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1、2数据结构与算法2.1 算法2.1.1 算法(algorithm)基本概念对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中每一条指令表示一个或多个操作。它是一组严谨地定义运算依次的规则，并且每一个规则都是有效的，且是明确的，此依次将在有限的次数下终止。算法具有有穷性、确定性、可行性、输入和输出等个重要特性。2.1.2 算法的基本要素 1、对数据对象的运算和操作算术运算逻辑运算关系运算数据传输2、算法的限制结构算法中各操作之间的执行依次描述算法的工具通常有传统流程图、N-S结构化流程图、算法描述语言等一个算法一般可以用依次、选择、循环三种基本机构组合而成。2.1.3 算法设计基本方法列举法
2、归纳法递推递归（以简洁的形式设计和描述算法）减半递推技术回溯法2.2 算法困难度2.2.1 时间困难度 依据算法算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。通常有事后统计法和事前分析估算法。一个算法是由限制结构（依次、分支和循环）和原操作构成的，算法时间取决于两者的综合效果。算法中基本操作重复执行次数n和算法执行时间同步增长，称作算法的时间困难度。2.2.2 算法的空间困难度 一般是指执行这个算法所须要的内存空间一个算法所占用的存储空间包括算法程序所占的空间、输入的初始数据所占的存储空间以及某种数据结构所须要的附加存储空间 一个上机执行的程序除了须要存储空间来寄存本身所用指令、常数、变量
3、和输入数据外，也须要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些为实现计算所需信息的协助空间。例题讲解 算法的时间困难度是指（）A)执行算法程序所须要的时间 B)算法程序的长度C)算法执行过程中所须要的基本运算次数 D)算法程序中的指令条数算法的空间困难度是指（）A)算法程序的长度 B)算法程序中的指令条数 C)算法程序所占的存储空间 D)执行过程中所需的存储空间在计算机中，算法是指（）A)加工方法B)解题方案的精确而完整的描述 C)排序方法D)查询方法算法分析的目的是（）A)找出数据结构的合理性 B)找出算法中输入和输出之间的关系 C)分析算法的易懂性和牢靠性 D)分析算法的效率以求改进下列叙述中
4、正确的是（）A)算法的效率只与问题的规模有关，而与数据的存储结构无关。B)算法的时间困难度是指执行算法所需的计算工作量。C)数据的逻辑结构与存储结构是一一对应的。D)算法的时间困难度与空间困难度确定相关。算法的基本特征是可行性、确定性、（）输入、输出。2.2 数据结构数据结构的定义数据的逻辑结构和存储结构数据结构的图形表示线性结构与非线性结构数据结构是一门探讨数据组织、存储和运算的一般方法的学科。数据结构是一门探讨数据组织、存储和运算的一般方法的学科。数据结构是反映数据元素之间关系的数据元素集合的表示，即数据结构是反映数据元素之间关系的数据元素集合的表示，即数据的组织形式。数据的组织形式。数据
5、结构定义数据结构定义数据元素数据元素(Data Element)(Data Element)数据元素是数据的基本单位，即数据数据元素是数据的基本单位，即数据集合中的个体。集合中的个体。有时一个数据元数可由若干有时一个数据元数可由若干数据项数据项(Data Item)(Data Item)组成。数据项是数据的最小组成。数据项是数据的最小单位。单位。数据元素亦称数据元素亦称节点节点或或记录记录。数据结构主要探讨以下三个方面的问题：数据结构主要探讨以下三个方面的问题：数据的逻辑结构数据的逻辑结构数据的存储结构数据的存储结构对各种数据结构进行的运算对各种数据结构进行的运算 数据的逻辑结构数据的逻辑结构
6、是指反映数据元素之间逻辑关系的数据结构。两个要素 1）数据元素集合 2）数据元素之间的关系表示形式 B=(D,R)其中B表示一个数据结构 D表示数据元素集合 R表示数据元素之间的关系数据的存储结构数据的存储结构也称数据的物理结构，是数据的逻辑结构在计算机存储空间的存放形式。数据结构的存储方式：1.依次存储方法 2.链式存储方法 3.索引存储方法 4.散列存储方法数据结构的图形表示 数据结构的表示形式 1)二元关系表 2)图形 B=(D,R)D=1,2,3,4 R=(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)(3,4),(2,4)1423线性结构与非线性结构依据数据结构中各数据元素之间前后关系
