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1、现代数学概况初等教化学院初等教化学院赵世恩赵世恩一一 现代数学概况代数学概况二二 数学的分数学的分类一一 现代数学概况代数学概况1第三次数学危机2数学基础3哥德尔的不完全性定理4二十世纪的数学发展1第三次数学危机1.1对数学基础的思索自古希腊以来，数学的严格基础就是数学家们追求的目标，而这样的追求在20世纪前，曾经验过两次巨大的考验：古希腊不行公度量的发觉（无理数）微积分基础的争论（无穷小量）19世纪末，严格的微积分理论的建立，数学史上的其次次危机基本解决。1900年在巴黎实行的其次届国际数学家大会上，庞加莱兴奋的指出：“今日我们可以宣称，完全的严格性已经达到了！”但事实上，集合论的相容性（无
2、冲突性）没有得到证明！要想使我的集合论完备无缺，就不能探讨一切集合所组成的集合！康托微积分理论微积分理论集合论集合论实数理论实数理论1.2悖论的出现1901年，英国数学家罗素以一个简洁明白的集合论悖论打破了人们的希望，引起了对数学基础的新争论。对数学基础的更深化的探讨，以及由此引发的数理逻辑的发展是20世纪纯粹数学的又一重要发展趋势。悖论就是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得到了冲突。例：设M=A|A为非空集合，且A不属于A，问：M是否属于M？罗素悖论不仅否定了庞加莱关于“完全的严格性已经达到”，而且干脆动摇了把集合论作为分析基础的信念！一个科学家不会遇到比这更尴尬的事情了，即在工
3、作完成的时候它的基础坍塌了。费雷格人们把集合论悖论的出现，和由此引起的争论称为第三次数学危机。2数学基础从20世纪起先，数学家们对数学基础绽开激烈的争论和不懈的探究。依据哲学观点的不同，分为以下3大派：逻辑主义费雷格和罗素直观主义布劳沃形式主义希尔伯特2.1逻辑主义逻辑主义认为算数理论不能看成是全部数学的最终基础，数学的牢靠基础是逻辑。（1）从少数的逻辑概念动身去定义全部、或大部分数学概念；（2）从少数的逻辑法则动身去演绎全部、或大部分数学理论。功绩：成功的将古代数学纳入到一个统一的公理系统，虽然这个系统不是纯逻辑的，但却是近代（现代）公理化方法发展中的一个重要起点。不足：隔离了数学与现实的关
4、系，企图没有实现，也不行能实现。2.2直观主义直观主义者认为数学的动身点不是集合论，而是自然数：（1）在无限观的问题上彻底接受潜无限，排斥实无限；例：拒绝无穷集合，集合论不是数学，而是玄学！（2）否定传统逻辑的普遍有效性，重新建立直观主义的逻辑规则。例：不允许将排中律用到无穷集合。否定用排中律得到的存在性定理就相当于全部放弃了数学的科学性。希尔伯特（3）批判古典数学，排斥非构造数学；例：不承认中值定理功绩：他们指出，数学上最重要的进展不是通过完善逻辑形式，而是通过变革其基本原理得到了，不是数学依靠逻辑，而是逻辑依靠数学；排中律的运用。不足：把古代数学搞的支离裂开！整个公理体系太少，使得数学的任
5、务“特别艰难”！最终失败了！2.3形式主义(1)逻辑和数学中的基本概念和公理系统都是一行行毫无意义的符号。数学是关于形式系统的科学。柯瑞（2）数学的真理性等价于系统的相容性，无冲突性是对数学系统的唯一要求。数学本身就是一堆形式系统，各自建立自己的逻辑，同时建立自己的数学；各有各的概念；各有各的公理系统；各有各的推到订立的法则，各有各的定理。把每个演绎系统发展起来，就是数学的任务！功绩：为数学家供应了创建随意数学结构的自由；使数学探讨从“实在”的舒适下解放了出来；利用新的数学基础，人们完全可以称之为证明论，我们将可以解决世界上全部的基础性问题。希尔伯特（1928年，国际数学家大会）不足：希尔伯特
6、认为能够解决相容性以及完备性问题。类比比公交车表示公理体系乘客表示数学内容逻辑主义直观主义形式主义赐予数学足予数学足够思索和思索和探探讨的空的空间！3哥德尔的不完全性定理1931年在数学物理月刊上发表了一篇题为论和有关系统中的形式不行判定命题的论文，作者哥德尔。它被认作数学和逻辑的基础方面的划时代文献。功绩：它摧毁了数学的全部重要领域能被完全公理化这一猛烈的信念！它扑灭了沿着希尔伯特曾设想的路途证明数学的内部相容性的全部希望！它是的人们不得不必需重新评价普遍认可的数学哲学！它把一个新的、强有力且丰富的分析级数引到了基础探讨中。皮亚诺关于自然数系建立的公设集不是完全的。哥德尔第确定理：对于包含自
7、然数系的任何相容的形式体系F，存在F中不行判定问题；即存在F中的命题S，使得S和非S都在F中不行证。例：哥德巴赫猜想，还没有被证明或推翻！是否有方法确定一个命题是否可推断呢？车敕定理：对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，不存在有效的方法，确定F中的哪些命题在F中是可证的。哥德尔其次定理：对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，F的相容性不能在F中证明。数学不再是精确论证的顶峰，不再是真理的化身，任何公理体系都有局限性。相容就不完备，完备确定有冲突！4二十世纪的数学发展数论：古典数论解析数论，代数数论，超越数论,模型式与模函数论代数学：线性代数群论,群表示论,李群,李代数,代数群,典型群,同
8、调代数,代数K理论,Kac-Moody代数,环论,代数,体,格,序结构.域论和多项式拓扑群矩阵论向量代数张量代数几何学：（整体，局部）微分几何,代数几何,流形上的分析,黎曼流形与洛仑兹流形,齐性空间与对称空间,调和映照,子流形理论,杨-米尔斯场与纤维丛理论,辛流形.凸几何与离散几何欧氏几何非欧几何解析几何拓扑学：微分拓扑,代数拓扑,低维流形,同伦论,奇点与突变理论,点集拓扑.流形和胞腔复形大范围分析,微分拓扑同调论复流形泛函分析：（非）线性泛函分析,算子理论,算子代数,差分与泛函方程,广义函数.变分法，积分变换积分方程微分方程：泛函微分方程,特征与谱理论及其反问题,定性理论,稳定性理论、分支理
9、论,混沌理论,奇摄动理论,动力系统,常微分方程非线性椭圆(和抛物)方程,偏微分方程,微局部分析与一般偏微分算子理论,调混合型及其它带奇性的方程,非线性发展方程和无穷维动力系统.20世纪诞生的数学：分形几何、混沌学、数学试验概率论的发展历史概率论起源于博弈问题。15-16世纪，意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中都曾探讨过俩人赌博的赌金安排等概率问题。1657年，荷兰数学家惠更斯发表了论赌博中的计算，这是最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念与定理，标记着概率论的诞生。而概率论最为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅格布，伯努利。他在遗著猜度术中首次提出了后来以“伯
10、努利定理”著称的极限定理，在概率论发展史上占有重要地位。18世纪-19世纪的概率论伯努利之后，法国数学家棣莫弗把概率论又作了巨大推动，他提出了概率乘法法则，正态分布和正态分布率的概念，并给出了概率论的一些重要结果。之后法国数学家蒲丰提出了著名的“普丰问题”，引进了几何概率。另外，拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步奠基性工作。特殊是拉普拉斯，他是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者，在1812年出版的概率的分析理论中，拉普拉斯以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，开拓了概率论发展的新时期。泊松则推广了大数定理，提出了著名的
