二项式定理精彩习题及其答案.doc

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1、二项式定理二项式定理1. 求展开式的：()xx291 2（1）第 6 项的二项式系数；（2）第 3 项的系数；（3）的系数。x9分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第 6 项的二项式系数为；C95126（2），故第 3 项的系数为 9；TCxxx392272121 29 ()()（3），令，故 r3，所TCxxCxrrrrrrr 1929 918 31 21 2()()()1839r求系数是() 1 221 23 93C2. 求证：能被 7 整除。51151分析：，51149214949249 2215151 51051 51150 515150 515151 ()CCCC除以外各

2、项都能被 7 整除。C51515121又CCCCC51515131717 17017 17116 1716 171721217117771()()显然能被 7 整除，所以能被 7 整除。511513. 求除以 100 的余数。9192分析：919019090909292 92092 92191 9291 9292()CCCC由此可见，除后两项外均能被 100 整除，而CC9291 92929082818210081故除以 100 的余数为 81。91924.（2009 北京卷文）若4(12)2( ,aba b为有理数） ，则ab A33B 29C23D19 【答案答案】B.w【解析解析】本题主

3、要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. 40123401234 444441222222CCCCC14 2128 2417 12 2 ，由已知，得17 12 22ab，17 1229ab.故选 B.5.（2009 北京卷理）若5(12)2( ,aba b为有理数） ，则ab （ ）A45 B55 C70 D80 【答案答案】C 【解析解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. 5012345012345 55555512222222CCCCCC1 5 22020 2204 24129 2 ，由已知，得4129 22ab，412970ab.故选

4、 C.6. 已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。()xxn1 24（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。分析：依条件可得关于 n 的方程求出 n，然后写出通项，讨论常数项和有理项对 rTr1 的限制。解：解：依题意，前三项系数的绝对值分别为 1，且CCnn1221 21 2( )( )，21 211 2122CCnn( )( )即nn2980解得 n8 或 n1（舍去） TCxxCxrrrrrrrr1884816 3 41 212()()()（1）若为常数项，当且仅当，即，而，这不可能，故Tr1163 40r316r rZ展开式中没有常数项。（2）若为有理数

5、，当且仅当为整数。Tr1163 4 r08rrZ，即展开式中的有理项共有三项，r0 4 8, ,TxTxTx14 59235 81 256，7. （1）如果12212222187nn nnnCCC，则012n nnnnCCCC （答：128） ；（2）化简01223(1)n nnnnCCCnC（答：1(2) 2nn）已知929 0129(1 3 )xaa xa xa x，则0129|aaaa等于_（答：94） ； （2）200422004 0122004(1 2 )xaa xa xax，则0102()()aaaa02004()aa_（答：2004） ；（3 3）设n nnxaxaxaaxx2

6、22 2102)1 (,则naaa220_（答：213 n ） 。8 （湖南理 15）将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图 1 所示的 0-1 三角数 表从上 往下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行， ，第次全行的数都为 1 的是第 行；第 61 行中 1 的个数是 n 第 1 行 1 1 第 2 行 1 0 1第 3 行 1 1 1 1 第 4 行 1 0 0 0 1 第 5 行 1 1 0 0 1 1 图 1【答案】，3221n 9 （04. 上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _34 _行中从左

7、至右第 14 与第 15 个数的比为.3:210.（2009 江西卷理）(1)naxby展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则, ,a b n的值可能为A2,1,5abn B2,1,6abn C1,2,6abn D1,2,5abn . . 答案：D【解析】5(1)2433nb，5(1)322na，则可取1,2,5abn，选 D11.(2009 湖北卷理)设 222212 012122).2nnn nnxaa xa xaxa x （，则22 024213521lim(.)(.) nnnaaaaaaaa. 1A .0B .1C 2.2D 【答案】B【解析】

8、令0x 得2 021()22n na 令1x 时2 01222(1)2n naaaa令1x 时2 01222(1)2n naaaa两式相加得：2202222(1)(1)22 2nnnaaa 两式相减得：22132122(1)(1)22 2nnnaaa 代入极限式可得，故选 B 12.（2009 湖北卷文）已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+a3x3,则 b= . .【答案】40【解析】因为15()rr rTCax .解得2,40ab 第 0 行 1 第 1 行 1 1 第 2 行 1 2 1 第 3 行 1 3 3 1 第 4 行 1 4 6 4 1第 5 行 1 5 10 10 5 1

9、 13.（2009 四川卷文）61(2)2xx的展开式的常数项是 （用数字作答）m 【答案答案】20【解析解析】rrrrrrrr rxCxxCT2626 66 612) 1()21()2() 1( ，令026 r，得3r故展开式的常数项为20) 1(3 63C14.(2009 湖南卷理)在323(1)(1)(1)xxx的展开式中，x的系数为_7_(用数字作答)【答案】：7 . 【解析】由条件易知3333(1) ,(1) ,(1)xxx展开式中x项的系数分别是123 333C ,C ,C，即所求系数是33 17 15.（2009 浙江卷理）观察下列等式：153 5522CC，15973 9992