7、的困难程度，将数据结构分为线性结构与非线性结构。线性结构定义：假如一个非空的数据结构满足下列两个条件：1.有且只有一个根节点 2.每个节点最多有一个干脆前驱，也最多有一个干脆后继。则称该数据结构为线性结构，又称线性表。在一个线性结构中插入或删除任何一个节点还应当是线性结构。例题例1:下列叙述正确的是（）（2007.9）A)程序执行的效率与数据的存储结构亲密相关 B）程序执行的效率只取决于程序的限制结构 C）程序执行的效率只取决于所处理的数据量 D）以上三种说法都不对例2数据结构分为线性结构和非线性结构，带链的队列属于_结构。(2006.9)2.3 线性表2.3.1 线性表的定义 线性表是线性表
8、是n个元素的有限序列，它们之间的关个元素的有限序列，它们之间的关系可以排成一个线性序列：系可以排成一个线性序列：a1，a2，ai，an其中其中n称作表的长度，当称作表的长度，当n=0时，称作空表。时，称作空表。线性表的特点：线性表的特点：1.线性表中全部元素的性质相同。线性表中全部元素的性质相同。2.除第一个和最终一个数据元素之外，其它数据除第一个和最终一个数据元素之外，其它数据元素有且仅有一个前驱和一个后继。第一个数据元素有且仅有一个前驱和一个后继。第一个数据元素无前驱，最终一个数据元素无后继。元素无前驱，最终一个数据元素无后继。3.数据元素在表中的位置只取决于它自身的序号。数据元素在表中的
9、位置只取决于它自身的序号。在线性表上常用的运算有：在线性表上常用的运算有：初始化、求长度、取元素、修改、初始化、求长度、取元素、修改、前插、删除、检索、排序。前插、删除、检索、排序。线性表及其依次存储结构线性表的依次存储结构 线性表的依次存储是指在内存中用地址连续的一块存储空间依次存放线性表的各元素。用这种存储形式存储的线性表称其为依次表。元素元素a an n.元素元素a ai i.元素元素a a2 2元素元素a a1 1bb+mb+(i-1)*mb+(maxlen-1)*m存储地址存储地址内存状态内存状态Loc(元素元素i)=b+（i-1)*m依次存储结构示意图依次存储结构示意图(依次表依次
10、表)：首地址首地址起始地址起始地址基地址基地址每个元素所占用每个元素所占用的存储单元个数的存储单元个数2.3.2 线性表的依次存储结构特点：特点：1、线性表中数据元素类型一样，只有数、线性表中数据元素类型一样，只有数据域，存储空间利用率高。据域，存储空间利用率高。2、全部元素所占的存储空间是连续的、全部元素所占的存储空间是连续的 3、各数据元素在存储空间中是按逻辑依、各数据元素在存储空间中是按逻辑依次依次存放的次依次存放的 2.做插入、删除时需移动大量元素。做插入、删除时需移动大量元素。3.空间估计不明时，按最大空间安排。空间估计不明时，按最大空间安排。元素元素a a1 1元素元素a a2 2
11、.元素元素a ai+1i+1.01i线线性性表表的的依依次次存存储储结结构构可可用用C语语言言中中的的一一维维数数组来描述组来描述.intVM;/*V是是数数组组的的名名字字，M是是数数组组大大小小，假设数组中的元素是整型类型假设数组中的元素是整型类型*/第第i个元素的个元素的ai存储地址：存储地址：Loc(ai)=Loc(a1)+(i-1)*kVVViViVm-1Vm-1.a2a1an.ai+1ai01i-1in-11-1插入运算插入运算ai-1.a2a1alength ai+1aix ai-1.a2 a1 ai ai+1 alengthalength ai+1 aix.a2a1an.ai+
12、1ai01i-1in-11-2删除删除运算运算ai-1.a2a1alength ai+1aix ai-1.a2 a1 ai alengthalength aix 插入算法的分析 假设线性表中含有n个数据元素，在进行插入操作时，若假定在n+1个位置上插入元素的可能性均等，则平均移动元素的个数为：删除算法的分析 在进行删除操作时，若假定删除每个元素的可能性均等，则平均移动元素的个数为：分析结论 依次存储结构表示的线性表，在做插入或删除操作时，平均须要移动大约一半的数据元素。当线性表的数据元素量较大，并且常常要对其做插入或删除操作时，这一点须要值得考虑。例题讲解链表不具有的特点是不必事先估计存储空间
