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1、第第15章章 电力网络的数学模型电力网络的数学模型1 1、电力网络的基本方程式、电力网络的基本方程式2 2、节点导纳矩阵及其算法、节点导纳矩阵及其算法3 3、节点阻抗矩阵及其算法、节点阻抗矩阵及其算法l节点导纳矩阵的特点、形成原理；节点导纳矩阵的特点、形成原理；l节点阻抗矩阵的特点、形成原理。节点阻抗矩阵的特点、形成原理。本章提示本章提示15.1 电力网络的基本方程式电力网络的基本方程式 电力网络可以用电力网络可以用节点方程式节点方程式或或回路方程式回路方程式表示出来。表示出来。电力系统的基础网络方程式一般都用电力系统的基础网络方程式一般都用节点方程式节点方程式表示。表示。15.1 简化的有源
2、电力网络接线图简化的有源电力网络接线图网络方程组可以表示为：网络方程组可以表示为：或者写成或者写成 YU 简单简单写成写成(i=1,2,n)上式可化为上式可化为 UZI 15.1 15.1 15.1 15.1 电力网络的基本方程式电力网络的基本方程式电力网络的基本方程式电力网络的基本方程式15.2 15.2 节点导纳矩阵及其算法节点导纳矩阵及其算法1、节点导纳矩阵、节点导纳矩阵2、节点导纳矩阵的计算方法、节点导纳矩阵的计算方法1、自导纳、自导纳 节点节点i的自导纳的自导纳Yii 是当节点是当节点i以外的全部节点都接地，在节以外的全部节点都接地，在节点点i加上单位大小的电压加上单位大小的电压(=
3、1单位电压单位电压)时，由节点时，由节点i流向流向网络的电流就等于网络的电流就等于i节点的自导纳。节点的自导纳。自导纳等于与节点自导纳等于与节点i i连接的全部支路导纳的和连接的全部支路导纳的和15.2 15.2 15.2 15.2 节点导纳矩阵及其算法节点导纳矩阵及其算法节点导纳矩阵及其算法节点导纳矩阵及其算法图图15.2 电力网络接线图电力网络接线图图图15.215.2中节点中节点2 2的自导纳的自导纳Y Y2222为为=+=0.25-j0.25(s)2.2.互导纳互导纳 节点节点j j以外的节点全接地以外的节点全接地,在节点在节点j j加以单位电压时，由加以单位电压时，由节点节点i i流
4、向流向j j的电流加上负号就是互导纳的电流加上负号就是互导纳Y Yijij Y Yijij 是连接节点是连接节点j j和节点和节点i i支路的导纳再加上负号而得支路的导纳再加上负号而得 15.2 15.2 15.2 15.2 节点导纳矩阵及其算法节点导纳矩阵及其算法节点导纳矩阵及其算法节点导纳矩阵及其算法图图15.3 电力网络接线图电力网络接线图 在图在图15.215.2中节点中节点1,21,2间的互导纳间的互导纳Y Y1212为为=-=j0.1677(s)=-(1/+1/)右图中节点右图中节点1,21,2间的间的互导纳互导纳Y Y1212为为导纳矩阵是对称矩阵；导纳矩阵是对称矩阵；导纳矩阵是
5、稀疏矩阵；导纳矩阵是稀疏矩阵；导纳矩阵能从系统网络接线图直观地求出。导纳矩阵能从系统网络接线图直观地求出。导纳矩阵的特点导纳矩阵的特点例例:求系统的导纳矩阵求系统的导纳矩阵(所给数字是标么阻抗所给数字是标么阻抗)图图15.4解解:节节点点1 1的自的自导纳为导纳为：=+互导纳为：互导纳为：Y=-=-0.4808+j2.4038对其它节点进行同样的计算，则依次得到对其它节点进行同样的计算，则依次得到3.非标准变比变压器非标准变比变压器非标准变比变压器是指变压器的线圈非标准变比变压器是指变压器的线圈匝数比不等于标准变比。匝数比不等于标准变比。由上式解出 或者在图在图(c)(c)中，由节点中，由节点
6、1 1，即变压器的接入端来看自导纳，即变压器的接入端来看自导纳Y11Y11为为变压器接入端的对侧来看的自导纳变压器接入端的对侧来看的自导纳 为为 节点节点1 1、2 2间的互导纳间的互导纳Y Y1212为为当有非标准变比变压器时，可按如下次序形成导纳矩阵当有非标准变比变压器时，可按如下次序形成导纳矩阵当有非标准变比变压器时，可按如下次序形成导纳矩阵当有非标准变比变压器时，可按如下次序形成导纳矩阵先不考虑非标准变比先不考虑非标准变比(认为认为K=1)K=1)求导纳矩阵；求导纳矩阵；再把接入非标准变比变压器的节点的自导纳加上再把接入非标准变比变压器的节点的自导纳加上(K-1)Y(K-1)Y，其，其