10、2CCC，15913115 1313131322CCCC，1591317157 171717171722CCCCC，由以上等式推测到一个一般的结论：对于*nN，15941 41414141n nnnnCCCC . .答案： 4121212nnn 【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有 1n，二项指数分别为41212,2nn，因此对于*nN，15941 41414141n nnnnCCCC 4121212nnn 16.在(x23x2)5的展开式中，x 的系数为 A.160B.240 C.360 D.800 17.已知 S在 S 的展开式中，x3项1010 1033

11、1022 101 10) 1(C) 1(C) 1(C) 1(Cxxxx 的系数为A.10 104 103 10CCCB.7 1010 102 55 101 44 103 10CCCCCCC C.0 D.1 18.(2002 年全国高考题)(x2+1)(x-2)7的展开式中 x3项的系数是_. 答案: 100819.展开式中 x4的系数为54) 1() 1(xx A.40B.10C.40D.4520.已知(3x2)n展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大 992.32x (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项.答案：(1) 326 322 405)2(270xx21

12、.设，则 。 Nn12321666nn nnnnCCCC解：由二项式定理得，即nnn nnnnCCCC)61 (666613322161，故原式。nnn nnnnCCCC7)666(12321) 17(61n22. 在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为，当时，等于2006)2( xxS2xS（ ）A. B. C. D.30082300823009230092解：令，20062005 20053 32 2102006)2(xxaxaxaxaax取，分别得2,2xx0)2()2(22006 33 22 10xaaaa30092006 33 22 102)2()2(2xaaaa两式相减得3008

13、20052005 33 12)2()2(2aaa故选 B 项。23. 农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。2003 年某地区农民人均收入为 3150 元（其中工资性收入为 1800 元，其它收入为 1350 元） ，预计该地区自 2004 年起的 5 年内，农民的工资性收入将以每年 6%的年增长率增长，其它收入每年增加 160 元。根据以上数据，2008 年该地区农民人均收入介于（ ）A.4200 元 4400 元 B.4400 元 4600 元C.4600 元 4800 元 D.4800 元 5000 元解：2008 年农民工资性收入为)06. 006. 01 (1800)06. 01

14、 (180022 51 55CC)036. 03 . 01 (1800（元）2405336. 11800 又 2008 年农民其它人均收入为（元）215051601350故 2008 年农民人均总收入约为（元） 。455521502405故选 B 项。24.（2003）已知数列（n 为正整数）是首项是 a1，公比为 q 的等比数列， （1）求和：na，；（2）由（1）的结果归纳概括出关于2 231 220 21CaCaCa3 342 331 320 31CaCaCaCa正整数 n 的一个结论，并加以证明。（1）；2 12 231 220 21)q1 (aCaCaCa；（2）归纳概括的结论为：若

15、数列是首3 13 342 331 320 31)q1 (aCaCaCaCana项为 a1，公比为 q 的等比数列，则 n n1nn3 n42 n31 n20 n1Ca) 1(CaCaCaCa，证明略)Nn()q1 (an 125.（2007 湖北文、理）湖北文、理）如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最nxx 3223小值为（ B ） A.3 B.5 C.6 D.10 26 （2007 江苏）江苏）若对于任意实数，有，则x323 0123(2)(2)(2)xaa xaxa x的值为（B）2aA B C D36912 27 （2007 江西文）江西文）设(x21)(2x1)9a0a1

16、(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则 a0a1a2a11的值为（ ） A2 B1 C1 D228 （2007 江西理）江西理）已知()n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和x33x 之比为 64，则 n 等于（ C ）A4 B5 C6 D729. (2007 安徽文安徽文)已知,则(5 543 32 21054)1 (xaxaxaxaxaax的值等于 -256 .)(531420aaaaaa 30.（2005 浙江卷理第浙江卷理第 5 题）题）在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )(A) 74 (B) 121 (C) 74 (D) 121

17、答案：D10求展开式中系数最大的项；84)21(xx 解：记第项系数为，设第项系数最大，则有rrTk又，那么有 11kkkk TTTT1182 .rr rCTkkkkkkkkCCCC2 .2 .2 .2 .8118228118即 )!8( ! 82)!9)!.(1(! 82)!10)!.(2(! 8 )!9)!.(1(! 8KKKKKKKkKKKK 1 9222 11解得，系数最大的项为第 3 项和第 4 项。43 k2537xT 2747xT （1）系数绝对值最大的项例 11在（的展开式中，系数绝对值最大项是 ；7)yx 解：求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理，nba)( “)(