13、 可随机访问任一元素C)插入删除不须要移动元素D)所需空间与线性表长度成正比数据结构分为逻辑结构与存储结构，线性链表属于 【1】。数据的逻辑结构有线性结构和【1】两大类。依次存储方法是把逻辑上相邻的结点存储在物理位置【2】的存储单元中。数据处理的最小单位是 A)数据 B)数据元素 C)数据项D)数据结构数据结构作为计算机的一门学科，主要探讨数据的逻辑结构、对各种数据结构进行的运算，以及 A)数据的存储结构 B)计算方法 C)数据映象 D)逻辑存储线性表的依次存储结构和线性表的链式存储结构分别是 A)依次存取的存储结构、依次存取的存储结构 B)随机存取的存储结构、依次存取的存储结构 C)随机存取
14、的存储结构、随机存取的存储结构 D)随意存取的存储结构、随意存取的存储结构 依据数据结构中各数据元素之间前后件关系的困难程度，一般将数据结构分成 A)动态结构和静态结构 B)紧凑结构和非紧凑结构 C)线性结构和非线性结构 D)内部结构和外部结构 数据结构包括数据的逻辑结构、数据的【2】以及对数据的操作运算。数据的基本单位是【5】。下列叙述中，错误的是 A)数据的存储结构与数据处理的效率亲密相关 B)数据的存储结构与数据处理的效率无关 C)数据的存储结构在计算机中所占的空间不确定是连续的 D)一种数据的逻辑结构可以有多种存储结构数据的存储结构是指A）数据所占的存储空间B）数据的逻辑结构在计算机中
15、的表示C）数据在计算机中的依次存储方式D）存储在外存中的数据 链表不具有的特点是A)不必事先估计存储空间 B)可随机访问任一元素C)插入删除不须要移动元素D)所需空间与线性表长度成正比依次存储方法是把逻辑上相邻的结点存储在物理位置【2】的存储单元中。长度为n的依次存储线性表中，当在任何位置上插入一个元素概率都相等时，插入一个元素所需移动元素的平均个数为【1】。线性表L=(a1,a2,a3,ai，an)，下列说法正确的是 A)每个元素都有一个干脆前驱和干脆后继 B)线性表中至少要有一个元素 C)表中诸元素的排列依次必需是由小到大或由大到小 D)除第一个元素和最终一个元素外，其余每个元素都有一个且
16、只有一个干脆前驱和干脆后继线性表的依次存储结构和线性表的链式存储结构分别是 A)依次存取的存储结构、依次存取的存储结构 B)随机存取的存储结构、依次存取的存储结构 C)随机存取的存储结构、随机存取的存储结构 D)随意存取的存储结构、随意存取的存储结构 依据数据结构中各数据元素之间前后件关系的困难程度，一般将数据结构分成 A)动态结构和静态结构 B)紧凑结构和非紧凑结构 C)线性结构和非线性结构 D)内部结构和外部结构当线性表接受依次存储结构实现存储时，其主要特点是【1】。线性表若接受链式存储结构时，要求内存中可用存储单元的地址 A)必需是连续的 B)部分地址必需是连续的 C)确定是不连续的 D
17、)连续不连续都可以下列叙述中，错误的是 A)数据的存储结构与数据处理的效率亲密相关 B)数据的存储结构与数据处理的效率无关 C)数据的存储结构在计算机中所占的空间不确定是连续的 D)一种数据的逻辑结构可以有多种存储结构 2.4 栈和队列2.4.1 栈和队列的定义 栈和队列是两种特殊的线性表，它们是运算时要受到某些限制的线性表，故也称为限定性的数据结构。2.4.1.12.4.1.1栈的定义栈的定义栈栈：限限定定只只能能在在表表的的一一端端进进行行插插入入和和删删除除的的特殊的线性表特殊的线性表,此种结构称为后进先出此种结构称为后进先出设设栈栈s=s=（a1a1，a2a2，.,ai,ai，.，an
18、an），），其中其中a1a1是栈底元素，是栈底元素，an an是栈顶元素。是栈顶元素。栈顶（栈顶（top)top)：允许插入和删除的一端；：允许插入和删除的一端；约定约定toptop始终指向新数据元素将存放的位置。始终指向新数据元素将存放的位置。栈底（栈底（bottom):bottom):不允许插入和删除的一端。不允许插入和删除的一端。a1 a2 .an进栈进栈出栈出栈栈顶栈顶栈底栈底队列的主要运算队列的主要运算（1）设置一个空队列；）设置一个空队列；（2）插入一个新的队尾元素，称为进队；）插入一个新的队尾元素，称为进队；（3）删除队头元素，称为出队；）删除队头元素，称为出队；（4）读取队头元