7、中中Y Y是从变压器相连结的另一端节点来看变压器的漏抗与两节是从变压器相连结的另一端节点来看变压器的漏抗与两节点输电线的阻抗之和的倒数；点输电线的阻抗之和的倒数；由接入非标准变比变压器的对端节点来看自导纳不变；由接入非标准变比变压器的对端节点来看自导纳不变；变压器两节点间的互导纳加上变压器两节点间的互导纳加上-(K-1)Y-(K-1)Y。例例15.2 15.2 利用例利用例15.115.1的结果计算图的结果计算图15.6(a)15.6(a)的节点导纳矩阵。的节点导纳矩阵。图图15.6 例例15.2的图的图所以导纳矩阵为所以导纳矩阵为 Y=(K-1)Y=(1.1-1)=-j0.7000 Y=-(
8、K-1)Y=-(1.1-1)=j0.3333解解:将将3、4节点间用节点间用 形等值电路表示，如图形等值电路表示，如图 15.6(b)，4.4.系统变更时的修正系统变更时的修正(1)(1)增加新的节点和新的支路增加新的节点和新的支路 如图如图(a)(a)所示，新节点编号为所示，新节点编号为j j，节点，节点i i、j j间支路阻抗为间支路阻抗为z z。特点：特点：导纳矩阵导纳矩阵Y Y的阶次增加一阶，除节点的阶次增加一阶，除节点i i以外的原有节点和以外的原有节点和新增节点间互导纳为零，节点新增节点间互导纳为零，节点i i的自导纳由的自导纳由 变成变成 ，还要新增加互导纳，还要新增加互导纳 、
9、节点、节点j j的自导纳为的自导纳为Y Yjj jj 。图图15.7 系统变更的几种状况系统变更的几种状况（2）在原有节点）在原有节点i和和j 间增加阻抗为间增加阻抗为 z的新支路的新支路特点：导纳矩阵特点：导纳矩阵Y阶次不变，节点的自导纳阶次不变，节点的自导纳Yii、Yjj和和互导纳互导纳Yij分别变更为分别变更为（4 4）变压器变比由）变压器变比由K K变成变成KK时时15.2.2 节点导纳矩阵的计算方法节点导纳矩阵的计算方法导纳矩阵的阶数等于电力系统网络的节点数；导纳矩阵的阶数等于电力系统网络的节点数；导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个数等于导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个数等于对
10、应节点所连的不接地支路数；对应节点所连的不接地支路数；导纳矩阵的对角元素即，各节点的自导纳等于相导纳矩阵的对角元素即，各节点的自导纳等于相应节点所连支路的导纳之和。应节点所连支路的导纳之和。导纳矩阵非对角元素导纳矩阵非对角元素Y Yijij等于节点等于节点i i与节点与节点j j之间的之间的导纳的负数。导纳的负数。15.2.3 15.2.3 形成节点导纳矩阵的原始数据及程序框图形成节点导纳矩阵的原始数据及程序框图1.1.1.1.形成节点导纳矩阵的原始数据形成节点导纳矩阵的原始数据形成节点导纳矩阵的原始数据形成节点导纳矩阵的原始数据 网络接线由节点及连结两个节点的支路确定，只要输入了网络接线由节
11、点及连结两个节点的支路确定，只要输入了网络接线由节点及连结两个节点的支路确定，只要输入了网络接线由节点及连结两个节点的支路确定，只要输入了各支路两端的节点号，就相当于输入了系统的接线图。一条各支路两端的节点号，就相当于输入了系统的接线图。一条各支路两端的节点号，就相当于输入了系统的接线图。一条各支路两端的节点号，就相当于输入了系统的接线图。一条支路一般须要输入六个数据支路一般须要输入六个数据支路一般须要输入六个数据支路一般须要输入六个数据,即即即即i,j,z,bc,t,iti,j,z,bc,t,iti,j,z,bc,t,iti,j,z,bc,t,it，在程序中用，在程序中用，在程序中用，在程序
12、中用矩阵矩阵矩阵矩阵B B B B来进行输入来进行输入来进行输入来进行输入(其中矩阵的行数为支路数，列数为上述六其中矩阵的行数为支路数，列数为上述六其中矩阵的行数为支路数，列数为上述六其中矩阵的行数为支路数，列数为上述六个数据个数据个数据个数据)。矩阵。矩阵。矩阵。矩阵X X X X是由各节点的节点号与该节点的接地阻抗构是由各节点的节点号与该节点的接地阻抗构是由各节点的节点号与该节点的接地阻抗构是由各节点的节点号与该节点的接地阻抗构成。成。成。成。形成节点导纳矩阵的程序框图形成节点导纳矩阵的程序框图2.2.2.2.形成节点导纳矩阵的程序框图形成节点导纳矩阵的程序框图形成节点导纳矩阵的程序框图形
