.15 图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为0 1 2(sec1)mFI I这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。解解 无限长直线电流1I产生的磁场为0 1 12I r Be圆环上的电流元22dIl受到的安培力为0 1 2 2212ddd2myI IIx FlBle由题 2.15 图可知 2d(sincos ) dxza leecosxda所以 2 01 20(sincos )d2 (cos )mzxaI I daFee2 01 20cosd2(cos )xaI I dae01 2 0 1 22222(
39、)(sec1)2xxaI IdI Iaada eezx d1I22dIl ao题 2.15 图 /2.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为 ()rpEpEA。 解解 如题 2.16 图所示，设dqpl(d1)l ，则电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为2211( )( )qqTrE rrE rdddd()()()()2222qqllllrE rrE rdddd ()()d ()()22222qq llllrE rE rlE rE r当d1l 时，有 dd()( )() ( )22llE rE rE rdd()( )() ( )22llE rE rE r故得到 ( d) ( )d( )qq TrlE rlE r ()