19、素；）读取队头元素；2.4.1.2队列的定义队列的定义定义：一种特殊的线性结构，限定只能在表的一端进行插入，在定义：一种特殊的线性结构，限定只能在表的一端进行插入，在表的另一端进行删除的线性表表的另一端进行删除的线性表。此种结构称为先进先出（。此种结构称为先进先出（FIFO）表。表。a1,a2,a3,a4,an-1,an 队 列 示 意 图队头队尾2.4.2 栈的依次存储结构及其基本运算栈的依次存储结构及其基本运算 a2 a1 a1 a2 top 用依次存储结构表示的栈。用依次存储结构表示的栈。依依次次栈栈用用一一组组连连续续的的存存储储单单元元存存放放自自栈栈底底到到栈栈顶顶的的数数据据元元
20、素素，一一般般用用一一维维数数组组表表示示，设设置置一一个个简简洁洁变变量量top指指示示栈栈顶顶位位置置，称称为为栈顶指针，它始终指向待插入元素的位置。栈顶指针，它始终指向待插入元素的位置。基本运算：压（进）栈：PUSH出栈：POP 3210 (a)rear=front=-1(队空）队空）e3 e4 (c)(c)e1,e2出队，出队，e4入队入队 队队满满rear=4front e1 e2 e3 (b)rearfront(b)e1,e2,e3入入队队队空时，队空时，令令rear=front=-1，当有当有新元素入队时，尾指针加新元素入队时，尾指针加1，当有元，当有元素出队时，头指针加素出队时
21、，头指针加1。故在非空队。故在非空队列中，列中，头指针头指针始终指向始终指向队头元素前一队头元素前一个位置个位置，而，而尾指针尾指针始终指向始终指向队尾元素队尾元素的位置的位置2.4.3 队列的依次存储结构及其基本运算队列的依次存储结构及其基本运算例题讲解栈和队列的共同特点是 A)都是先进先出 B)都是先进后出 C)只允许在端点处插入和删除元素 D)没有共同点假如进栈序列为e1,e2,e3,e4，则可能的出栈序列是 A)e3,e1,e4,e2 B)e2,e4,e3,e1 C)e3,e4,e1,e2D)随意依次一些重要的程序语言(如C语言和Pascal语言)允许过程的递归调用。而实现递归调用中的
22、存储安排通常用 A)栈B)堆 C)数组 D)链表栈底至栈顶依次存放元素A、B、C、D，在第五个元素E入栈前，栈中元素可以出栈，则出栈序列可能是 A)ABCED B)DCBEA C)DBCEA D)CDABE 栈通常接受的两种存储结构是 A)线性存储结构和链表存储结构 B)散列方式和索引方式 C)链表存储结构和数组 D)线性存储结构和非线性存储结构栈和队列通常接受的存储结构是【1】。下列数据结构中，按先进后出原则组织数据的是 A)线性链表 B)栈 C)循环链表 D)依次表由两个栈共享一个存储空间的好处是 A)削减存取时间，降低下溢发生的机率 B)节约存储空间，降低上溢发生的机率 C)削减存取时间
23、，降低上溢发生的机率 D)节约存储空间，降低下溢发生的机率下列关于栈的叙述中正确的是）在栈中只能插入数据 B）在栈中只能删除数据C）栈是先进先出的线性表 D）栈是后进先出的线性表下列关于队列的叙述中正确的是）在队列中只能插入数据 B）在队列中只能删除数据C）队列是先进先出的线性表 D）队列是后进先出的线性表2.5 链表线性单链表双向链表循环链表结构及其基本运算结构及其基本运算2.5.1线性表的链式存储结构线性表的链式存储结构将将线线性性表表的的元元素素放放到到一一个个具具有有头头指指针针的的链链表表中中，链链表中每个结点包含数据域和指针域。表中每个结点包含数据域和指针域。数数据据域域存存放放数
24、数据据，指指针针域域存存放放后后继继结结点点的的地地址址，最最终终一一个个结结点点的的指指针针域域为为空空。逻逻辑辑上上相相邻邻的的数数据据元元素素在在内存中的物理存储空间不确定相邻。内存中的物理存储空间不确定相邻。上图的线性表为上图的线性表为ZHAO，QIAN，SUN，LI，ZHOU，WU，ZHENG，WANG线性链表表示法线性链表表示法:链式存储结构的特点链式存储结构的特点 插插入入、删删除除敏敏捷捷便便利利，不不须须要要移移动动结结点点，只只要要变变更结点中指针域的值即可。更结点中指针域的值即可。适适合合于于线线性性表表是是动动态态变变更更的的,不不进进行行频频繁繁查查找找操操作作、但常
25、常进行插入删除时运用。但常常进行插入删除时运用。链表的查找只能从头指针起先依次查找。链表的查找只能从头指针起先依次查找。a1a2ana3L.线性表的链式存储结构可用线性表的链式存储结构可用C语言中的语言中的“结构指针结构指针”来描述来描述带头结点的线性链表带头结点的线性链表datanexttypedefstructLNodeintdata;StructLNode*next;JD;babaxPP单链表的插入运算单链表的插入运算S在在P所指向的结点之后插入新的结点所指向的结点之后插入新的结点babaxanaia1a2PPai-1xL单链表的插入运算单链表的插入运算Sai-1a1aiai+1Lp单链