13、成节点导纳矩阵的程序框图例：用节点导纳矩阵的程序所示网络的节点导纳矩阵。例：用节点导纳矩阵的程序所示网络的节点导纳矩阵。图图15.9请输入节点数请输入节点数:n=5请输入支路数请输入支路数:nl=5请输入由支路参数形成的矩阵请输入由支路参数形成的矩阵:B=1 2 0.03i 0 1.05 0;2 3 0.08+0.3i 0.5i 1 0;3 4 0.015i 0 1.05 1;2 5 0.1+0.35i 0 1 0;3 5 0.04+0.25i 0.5i 1 0请输入由节点号及其对地阻抗形成的矩阵请输入由节点号及其对地阻抗形成的矩阵:X=1 0;2 0;3 0;4 0;5 0解：解：输入数据：
14、输入数据：导纳矩阵导纳矩阵Y=0-33.3333i 0+31.7460i 0 0 0 0+31.7460i 1.5846-35.7379i -0.8299+3.1120i 0 -0.7547+2.6415i0 -0.8299+3.1120i 1.4539-66.9808i 0+63.4921i -0.6240+3.9002i0 0 0+63.4921i 0-66.6667i 0 0 -0.7547+2.6415i -0.6240+3.9002i 0 1.3787-6.2917i结果：结果：15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法15.3.1 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵15.3.2 自阻
15、抗和互阻抗自阻抗和互阻抗15.3.3 阻抗矩阵的计算方法阻抗矩阵的计算方法15.3.1 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵将式（将式（15.6）绽开写成）绽开写成 或缩写为：=（i=1,2,3,n）式中系数矩阵为节点阻抗矩阵式中系数矩阵为节点阻抗矩阵 15.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法自阻抗和相互抗之间的自阻抗和相互抗之间的关系，可以形象地用图来表示，把总阻抗看成是关系，可以形象地用图来表示，把总阻抗看成是Zii Zii，而互，而互阻阻抗抗ZijZij则是其中抽出的一部分。则是其中抽出的一部分。图图15.10 自阻抗和互阻抗的关系自阻抗和
16、互阻抗的关系15.3.2 自阻抗和互阻抗自阻抗和互阻抗在节点在节点i i上注入一单位电流，而其他各节点均开路上注入一单位电流，而其他各节点均开路(即注入电流为零即注入电流为零)时，节点时，节点i i上的电压即是上的电压即是自阻抗自阻抗自阻抗自阻抗，而节点，而节点j(j=1,2,n,ji)j(j=1,2,n,ji)上的电压即是节点上的电压即是节点j j和节点和节点i i之间的之间的互阻抗互阻抗互阻抗互阻抗。15.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法阻抗矩阵是对称矩阵；阻抗矩阵是对称矩阵；阻抗矩阵是满矩阵；阻抗矩阵是满矩阵；迭代计算时收敛性
17、能较好；迭代计算时收敛性能较好；阻抗矩阵不能从系统网络接线图直观地求出，阻抗矩阵不能从系统网络接线图直观地求出，因此必需找寻其他求阻抗矩阵的方法。因此必需找寻其他求阻抗矩阵的方法。阻抗阵的特点：阻抗阵的特点：15.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法15.3.3 阻抗矩阵的计算方法阻抗矩阵的计算方法主要有两种：一种是用导纳矩阵求逆，间接求出阻抗矩阵；另主要有两种：一种是用导纳矩阵求逆，间接求出阻抗矩阵；另主要有两种：一种是用导纳矩阵求逆，间接求出阻抗矩阵；另主要有两种：一种是用导纳矩阵求逆，间接求出阻抗矩阵；另一种是用支路追加法，干脆形
18、成节点阻抗矩阵。一种是用支路追加法，干脆形成节点阻抗矩阵。一种是用支路追加法，干脆形成节点阻抗矩阵。一种是用支路追加法，干脆形成节点阻抗矩阵。1.支路追加法支路追加法2.特点：矩阵形成的规律性很强，特点：矩阵形成的规律性很强，3.易于理解和记忆，且编程便利。易于理解和记忆，且编程便利。4.追加线路的类型：追加接地树支，追追加线路的类型：追加接地树支，追5.加树支，追加接地连支，追加连支。加树支，追加接地连支，追加连支。6.如图，节点的电压、电流关系为：如图，节点的电压、电流关系为：原始网络原始网络15.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算
