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1、其次章其次章 场论和张量初步场论和张量初步21 矢量和标量的区分矢量和标量的区分一、概念的区分一、概念的区分在选定测量单位以后，仅需用数字表示大小的量叫标量；在选定测量单位后，除用数字表示其大小外，还需用确定的方向才能说明性质，叫矢量。二、运算法则区分二、运算法则区分标量运算听从代数运算法则。矢量的运算要遵循平行四边形法则或三角形法则。矢量常用带有箭头的直线段表示。线段的长度代表矢量大小，箭头代表矢量的方向。三、正负号区分三、正负号区分 矢量正负号：在选定一个正方向的前提下，矢量的正负号实质上表示矢量的方向。若矢量为正，表示该矢量跟选定正方向相同；矢量为负表示跟选定正方向相反。标量正负号：虽然
2、标量无方向，但有的标量也存在正、负号问题。标量常见的有以下几种类型：表示相对零点大小的正负号，如重力势能、电势能、电势、分子势能、摄氏温度等这些物理量，它们的正负号，常表示大小的意义。表示相反的物理过程的正负号，例如功、热量、动能增量、势能增量、内能增量和机械能增量等过程物理量，它们的正负号就表示某一物理过程，即能量增加（或减小）过程。表示物体特性的正负号，如电量、透镜焦距、像距等物理量的正负号，表示物体的特性。如电量q0表示带正电，否则带负电；f0表示该镜是凸透镜，否则是凹透镜；像距v0，表示成实像，否则成虚像。四、矢量表达式与标量表达式的区分四、矢量表达式与标量表达式的区分矢量可接受有向线
3、段、文字、单位矢量、重量表示等多种方式来描述。在标量表达式如动能定理、机械能守恒、功能关系、透镜成像公式等中，计算时只需干脆将物理量即大小及正负号代入公式计算即可。五、矢量的运算五、矢量的运算2数量积标量标量3矢量积大小大小其矢量表达式其矢量表达式方向用右手规则确定方向用右手规则确定1求和与差作图法 遵循平行四边形法则和 重量法222 2 场的定义、分类及几何表示场的定义、分类及几何表示一、场的定义一、场的定义设在空间的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。二、场的分类二、场的分类1、依据所定义的函数、依据所定义的函数标量场：标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用
4、一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。矢量场：矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。2、依据场内同一时刻各点函数值是否相等、依据场内同一时刻各点函数值是否相等匀整场：定常场：非匀整场：3、依据场内函数值是否依靠于时间、依据场内函数值是否依靠于时间 非定常场：三、场的几何表示三、场的几何表示1、标量场的几何表示、标量场的几何表示空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面。空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面。其特点：（其特点：（1）疏密程
5、度看出标量函数的变）疏密程度看出标量函数的变 化状况，靠得近的地方函数变更化状况，靠得近的地方函数变更 得快。得快。（2）函数值的变更主要在等值面的法线方向，沿等值面的切线方向移动）函数值的变更主要在等值面的法线方向，沿等值面的切线方向移动 时函数值并不变更。时函数值并不变更。大小和方向随空间坐标而变的场大小和方向与坐标无关的场被称为匀整场 等温线等温线 温度云图温度云图 2 2、矢量场的几何表示、矢量场的几何表示用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为 矢量线。223 3 梯度梯度标量场不匀整性的度量标量场不匀整性的度量一、方向导数一、方向导数给定一标量场给定一标量场 在某一固定时刻在
6、某一固定时刻tt0研究标量场研究标量场。M1MMns过过M点可以作无穷多个方向，每个方向点可以作无穷多个方向，每个方向都有对应的方向导数，且都可以用过都有对应的方向导数，且都可以用过M点的等位面法线方向点的等位面法线方向n上的方向导数上的方向导数 及方向及方向n，s来表示。来表示。我们不仅要知道函数在坐标轴方向上的变更率（即偏导数），而且还要设法求我们不仅要知道函数在坐标轴方向上的变更率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变更率。而方向导数就是函数在其他特定方向上的得函数在其他特定方向上的变更率。而方向导数就是函数在其他特定方向上的变更率变更率证明：过M点作等位面M1MMns由