11、泊松分布。19世纪-20世纪的概率论19世纪后期，极限理论的发展称为概率论探讨的中心课题，俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗拉普拉斯的极限定理。切比雪夫的成果后被其学生马尔可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程。19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行说明的须要，另一方面，科学家们在这一时期发觉的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的冲突与模糊之处。这些问题却猛烈要求对概率论的逻辑基础做出更加严格的考察19世纪-20世纪的概率论1933年，科尔莫戈罗夫出版了他的著作概率论基础，这是概率
12、论的一部经典性著作。其中，科尔莫戈罗夫给出了公理化概率论的一系列基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦可以从这六条公理动身建筑起来。科尔莫戈罗夫的公理体系渐渐得到数学家们的普遍认可。由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，并通过集合论与其它数学分支亲密地联系者。科尔莫戈罗夫是20世纪最杰出的数学家之一，他不仅仅是公理化概率论的建立者，在数学和力学的众多领域他都做出了开创或奠基性的贡献，同时，他还是精彩的教化家。由于概率论等其它很多领域的杰出贡献，科尔莫戈罗夫荣获80年的沃尔夫奖。古典概型几何概型统计概型概率空间的概念泛函分析概论十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。由于对欧几里得第五
13、公设的探讨，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思索，最终建立并发展了群论；对数学分析的探讨又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。这时候，函数概念被赐予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个随意集合之间的某种对应关系。由于分析学中很多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的很多概念和方法常常存在相像的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次靠近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相像。这种相像在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种状况有
14、关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言说明成多维空间的映像。这样，就显示出了分析和几何之间的相像的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最终把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。20世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的探讨。到了二十年头，在数学界已经渐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。探
15、讨无限维线性空间上的泛函和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年头，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。度量空间Banach空间Hilbert空间1.一样有界定理（共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。2.谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。3.罕-巴拿赫定理探讨了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。4.开映射定理和闭图像定理。泛函分析目前包括以下分支：软分析（softanalysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓
16、扑环和拓扑向量空间的语言表述。巴拿赫空间的几何结构，以JeanBourgain的一系列工作为代表。非交换几何，此方向的主要贡献者包括AlainConnes，其部分工作是以GeorgeMackey的遍历论中的结果为基础的。与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如依据IsraelGelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最终得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前探讨过的几何对象，也包括了不同的函数空间。泛函
17、分析对于探讨现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，事实上须要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的振动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。正如探讨有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，探讨无穷自由度的系统须要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去靠近非线性的对象，完全可以运
18、用到泛函分析这门学科中。泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点探讨无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年头就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所供应的素材来提取自己探讨的对象，和某些探讨手段，并形成了自己的很多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、限制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的
19、基本工具，也是探讨无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今日，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。总结特点一：任何数学分支都可以有自己的数学基础，即基本概念、公理等（只要没有冲突就可以）；特点二：二十世纪初，数学变得越来越抽象，使得当时的定理应用特别广泛；特点三：二十世纪中，数学的各个分支相互融合的趋势更加明显；特点四：我们当代的数学，探讨内容须要同时运用多种数学分支的技巧以及工具，数学与其他学科相互融合的趋势更加明显；特点五：计算机的独创，导致了计算数学的产生，数学理论应用与实践的时间大幅缩小。感感谢！