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1、函数解题思路方法总结：函数解题思路方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数ax+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标， 或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax+bx+ca0本身就是所含 字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
2、二、二、抛物线上动点抛物线上动点5、 （湖北十堰市）如图， 已知抛物线32bxaxy（a0）与x轴交于点 A(1，0)和点 B (3，0)，与 y 轴交于点 C (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 如图，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的 最大值，并求此时 E 点的坐标注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 P 坐标-C 为顶点时，以 C 为圆心 CM 为半径
3、画弧，与对称轴交点即为所求点 P，M 为顶点时，以M 为圆心 MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P，P 为顶点时，线段 MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P。第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值） ； 方法二，先求与 BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组） ，再求面积。共同点：共同点：070809动点个数两个 一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边 上移动抛物线中特殊直角梯形底 边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函 数关系式探究等腰三角形考点菱形性质 特殊角三角函数 求直线、抛物线解析式 相似三角形 不等
4、式求直线解析式 四边形面积的表 示 动三角形面积函 数矩形性质求抛物线顶点坐标 探究平行四边形 探究动三角形面积是定 值 探究等腰三角形存在性特点菱形是含 60的特殊菱形； AOB 是底角为 30的等腰三 角形。 一个动点速度是参数字母。 探究相似三角形时，按对应 角不同分类讨论；先画图，再 探究。 通过相似三角形过度，转化 相似比得出方程。 利用 a、t 范围，运用不等式 求出 a、t 的值。观察图形构造特 征适当割补表示面 积 动点按到拐点时 间分段分类 画出矩形必备条 件的图形探究其存 在性直角梯形是特殊的（一 底角是 45） 点动带动线动 线动中的特殊性（两个 交点 D、E 是定点；动
5、线段 PF 长度是定值，PF=OA） 通过相似三角形过度， 转化相似比得出方程。 探究等腰三角形时，先 画图，再探究（按边相等 分类讨论）特殊四边形为背景； 点动带线动得出动三角形； 探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式） ； 求直线、抛物线解析式；探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。二次函数的动态问题（动点）1.如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，1C( 4 0)A ，( 2 0)B ，(0 8)E ，（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；1C2C（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左1CM2CxCD，CD侧） ，顶点为，四边形的面
6、积为若点，点同时以每秒 1 个单位的速度NMDNASAD 沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒 2 个单位的速度沿MN 坚直方向分别向下、向上运动，直到点与点重合为止求出四边形的面积ADMDNA 与运动时间 之间的关系式，并写出自变量 的取值范围；Stt（3）当 为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；tMDNAS （4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时 的值；若不能，请MDNAt 说明理由解 （1）点，点，点( 4 0)A ，( 2 0)B ，关于原点的对称点分别为，(0 8)E ，(4 0)D ， (2 0)C ，(08)F，设抛物线的解析式是2
7、C，2(0)yaxbxc a则解得1640 4208abc abcc ， ，168abc ，所以所求抛物线的解析式是 268yxx （2）由（1）可计算得点 ( 31)(31)MN，过点作，垂足为NNHADH 当运动到时刻 时， t282ADODt12NHt 根据中心对称的性质，所以四边形是平行四边形OAODOMON，MDNA所以2ADNSS所以，四边形的面积 MDNA2(82 )(12 )4148Stttt 因为运动至点与点重合为止，据题意可知AD04t 所以，所求关系式是， 的取值范围是 24148Stt t04t （3）， （） 所以时，有最大值 781444St 04t 7 4t S8