19、法（1 1）追加接地树支）追加接地树支(0,4)(0,4)=结论：原有矩阵的各元素均不变，新增的行、列元素均为零，结论：原有矩阵的各元素均不变，新增的行、列元素均为零，只有新增的对角元素为只有新增的对角元素为z。特点特点特点特点：原网络矩阵增加一阶，原网络矩阵增加一阶，新增了一个方程新增了一个方程 ，其中其中z是新增支路的阻抗。是新增支路的阻抗。追加接地树支追加接地树支追加接地树支追加接地树支15.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法（2 2）追加树支追加树支(2,4)(2,4)追加树支追加树支 特点特点特点特点：矩阵增加一阶，节点矩阵
20、增加一阶，节点2 2的注入电流变为的注入电流变为 ，且新，且新增了一个方程：增了一个方程：15.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法写成矩阵形式为写成矩阵形式为=结论：结论：原有矩阵的各元素均不变，新增的行、列元素分别等于树支所接原有矩阵的各元素均不变，新增的行、列元素分别等于树支所接的原网络节点的原网络节点2所对应的行、列元素，新对角元素等于树支所结所对应的行、列元素，新对角元素等于树支所结的节点的节点2的对角元素加上新增支路的阻抗值。的对角元素加上新增支路的阻抗值。15.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗
21、矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法(3)(3)追加接地连支追加接地连支追加接地连支追加接地连支(0,2)(0,2)追加接地连支追加接地连支特点特点特点特点：矩阵的阶次不变。对原网络来说，矩阵的阶次不变。对原网络来说，节点节点2的注入电流变为的注入电流变为 其它节点注入电流不变。其它节点注入电流不变。则各节点电压方程变为：则各节点电压方程变为：15.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法写成矩阵形式为写成矩阵形式为=结论：矩阵可短暂增加一阶，原矩阵元素不变，短暂增加的行、结论：矩阵可短暂增加一阶，原矩阵元素不变，短暂增加的行、列元素分别等于该
22、追加连支的非零节点所对应的行、列元素的负列元素分别等于该追加连支的非零节点所对应的行、列元素的负值；新对角元素等于该点的自阻抗加上连支阻抗值；新对角元素等于该点的自阻抗加上连支阻抗z。形成了暂时增加一阶的节点阻抗矩阵以后，用高斯消去法消形成了暂时增加一阶的节点阻抗矩阵以后，用高斯消去法消去矩阵的暂增行与列，原矩阵的元素去矩阵的暂增行与列，原矩阵的元素 为：为：(i,j=1,2,3)15.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法追加连支追加连支(4)(4)追加连支追加连支追加连支追加连支(2,3)(2,3)特点特点特点特点：矩阵阶次不变，设连
23、支电流由节点矩阵阶次不变，设连支电流由节点3流向流向 节点节点2，节点，节点2的注入电流变为的注入电流变为 ()，节点，节点3的注入电流变为的注入电流变为 ()。则节点电压方程的矩阵形式为：则节点电压方程的矩阵形式为：=15.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法结论：结论：矩阵可短暂增加一阶，原矩阵的元素不矩阵可短暂增加一阶，原矩阵的元素不变，短暂增加的行、列元素分别等于该追加变，短暂增加的行、列元素分别等于该追加连支的两个节点所对应的行元素之差和列元连支的两个节点所对应的行元素之差和列元素之差；新增对角元为这两个节点的自阻抗素之差；新
24、增对角元为这两个节点的自阻抗之和减去相互间的互阻抗之和再加上该连支之和减去相互间的互阻抗之和再加上该连支阻抗。阻抗。形成了短暂增加一阶的节点阻抗矩阵之形成了短暂增加一阶的节点阻抗矩阵之后，用高斯消去法消去暂增行、列，即得追后，用高斯消去法消去暂增行、列，即得追加连支的节点阻抗矩阵。加连支的节点阻抗矩阵。15.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法2.2.追加变压器支路追加变压器支路追加变压器支路追加变压器支路对于变压器支路，若变压器变比等于对于变压器支路，若变压器变比等于对于变压器支路，若变压器变比等于对于变压器支路，若变压器变比等于1