7、此可证，二、梯度二、梯度大小为 方向为n的矢量称为标量函数的梯度。梯度描写了梯度描写了M点邻域内函数的变更状况，是标量场不匀整性的点邻域内函数的变更状况，是标量场不匀整性的量度。量度。在直角坐标系中的表达式为：三、梯度的主要性质三、梯度的主要性质1、梯度描写了场内任一点M邻域内函数的变更状况，它是标量场不匀整性的量度；2、梯度、梯度的方向与等位面的法线方向重合，且指向函数增大的的方向与等位面的法线方向重合，且指向函数增大的方向，大小是方向，大小是n方向上的方向导数方向上的方向导数 ；3、梯度矢量、梯度矢量在任一方向在任一方向s上的投影等于该方向的方向导数；上的投影等于该方向的方向导数；4、梯度
8、的方向，即等位面的法线方向是函数变更最快的方向。、梯度的方向，即等位面的法线方向是函数变更最快的方向。定理定理1 梯度梯度 满足关系式满足关系式反之，若反之，若 ，则，则a必为必为 。定理定理2 若 ，且，且 矢径矢径r的单值函数，则的单值函数，则沿任一封闭曲线沿任一封闭曲线L的线积分满足关系式的线积分满足关系式反之，若反之，若矢量矢量a沿任一封闭曲线沿任一封闭曲线L的线积分的线积分，则则a必必为为某一标量函数的梯度，即某一标量函数的梯度，即例例 题题:计算仅与矢径大小计算仅与矢径大小r有关的标量函数有关的标量函数 的梯度的梯度 。(1)利用性质利用性质,标量函数标量函数 的等位面是以坐标原点
9、为心的的等位面是以坐标原点为心的球面，而球面的法线方向，即矢径球面，而球面的法线方向，即矢径r的方向，故的方向，故 的方的方向就是矢径向就是矢径r的方向；其次的方向；其次 的大小是的大小是于是(2)表示成重量形式：表示成重量形式：因故于是(3)利用定理1，微分即于是依据定理1可推出位势场位势场位势函数位势函数223 3矢量矢量a a通过通过S S的通量的通量 矢量矢量a的散的散度度 奥高定理奥高定理一、通量一、通量an代表矢量代表矢量a在法线方向的投影。在法线方向的投影。矢量矢量a通过面积元通过面积元dS的通量。的通量。矢量矢量a通过通过S面的通量。面的通量。通量，是表示物质分子移动量的大小，
10、指某种物质在每秒内通过每平方厘米的假想平面的摩尔或毫尔数。定义面积矢量定义面积矢量dSdS是大小为是大小为dS，方向为法线正方向，方向为法线正方向n n的量的量当当S是封闭曲面时，矢量是封闭曲面时，矢量a通过通过S面的通量面的通量在场内任取一点在场内任取一点M，以体积，以体积V包之，若包之，若V的界面为的界面为S，则，则奥高定理的奥高定理的微分形式微分形式Gauss公式此极限存在，定义为矢量此极限存在，定义为矢量a a的散度。的散度。散度是一个不依靠于坐标系选取的数量，其为一个标量。散度是一个不依靠于坐标系选取的数量，其为一个标量。二、散度二、散度散度（divergence）可用于表征空间各点
11、矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当div F0，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F0 表示该点有吸取通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点无源。三、奥高定理三、奥高定理散度在直角坐标系中的表达式散度在直角坐标系中的表达式这里这里是是的整个边界曲面的外侧，的整个边界曲面的外侧，cos、cos、cos是是上点上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦。处的法向量的方向余弦。高斯定理高斯定理：设空间闭区域设空间闭区域是分片光滑的闭曲面是分片光滑的闭曲面所围成，函数所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在在上具有一阶连续偏导数，则有上