8、1 4提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形能形成矩形 MDNA由（2）知四边形是平行四边形，对角线是，所以当时四边MDNAADMN，ADMN形是矩形MDNA所以所以 ODON2222ODONOHNH所以解之得（舍） 22420tt126262tt ，所以在运动过程中四边形可以形成矩形，此时 MDNA62t 点评本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。2. （06 福建龙岩卷）如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，23 4yxbxc ABC，点的横坐标为，过点的直线与轴交于点，点是线段A1(0 3)C，334yxt xQP上的一个
9、动点，于点若，且BCPHOBH5PBt01t （1）确定的值：；bc，_bc，（2）写出点的坐标（其中用含 的式子表示）：BQP，QP，t；(_ _)(_ _)(_ _)BQP，（3）依点的变化，是否存在 的值，使为等腰三角形？若存在，求出所有 的PtPQBt值；若不存在，说明理由解 （1） 9 4b 3c （2） (4 0)B，(4 0)Qt，(44 3 )Pt t，（3）存在 的值，有以下三种情况t当时PQPB，则PHOBGHHB4444ttt 1 3t 当时，得 PBQB445tt4 9t yCAOQHBPxCOPQDB当时，如图解法一：过作，又PQQBQQDBPPQQB则又 5 22B
10、PBDtBDQBOCBDBQ BOBC5 442 45tt32 57t 解法二：作斜边中线RtOBCOE则，此时5 22BCOEBEBE，OEBPQBBEOB BQPB5 42 445tt32 57t 解法三：在中有RtPHQ222QHPHPQ222(84)(3 )(44 )ttt257320tt（舍去）32057tt ，又当或或时，为等腰三角形01t 1 3t 4 932 57PQB解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运 用。 代数讨论：计算出PQB 三边长度，均用 t 表示，再讨论分析 RtPHQ 中用勾股定理计算 PQ 长度，而 PB、BQ 长度都
11、可以直接直接用 t 表示，进行分组讨论即可计算。点评此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2 小题不难，第 3 小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的矛盾，应舍去01t 3.如图 1，已知直线与抛物线交于两点1 2yx 2164yx AB，（1）求两点的坐标；AB，（2）求线段的垂直平分线的解析式；AB（3）如图 2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处用铅笔拉着ABAB，这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角PABPAB，形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角
12、形？如果存在，求出最大面积，并指出此 时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由PCOPQEBCOPQHByxOyxOPA图 2图 1B BA解 （1）解：依题意得解之得2164 1 2yxyx 12126432xxyy (63)( 4 2)AB，（2）作的垂直平分线交轴，轴于两点，交于（如图 1）ABxyCD，ABM由（1）可知：3 52 5OAOB 5 5AB15 22OMABOB过作轴，为垂足BBExE由，得：，BEOOCM5 4OCOMOCOBOE，同理： 55500242ODCD，设的解析式为CD(0)ykxb k52045522kkbbb 的垂直平分线的解析式为：AB522yx（3）若
13、存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交PAPBPAB点的直线上，并设该直线与轴，轴交于两点（如图 2） 1 2yxm xyGH，yxO图 1DMACB第 26 题21 2 164yxmyx 2116042xxm抛物线与直线只有一个交点，2114(6)024m 在直线中，2523144mP， 125 24GHyx ，25250024GH，2554GH设到的距离为，OGHd11 22 125 512525 24224 552GH dOG OHddABGHAAA，到的距离等于到的距离PABOGHd另解：过 P 做 PCy 轴，PC 交 AB 于 C，当 PC 最大时PBA 在 AB