25、1，则与一般支，则与一般支，则与一般支，则与一般支路的处理方法相同；若变压器变比不等于路的处理方法相同；若变压器变比不等于路的处理方法相同；若变压器变比不等于路的处理方法相同；若变压器变比不等于1 1时，假如接时，假如接时，假如接时，假如接受变压器的受变压器的受变压器的受变压器的形等值电路当成三条支路进行追加，明显形等值电路当成三条支路进行追加，明显形等值电路当成三条支路进行追加，明显形等值电路当成三条支路进行追加，明显是增加了运算量。下面探讨一种不用变压器是增加了运算量。下面探讨一种不用变压器是增加了运算量。下面探讨一种不用变压器是增加了运算量。下面探讨一种不用变压器型等值电型等值电型等值电
26、型等值电路，干脆追加变压器支路的方法。路，干脆追加变压器支路的方法。路，干脆追加变压器支路的方法。路，干脆追加变压器支路的方法。类型：追加变压器树支，追加变压器连支。类型：追加变压器树支，追加变压器连支。类型：追加变压器树支，追加变压器连支。类型：追加变压器树支，追加变压器连支。（1）追加变压器树支）追加变压器树支追加变压器树支追加变压器树支节点节点2的注入电流为的注入电流为(+k )15.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法整理后有整理后有:=另外还有另外还有 =K(+Kz )=K(Z +Z(+K )+Z )+Kz 结论：追加变压器树
27、支和追加普通树支支路相似，只是结论：追加变压器树支和追加普通树支支路相似，只是在新增行、列的元素，分别乘以变比在新增行、列的元素，分别乘以变比K K，新对角元乘以，新对角元乘以变比变比K K 15.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法 追加变压器连支追加变压器连支（2）追加变压器连支）追加变压器连支 节点节点2的注入电流变为的注入电流变为()，节点，节点3的注入电的注入电流变为流变为()，则，则:另有:即:15.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法把把 、代入整理后得代入整理后得
28、所以得:=前面探讨的都是变压器的漏抗归算至低压侧，假如变压前面探讨的都是变压器的漏抗归算至低压侧，假如变压器的漏抗归算至高压侧，则只需将变比变为器的漏抗归算至高压侧，则只需将变比变为1/k即可，即可，即在程序中令即在程序中令 TN=T(K)或令或令:TN=1/T(K)15.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法图图17.19 用支路追加法形成节点阻抗矩阵框图用支路追加法形成节点阻抗矩阵框图3 3程序框图程序框图程序框图程序框图15.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法解：解：输入数
29、据输入数据:请输入节点数请输入节点数:n=3请输入支路数请输入支路数:nl=6请输入由支路参数形成的矩阵请输入由支路参数形成的矩阵:B=0 1 2i 0 1 0;0 2 4i 0 1 0;1 2 2i 0 1 0;0 3 20i 0 1 0;2 3 8i 0 1 0;1 3 5i 0 1 0结果：结果：阻抗矩阵阻抗矩阵Z=0+1.4124i 0+0.9605i 0+1.0734i 0+0.9605i 0+1.8531i 0+1.1299i 0+1.0734i 0+1.1299i 0+3.6158i 例例 15.4 15.4 形成如形成如图图15.1915.19所示网所示网络络的阻抗的阻抗阵阵。
30、图图15.1915.3 15.3 节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法节点阻抗矩阵及其算法 本章阐述了电力网络的数学模型，介绍了节点导纳矩阵、本章阐述了电力网络的数学模型，介绍了节点导纳矩阵、节点阻抗矩阵形成的原理框图。节点阻抗矩阵形成的原理框图。电力系统的网络方程式一般都用节点方程式表示，节点电力系统的网络方程式一般都用节点方程式表示，节点方程有导纳型和阻抗型两种。节点导纳矩阵具有对称、稀疏、方程有导纳型和阻抗型两种。节点导纳矩阵具有对称、稀疏、可以依据网络接线图干脆写出、易于修改的特点；节点阻抗可以依据网络接线图干脆写出、易于修改的特点；节点阻抗矩阵是节点导纳矩阵的逆阵，它具有对称、满阵的特点，它矩阵是节点导纳矩阵的逆阵，它具有对称、满阵的特点，它不能由网络接线图干脆写出，通常由支路追加法形成。不能由网络接线图干脆写出，通常由支路追加法形成。小小 结结