18、“nba 故此答案为第 4 项，和第 5 项。4347yxC5257yxC31 （99 全国）若，4 43 32 2104)32(xaxaxaxaax则的值为 ；2 312 420)()(aaaaa解： 4 43 32 2104)32(xaxaxaxaax令，有，1x432104)32(aaaaa令，有1x)()()32(314204aaaaa故原式=)().(3142043210aaaaaaaaaa=44)32.()32(=1) 1(432 （04 天津）若，20042 21020042004.)21 (xxaxaax则 ；)(.)()(200402010aaaaaa解：，20042 210

19、20042004.)21 (xxaxaax令，有1x1.)21 (20042102004aaaa令，有0x1)01 (02004a故原式=020042102003).(aaaaa200420031在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：特0 , 1, 1 殊值在解题过程中考虑的比较多。33设，015 56 66.) 12(axaxaxax则 ；6210.aaaa分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋 值法求的化简后的代数式的值。解：rrr rxTC) 1()2(6 61 65432106210.aaaaaaaaaaa=)()(531

20、6420aaaaaaa=0 34. (江苏省启东中学 2008 年高三综合测试一)若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+a6x6且a1+a2+a6=63,则实数 m 的值为（ ）A. 1 B. -1 C. -3 D. 1 或-3 答案：D35. (广东省深圳外国语学校 2008 届第三次质检)若5 52 2105) 1(.) 1() 1() 1(xaxaxaax，则0a= （ ）A32 B1 C-1 D-32 答案：A36. (河北省正定中学 2008 年高三第五次月考)若二项式2323n xx*()nN展开式中含有常数项，则n的最小取值是 （ ）A 5 B 6 C 7 D 8答案：C37

21、.(黑龙江省哈尔滨九中 2008 年第三次模拟考试)设 1+（1+x）2+（1+2x）2+（1+3x）2+（1+nx）2=a0+a1x+a2x2，则12 0limaan的值是（ ）A0 B C1 D212 答案：C38.(湖南省长沙市一中 2008 届高三第六次月考)代数式522) 1)(524(xxx的展开式中，含4x项的系数是A30B30C70D90答案：A39. （08 年辽宁卷 15）已知的展开式中没有常数项，且2 31(1)n xxxxn*N2n8，则 n=_分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题对中，31()nxx*,28nNn只有时，其展开式既不出现常数项，也不会出现

22、与、乘积为常数的项。故填5n x2x 5。40(04 天津)若 ,则200421x)(2004 20042 210Rxxaxaxaa. 20040302010aaaaaaaa解析：直接展开由各项系数求解将误入歧途。二项式定理既是公式，又可视为方程 式或恒等式，故可用多项式恒等理论和赋值法去求解。 解：取得 ；1, 0xx10a12004210aaaa故原式=2004)(20032004100aaaa41.（2009 北京卷理）若5(12)2( ,aba b为有理数） ，则ab （ ）A45 B55 C70 D80 【答案答案】C 【解析解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基

23、本运算的考查. 5012345012345 55555512222222CCCCCC1 5 22020 2204 24129 2 ，由已知，得4129 22ab，412970ab.故选 C.42.（2009 江西卷理）(1)naxby展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则, ,a b n的值可能为A2,1,5abn B2,1,6abn C1,2,6abn D1,2,5abn . 答案：D【解析】5(1)2433nb，5(1)322na，则可取1,2,5abn，选 D43.（2009 陕西卷文）若20092009 012009(1 2 )()xaa xa

24、xxR,则200912 22009222aaa的值为 （A）2（B）0 （C）1 (D) 2 答案:C. . 解析:由题意容易发现11200820082008 1200920082009( 2)2 2009 , ( 2)( 2)2009aCaC ,则2008200811 200820082009,2009,+=02222aaaa 即, 同理可以得出20072 22007+=022aa,32006 32006+=022aa亦即前 2008 项和为 0, 则原式=200912 22009222aaa=20092009 20092009 20092009( 2)122aC 故选 C.44.（2009

25、 浙江卷理）观察下列等式：153 5522CC，15973 99922CCC，15913115 1313131322CCCC，1591317157 171717171722CCCCC，由以上等式推测到一个一般的结论：对于*nN，15941 41414141n nnnnCCCC . 答案： 4121212nnn 【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有 1n，二项指数分别为41212,2nn，因此对于*nN，15941 41414141n nnnnCCCC 4121212nnn 45.（安徽卷（安徽卷 6）设则中奇数的个数为（A 88 018(1),xaa xa x0,18,a aa） A2B3C4D5 46.（浙江卷（浙江卷 4）在的展开式中，含的项的系数)5)(4)(3)(2)(1(xxxxx4x 是 A（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274