14、 边上的高 h 最大（h与 PC 夹角固定） ，则 SPBA最大 问题转化为求 PC 最大值，设 P（x, ）,C（x, ）,从而可以表示 PC 长度，进行极值求取。最后，以 PC 为底边，分别计算 SPBC和 SPAC即可。点评这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第 3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。4.如图，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象ABCDAB， 0108 4，CD，限点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点从点出发，PAQ4 0E，沿轴正方向以相同速度运动当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的xPCP
15、Q，yxOPA图 2HGB时间为 秒t（1）求正方形的边长 ABCD（2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）与时间 （秒）之间的函PABOPQSt数图象为抛物线的一部分（如图所示） ，求两点的运动速度 PQ，（3）求（2）中面积（平方单位）与时间 （秒）的函数关系式及面积取最大值时点StS 的坐标 P（4）若点保持（2）中的速度不变，则点沿着边运动时，的大小随PQ，PABOPQ着时间 的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间 的增大而减小当tBCOPQt点沿着这两边运动时，使的点有 个 P90OPQ P（抛物线的顶点坐标是20yaxbxc a24 24bacb aa，解 （1）作轴于BFy
16、F，0108 4AB，86FBFA， 10AB （2）由图可知，点从点运动到点用了 10 秒PAB又1010 101AB ，两点的运动速度均为每秒 1 个单位PQ ，（3）方法一：作轴于，则PGyGPGBF，即GAAP FAAB610GAt3 5GAt图yDAC PBOEQx图O10t2028s3105OGt，4OQt 113410225SOQ OGtt即231920105Stt ，且，19 195 323210b a 190103当时，有最大值19 3t S此时，4763311051555GPtOGt，点的坐标为（8 分）P76 31 155，方法二：当时，5t 1637922OGOQSOG
17、 OQA，设所求函数关系式为220Satbt抛物线过点，6310 2852，100102028 6325520.2abab，3 10 19.5ab ， 231920105Stt ，且，19 195 323210b a 190103当时，有最大值19 3t S此时，7631 155GPOG，点的坐标为 P76 31 155，（4） 2点评本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。5. 如图，中，它的顶点的坐标为，顶RtABC90B30CABA(10 0)，点的坐标为，点从点出发，沿的方向匀速运动，B(5 5
18、 3)，10AB PAABC同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同Q(0 2)D ，yPC时停止运动，设运动的时间为 秒t（1）求的度数BAO（2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间 （秒）之间的函数PABOPQSt图象为抛物线的一部分， （如图） ，求点的运动速度P（3）求（2）中面积与时间 之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标StSP（4）如果点保持（2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小PQ，PABOPQ随着时间 的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间 的增大而减小，tBCOPQt当点沿这两边运动时，使的点有几个？请说明理由P90OPQP（第 2
19、9 题图 ）ACB QDOPxy3010O5tS（第 29 题图）解: （1）60BAO （2）点的运动速度为 2 个单位/秒P（3）（）(103 )Ptt ，05t1(22)(10)2Stt29121 24t 当时，有最大值为，9 2t S121 4此时11 9 3 22P ，（4）当点沿这两边运动时，的点有 2 个P90OPQ P当点与点重合时，PA90OPQ 当点运动到与点重合时，的长是 12 单位长度，PBOQ作交轴于点，作轴于点，90OPM yMPHyH由得：，OPHOPM20 311.53OM 所以，从而OQOM90OPQ 所以当点在边上运动时，的点有 1 个PAB90OPQ P同
20、理当点在边上运动时，可算得PBC10 31217.83OQ 而构成直角时交轴于，y35 303 ，35 320.217.83所以，从而的点也有 1 个90OCQ 90OPQ P所以当点沿这两边运动时，的点有 2 个P90OPQ P6. （本题满分 14 分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已12434xyxAyC知二次函数的图象经过点、和点.AC0,1B（1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；MAOCM（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线DEOD23第 29 题图yQMHD OAxC B ( )PECAyOBFxMD按的路线