26、表的删除运算单链表的删除运算ai-1a1aiai+1Lpq删除删除p指针指向结点的后一个结点指针指向结点的后一个结点1.q指向指向p的后继结点的后继结点 2.2.修改修改p结点的指针域结点的指针域 3.3.删除并释放结点删除并释放结点ai-1a1aiai+1Lpqvoidlbsc(JD*p)/*删除删除p指针指向结点的后一个结点指针指向结点的后一个结点*/JD*q;if(p-next!=NULL)q=p-next;/*q指向指向p的后继结点的后继结点*/p-next=q-next;/*修改修改p结点的指针域结点的指针域*/free(q);/*删除并释放结点删除并释放结点*/单链表的删除运算单链
27、表的删除运算线性链表的查找操作：线性链表的查找操作：设设无无表表头头结结点点的的线线性性链链表表的的头头指指针针为为h,沿沿着着链链表表的的起起先先往往后后找找结结点点x，若若找找到到，则则返返回回该该结结点点在在链链表表中中的的位位置置，否则返回空地址。否则返回空地址。JD*lbcz(JD*h,intx)JD*p;p=h;while(p!=NULL&p-data!=x)p=p-next;return(p);2.5.2循环链表循环链表:首尾相接的链表。首尾相接的链表。将将最最终终一一个个结结点点的的空空指指针针改改为为指指向向头头结结点点，从从任一结点动身均可找到其它结点。任一结点动身均可找到
28、其它结点。a1a2ana3L.带头结点的单链表带头结点的单链表a1a2ana3L.循环单链表循环单链表2.5.3双向链表双向链表在在每每个个结结点点中中设设置置两两个个指指针针，一一个个指指向向后后继继，一一个个指指向向前前驱驱。可可干干脆脆确确定定一一个个结结点点的的前前驱驱和后继结点。可提高效率。和后继结点。可提高效率。datanextbefore例题讲解用链表表示线性表的优点是 A)便于随机存取 B)花费的存储空间较依次存储少 C)便于插入和删除操作 D)数据元素的物理依次与逻辑依次相同在单链表中，增加头结点的目的是 A)便利运算的实现 B)使单链表至少有一个结点 C)标识表结点中首结点
29、的位置 D)说明单链表是线性表的链式存储实现非空的循环单链表head的尾结点(由p所指向)，满足 A)p-next=NULLB)p=NULL C)p-next=head D)p=head 循环链表的主要优点是 A)不再须要头指针了 B)从表中任一结点动身都能访问到整个链表 C)在进行插入、删除运算时，能更好的保证链表不断开 D)已知某个结点的位置后，能够简洁的找到它的干脆前件2.6 树树的基本概念二叉树的定义及其存储结构二叉树的前序、中序和后序遍历2.6.1 树的定义树的定义 由一个或多个结点组成的有限集合由一个或多个结点组成的有限集合。仅有一个根结点，结仅有一个根结点，结点间有明显的层次结构
30、关系。点间有明显的层次结构关系。ACGT2DHIT3JMBELKT1F现实世界中，能用树的结构表示的例子：现实世界中，能用树的结构表示的例子：学学校校的的行行政政关关系系、书书的的层层次次结结构构、人人类类的的家家族族血血缘缘关关系等。系等。介绍几个概念：介绍几个概念：结结点点（Node）：树树中中的的元元素素，包包含含数数据据项项及及若若干干指指向向其其子树的分支。子树的分支。结点的度（结点的度（Degree）：结点拥有的子树数。）：结点拥有的子树数。结点的层次：从根结点起先算起，根为第一层。结点的层次：从根结点起先算起，根为第一层。叶子（叶子（Leaf）：度为零的结点，也称端结点。）：度为
31、零的结点，也称端结点。孩子（孩子（Child）：结点子树的根称为该结点的孩子结点。）：结点子树的根称为该结点的孩子结点。兄弟（兄弟（Sibling）：同一双亲的孩子。）：同一双亲的孩子。双双亲亲（Parent）：孩孩子子结结点点的的上上层层结结点点，称称为为这这些些结结点点的的双亲。双亲。深度（深度（Depth)：树中结点的最大层次数。树中结点的最大层次数。森林（森林（Forest）：）：M棵互不相交的树的集合。棵互不相交的树的集合。ACGT2DHIT3JMBELKT1F2.6.2 二叉树二叉树（Binary Tree）1、二叉树的定义及其性质、二叉树的定义及其性质 (1)二叉树的定义二叉树的
32、定义二叉树的五种基本形态二叉树的五种基本形态二二叉叉树树一一种种特特殊殊的的树树型型结结构构，特特点点是是树树中中每每个个结结点点只只有有两两棵棵子树，且子树有左右之分，次序不能颠倒。子树，且子树有左右之分，次序不能颠倒。空二叉树空二叉树仅有仅有根结点根结点右子树右子树为空为空左子树左子树为空为空左右子树左右子树均非空均非空因因为为树树的的每每个个结结点点的的度度不不同同，存存储储困困难难，使使对对树树的的处处理理算算法法很困难。所以引出二叉树的探讨。很困难。所以引出二叉树的探讨。二叉数是二叉数是n(nn(n 0)0)个结点的有限集合。它或为空个结点的有限集合。它或为空数数(n=0),(n=0
33、),或由一个根结点和两棵分别称为根的左子或由一个根结点和两棵分别称为根的左子树和右子树的互不相交的二叉树组成。树和右子树的互不相交的二叉树组成。特殊要留意：二叉数不是树的特殊状况。特殊要留意：二叉数不是树的特殊状况。a aa ab bb b两棵不同的二叉数两棵不同的二叉数A、二叉树的第i层上至多有2 i-1（i 1）个结点。(2)二叉树的基本性质二叉树的基本性质423167891011121314155第三层上第三层上(i=3)(i=3)，有，有2 23-13-1=4=4个节点。个节点。第四层上第四层上(i=4)(i=4)，有，有2 24-14-1=8=8个节点。个节点。A、二叉树的第i层上至
34、多有2 i-1（i 1）个结点。B、深度为h的二叉树中至多含有2h-1个结点。(2)二叉树的基本性质二叉树的基本性质423167891011121314155此树的深度此树的深度h=4h=4，共有，共有2 24 4-1=15-1=15个节点。个节点。A、二叉树的第i层上至多有2 i-1（i 1）个结点。B、深度为h的二叉树中至多含有2h-1个结点。C、若在随意一棵二叉树中，有n0个叶子结点，有n2个度为2的结点，则：n0=n2+1(2)二叉树的基本性质二叉树的基本性质423167891011121314155n n0 0=8=8n n2 2=7=7（3）满二叉树）满二叉树42316789101
35、1121314155特点：每一层上都含有最大结点数。特点：每一层上都含有最大结点数。4231678910 11125 非完全二叉树非完全二叉树（4）完全二叉树4231678910 11125 完全二叉树完全二叉树特点：除最终一层外，每一层都取最大结点数，特点：除最终一层外，每一层都取最大结点数，最终一层结点都集中在该层最左边的若干位置。最终一层结点都集中在该层最左边的若干位置。2、二叉树的存储结构、二叉树的存储结构(2)链式存储结构链式存储结构T16若父结点在数组中若父结点在数组中i下标处，其左孩子在下标处，其左孩子在2*i处，右孩子在处，右孩子在2*i+1处。处。11ABcFED12 4 8
36、 910563712131415(1)依次存储结依次存储结构构(1)依次存储结依次存储结构构2h-1=24-1=15用用一一组组连连续续的的存存储储单单元元存存放放二二叉叉树树的的数数据据元元素素。结结点点在在数数组组中中的的相相对对位置蕴含着结点之间的关系。位置蕴含着结点之间的关系。0000FE000DC0BA15141312111098765432100一般二叉树必需按完全二叉树的形式存储，将造成存储的奢侈。一般二叉树必需按完全二叉树的形式存储，将造成存储的奢侈。2.6.3二叉树的遍历二叉树的遍历查查找找某某个个结结点点，或或对对二二叉叉树树中中全全部部结结点点进进行行某某种种处理，就须要
37、遍历。处理，就须要遍历。（1）遍历定义及遍历算法）遍历定义及遍历算法遍遍历历是是指指按按某某条条搜搜寻寻路路途途寻寻访访树树中中每每个个结结点点，且且每个结点只被访问一次。每个结点只被访问一次。按先左后右的原则，一般运用三种遍历：按先左后右的原则，一般运用三种遍历：先序遍历先序遍历(DLR):访访问问根根结结点点，按按先先序序遍遍历历左左子子树树，按按先先序序遍遍历右子树。历右子树。中序遍历中序遍历(LDR):按按中中序序遍遍历历左左子子树树，访访问问根根结结点点，按按中中序序遍遍历历右子树。右子树。后序遍历后序遍历(LRD):按按后后序序遍遍历历左左子子树树，按按后后序序遍遍历历右右子子树树