21、运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按OACOACE4OCA的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从OCADEDE 点出发 秒时，的面积为 S .OtODE 请问、两点在运动过程中，是否存在，若存在，请求出此时 的值；DEDEOCt 若不存在，请说明理由； 请求出 S 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；tt设是中函数 S 的最大值，那么 = .0S0S解：（1）令，则；0x4y令则0y3x3 0A，0 4C，二次函数的图象过点，0 4C，可设二次函数的关系式为42bxaxy又该函数图象过点3 0A，1 0B ，0934 04ab ab ， 解之，得，34a38b所求二
22、次函数的关系式为 438 342xxy（2）438 342xxy=3161342x顶点 M 的坐标为 1613，ECAyOB xMD过点 M 作 MF轴于 FxAFMAOCMFOCMSSS四边形梯形=101316421 3161321四边形 AOCM 的面积为 10 （3）不存在 DEOC 若 DEOC，则点 D，E 应分别在线段 OA，CA 上，此时，在中，12t RtAOC 5AC 设点 E 的坐标为， ，11xy，544 31tx512121txDEOC tt 23 51212 38t2，不满足38t12t 不存在DEOC 根据题意得 D，E 两点相遇的时间为（秒）1124423543
23、现分情况讨论如下：）当时，；01t 2134322StttA）当时，设点 E 的坐标为12t 22xy， 5445 42ty516362ty ttttS527 512 51636 23 212）当 2 0） ，则 N（R+1，R） ，代入抛物线的表达式，解得2171R 6 分当直线 MN 在x轴下方时，设圆的半径为 r（r0） ， 则 N（r+1，r） ，代入抛物线的表达式，解得2171r 7 分圆的半径为2171或2171 7 分（4）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q，易得 G（2，3） ，直线 AG 为1xy8 分设 P（x，322 xx） ，则 Q（x，x1） ，PQ22
24、xx3)2(212xxSSSGPQAPQAPG9 分当21x时，APG 的面积最大此时 P 点的坐标为 415,21，827的最大值为APGS 10 分11 （本小题 12 分）解：（1）解方程 x210x160 得 x12，x28 点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，且 OBOC 点 B 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（0，8） 又抛物线 yax2bxc 的对称轴是直线 x2 由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为（6，0）A、B、C 三点的坐标分别是 A（6，0） 、B（2，0） 、C（0，8） （2）点 C（0，8）在抛物线 yax2bxc 的图象上c8，将
25、 A（6，0） 、B（2，0）代入表达式 yax2bx8，得 Error! 解得Error!所求抛物线的表达式为 y x2 x8 2383（3）AB8，OC8SABC 88=3212（4）依题意，AEm，则 BE8m，RRrr 11NNMMABDOxyOA6，OC8， AC10 EFAC BEFBAC 即 EFEFACBEABEF108m8405m4过点 F 作 FGAB，垂足为 G，则 sinFEGsinCAB45 FG 8mFGEF4545405m4SSBCESBFE （8m）8 （8m） （8m）1212 （8m） （88m） （8m）m m24m 121212自变量 m 的取值范围是
26、0m8 （5）存在 理由：S m24m （m4）28 且 0，121212当 m4 时，S 有最大值，S最大值最大值8 m4，点 E 的坐标为（2，0） BCE 为等腰三角形12.（12 分）已知：如图 14，抛物线2334yx 与x轴交于点A，点B，与直线3 4yxb 相交于点B，点C，直线3 4yxb 与y轴交于点E（1）写出直线BC的解析式 （2）求ABC的面积 （3）若点M在线段AB上以每秒 1 个单位长度的速度从A向B运动（不与AB，重 合） ，同时，点N在射线BC上以每秒 2 个单位长度的速度从B向C运动设运动时间为 t秒，请写出MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时
27、间时， MNB的面积最大，最大面积是多少？解：（1）在2334yx 中，令0y 23304x12x，22x ( 2 0)A ，(2 0)B，1 分又点B在3 4yxb 上302b 3 2b BC的解析式为33 42yx 2 分xyABCEMDPNO（2）由2334 33 42yxyx ，得1119 4xy 2220xy 4 分914C，(2 0)B，4AB，9 4CD 5 分1994242ABCS 6 分（3）过点N作NPMB于点P EOMB NPEO BNPBEO7 分 BNNP BEEO8 分由直线33 42yx 可得：302E，在BEO中，2BO ，3 2EO ，则5 2BE 2 53 22tNP，6 5NPt9 分1 6(4)2 5SttAA2312(04)55Sttt 10 分2312(2)55St 11 分此抛物线开口向下，当2t 时，12 5S最大当点M运动 2 秒时，MNB的面积达到最大，最大为12512 分