38、，访访问问根结点。根结点。二二叉叉树树为为空空时时，执执行行空空操操作作，即即空空二二叉叉树树已已遍遍历完。历完。（2）遍历算法）遍历算法先序遍历：先序遍历：DLR中序遍历：中序遍历：LDR后序遍历：后序遍历：LRDADBCT1T2T3DLRADLRDLRBDCDLR以先序遍历以先序遍历D L RD L R为例演示遍历过程为例演示遍历过程 ABDCBDACDBCA例题讲解在深度为7的满二叉树中，叶子结点的个数为（）(2006.4)A)32 B)31 C)64 D)63某二叉树有n个度为2的结点，则该二叉树中的叶子节点数为（）(2007.4)A)n+1 B)n-1 C)2nD)n/2具有3个结点
39、的二叉树有 A)2种形态 B)4种形态 C)7种形态 D)5种形态 设有下列二叉树：对此二叉树前序遍历的结果为A)ZBTTCPXA B)ATBZXCTP C)ZBTACTXP D)ATBZXCPT设一棵二叉树中有3个叶子结点，有8个度为1的结点，则该二叉树中总的结点数为()A)12 B)13 C)14D)15 设有下列二叉树：对此二叉树的中序遍历的结果为A)ABCDEF B)DBEAFC C)ABDECF D)DEBFCA2.7 查找和排序依次查找与二分查找算法基本排序算法（交换类排序、选择类排序、插入类排序）2.7.1 查找查找是在一个给定的数据结构中，依据给定的条件查找满足条件的结点。不同
40、的数据结构接受不同的查找方法。查找的效率干脆影响数据处理的效率。查找的结果：查找成功：找到满足条件的结点查找失败：找不到满足条件的结点。2.7.1.1 依次查找（线性查找）查找过程：查找过程：对给定的一关键字对给定的一关键字K，从线性表的一端起先，逐个进，从线性表的一端起先，逐个进行记录的关键字和行记录的关键字和K的比较，直到找到关键字等于的比较，直到找到关键字等于K的记录的记录或到达表的另一端。或到达表的另一端。可以接受从前向后查，也可接受从后向前查的方法。可以接受从前向后查，也可接受从后向前查的方法。在平均状况下，大约要与表中一半以上元素进行比较，在平均状况下，大约要与表中一半以上元素进行
41、比较，效率较低。平均查找长度较大。效率较低。平均查找长度较大。在下面两种状况下只能实行依次查找：在下面两种状况下只能实行依次查找：a.线性表为无序表（元素排列是无序的）；线性表为无序表（元素排列是无序的）；b.即使是有序线性表，但接受的是链式存储结构。即使是有序线性表，但接受的是链式存储结构。2.7.1.2 折半查找（二分法查找）折半查找（二分法查找）思想：先确定待查找记录所在的范围，然后逐步缩思想：先确定待查找记录所在的范围，然后逐步缩小范围，直到找到或确认找不到该记录为止。小范围，直到找到或确认找不到该记录为止。前提：必需在具有依次存储结构的有序表中进行。前提：必需在具有依次存储结构的有序
42、表中进行。分三种状况：分三种状况：1）若中间项的值等于）若中间项的值等于x,则说明已查到。则说明已查到。2）若）若x小于中间项的值，则在线性表的前半部分查小于中间项的值，则在线性表的前半部分查找；找；3）若）若x大于中间项的值，则在线性表的后半部分查大于中间项的值，则在线性表的后半部分查找。找。特点：比依次查找方法效率高。最坏的状况下，须特点：比依次查找方法效率高。最坏的状况下，须要比较要比较 log2n次。次。查找查找23和和79的过程如下图：的过程如下图：mid=(low+high)/2不进位取整不进位取整(08,14,23,37,46,55,68,79,91)(08,14,23,37,4
43、6,55,68,79,91)lowhighmid(08,14,23,37,46,55,68,79,91)lowhigh=mid-1mid(08,14,23,37,46,55,68,79,91)low=mid+1highmid(08,14,23,37,46,55,68,79,91)lowhighmid(08,14,23,37,46,55,68,79,91)lowhighmid(08,14,23,37,46,55,68,79,91)lowhighmid2.7.2 排序排序2.7.2.1概述概述1、排序的功能：将一个数据元素（或记、排序的功能：将一个数据元素（或记录）的随意序列，重新排成一个按关键录
44、）的随意序列，重新排成一个按关键字有序的序列。字有序的序列。2、排序过程的组成步骤：、排序过程的组成步骤：首先比较两个关键字的大小；首先比较两个关键字的大小；然后将记录从一个位置移动到另一个位然后将记录从一个位置移动到另一个位置。置。排序方法排序方法插入排序插入排序选择排序选择排序交换排序交换排序归并排序归并排序干脆插入排序干脆插入排序折半插入排序折半插入排序简洁选择排序简洁选择排序堆排序堆排序起泡排序起泡排序快速排序快速排序2.7.2.2插入排序插入排序干脆插入、折半插入干脆插入、折半插入1、干脆插入排序、干脆插入排序:基本思想：从数组的第基本思想：从数组的第2号元素起先，依号元素起先，依次
45、从数组中取出元素，并将该元素插入到次从数组中取出元素，并将该元素插入到其左端已排好序的数组的适当位置上。其左端已排好序的数组的适当位置上。须要须要n(n-1)/2次比较次比较该该算算法法适适合合于于n较较小小的的状状况况，时时间间困困难度为难度为O(n2).待排元素序列：待排元素序列：532736156942第一次排序：第一次排序：275336156942其次次排序：其次次排序：273653156942第三次排序：第三次排序：152736536942第四次排序：第四次排序：152736536942第五次排序：第五次排序：152736425369干脆插入排序示例干脆插入排序示例对于有对于有n个数
46、个数据元素的待排据元素的待排序列，插入操序列，插入操作要进行作要进行n-1次次2、折半插入排序、折半插入排序折半插入排序在找寻插入位置时，不折半插入排序在找寻插入位置时，不是逐个比较而是利用折半查找的原理找寻是逐个比较而是利用折半查找的原理找寻插入位置插入位置。待排序元素越多，改进效果越。待排序元素越多，改进效果越明显。明显。折半插入排序折半插入排序的条件：的条件：在有序序列中插入一个关键字。在有序序列中插入一个关键字。例：有例：有6个记录，前个记录，前5个已排序的基础上，对第个已排序的基础上，对第6个记录排序。个记录排序。152736536942 low mid high1527365369
47、42 low high mid152736536942 high low152736425369(high36)(4253)1、简洁选择排序、简洁选择排序思想：首先从思想：首先从1n个元素中选出关键字最小的记录交个元素中选出关键字最小的记录交换到第一个位置上。然后再从第换到第一个位置上。然后再从第2个到第个到第n个元素中个元素中选出次小的记录交换到其次个位置上，依次类推。选出次小的记录交换到其次个位置上，依次类推。时间困难度为时间困难度为O(n2)，最坏状况下须要比较，最坏状况下须要比较n(n-1)/2次次适用于待排序元素较少的状况。适用于待排序元素较少的状况。2.7.2.3选择排序选择排序简
48、洁选择排序、简洁选择排序、堆排序堆排序初态初态83916839168391683916ijkijkijkijk13986互换互换ijk13986ikj13986ikj第第一一趟趟第第二二趟趟13986i kj第第三三趟趟2堆堆排排序序也也是是一一种种选选择择排排序序。是是具具有有特特定定条条件件的的依依次次存存储储的的完完全全二二叉叉树树，其其特特定定条条件件是是：任任何何一一个个非非叶叶子子结结点点的的关关键键字字大于等于（或小于等于）子女的关键字的值。大于等于（或小于等于）子女的关键字的值。(1)堆的示例堆的示例897624331510112536497856(a):堆顶元素取最大值堆顶元
49、素取最大值(b):堆顶元素取最小堆顶元素取最小值值(2)实现堆排序需解决两个问题：实现堆排序需解决两个问题：（1）如何由一个无序序列建成一个堆？如何由一个无序序列建成一个堆？（2）输出堆顶元素后，如何将剩余元素调整成一个新的堆？输出堆顶元素后，如何将剩余元素调整成一个新的堆？堆排序须要比较的堆排序须要比较的次数为次数为O(nlog2n)2.7.2.4交交换换排排序序交换排序的特点在于交换。有冒泡和快速排序两种。交换排序的特点在于交换。有冒泡和快速排序两种。1、冒泡排序（起泡排序）、冒泡排序（起泡排序）思想：小的浮起，大的沉底。从左端起先比较。思想：小的浮起，大的沉底。从左端起先比较。第一趟：第
50、第一趟：第1个与第个与第2个比较，大则交换；第个比较，大则交换；第2个与第个与第3个个比较，比较，大则交换，大则交换，关键字最大的记录交换到最终一个关键字最大的记录交换到最终一个位置上；位置上；其次趟：对前其次趟：对前n-1个记录进行同样的操作，关键字次大的个记录进行同样的操作，关键字次大的记录交换记录交换到第到第n-1个位置上；个位置上；依次类推，则完成排序。依次类推，则完成排序。正序：时间困难度为正序：时间困难度为O(n)逆序：时间困难度为逆序：时间困难度为O(n2)适合于数据较少的状况。适合于数据较少的状况。排序排序n个记录的文件最多须要个记录的文件最多须要n-1趟冒泡排序。趟冒泡排序。