12、具有一阶连续偏导数，则有利用奥高定理，则有利用奥高定理，则有因体积分中的被积函数是连续的，依据中值公式，上式可因体积分中的被积函数是连续的，依据中值公式，上式可改写为改写为当当V向向M点收缩时，点收缩时，Q点最终与点最终与M重合，重合，奥高定理的奥高定理的积分形式积分形式四、无源场及其性质四、无源场及其性质diva0的矢量场称为无源场或管式场。1、无源矢量a经过矢量管任一截面上的通量保持同一数值。2、矢量管不能在场内发生或终止。一般说来它只可能伸延至无穷，达到区域的边界上或自成封闭管路。3、无源矢量a经过张于一已知周线L的全部曲面S上的通量均相等，亦即此通量只依靠于周线而与所张曲面的形态无关。
13、226 6矢量矢量a a沿回线的环量沿回线的环量.矢量矢量a a的的旋度旋度.斯托克斯定理斯托克斯定理一、环量一、环量给定一矢量场给定一矢量场a(r,t)，在场内取随意一曲线，在场内取随意一曲线L，作线积分，作线积分若是封闭曲线，则可表示为：若是封闭曲线，则可表示为：称之为矢量称之为矢量a沿曲线沿曲线L的环量。的环量。环量（circulation）是流体的速度沿着一条闭曲线的路径积分，通常用来表示。绝参冯潮清绝参冯潮清 赵愉深赵愉深 何浩法何浩法,矢量与张量分析矢量与张量分析,国防工业出版社国防工业出版社,1986年年12月第月第1版版二、旋度二、旋度设设M是场内一点，在是场内一点，在M点旁边
14、取无限小封闭回线点旁边取无限小封闭回线L，取定某一，取定某一方向为方向为L的正方向。的正方向。设张于周线设张于周线L上的曲面是上的曲面是S，作，作S的法线方向的法线方向n，其依据，其依据L的正方的正方向及右手螺旋定则来确定。向及右手螺旋定则来确定。矢量a的旋度矢量rota在n方向的投影。三、斯托克斯公式三、斯托克斯公式斯托克斯公式（定理）：设斯托克斯公式（定理）：设为分段光滑的空间有向闭曲线，为分段光滑的空间有向闭曲线，是以是以为边界的分片光滑的有向曲面，为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的正向与的外侧符的外侧符合右手规则，函数合右手规则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,
15、z)在包含曲面在包含曲面在在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有利用中值公式，有利用中值公式，有四、无旋场及其性质四、无旋场及其性质1 1、定义、定义rota0的矢量场称为无旋场。2 2、性质、性质无旋场和位势场(有势场)的等价性，即若a是位势场，则a必为无旋场，rota0反之，若rota0，则。3 3、证明、证明设 ，则即反之，设rota0，则由斯托克斯公式有其中L是随意封闭周界，于是矢量a沿随意封闭回线L的线积分为零，依据1.3中定理2可得 227 7 基本运算公式基本运算公式一、拉普拉斯算子一、拉普拉斯算子二、哈密顿算子二、哈密顿算子一个具
16、有矢量和微分双重性质的符号，一方面它是一个矢量，一个具有矢量和微分双重性质的符号，一方面它是一个矢量，另一方面它是一个微分算子，但必需是对其右边的量发生微另一方面它是一个微分算子，但必需是对其右边的量发生微分作用。分作用。228 8 张量初步张量初步一、迪卡尔张量一、迪卡尔张量(1)标量是只有数值大小而无方向的量，只需用标量是只有数值大小而无方向的量，只需用一个实数一个实数来表示。来表示。(2)矢量则是既有大小，又有方向的量，（在三维空间中）有矢量则是既有大小，又有方向的量，（在三维空间中）有三个重量，须要用三个实数来表示。三个重量，须要用三个实数来表示。(3)比标量和矢量更困难的量，称为张量
17、。比标量和矢量更困难的量，称为张量。在三维空间中，在三维空间中，r阶张量具有阶张量具有3r个重量。个重量。零阶张量（即标量）有零阶张量（即标量）有30=1个重量；个重量；一阶张量（即矢量）有一阶张量（即矢量）有31=3个重量；个重量；二阶张量有二阶张量有32=9个重量；个重量；三阶张量有三阶张量有33=27个重量；个重量；在在n维空间中，维空间中，r阶张量具有阶张量具有nr个重量。个重量。张起的平行四边形或平行六面体的对角线才能表示的量，所以叫做张量。只不过矢量是一阶张量，我们习惯上仍称之为矢量或向量，而通常把二阶张量及三阶以上的高阶张量才称之为张量。定义：在三维空间中，二阶迪卡尔张量定义：在
18、三维空间中，二阶迪卡尔张量A是由是由32个重量个重量Aij组组成的量。成的量。229 9 张量表示法张量表示法在张量表示法中，将坐标改写成在张量表示法中，将坐标改写成x x1 1，x x2 2，x x3 3一、指标记法一、指标记法把i，j，k分别写成i1，i2，i3，则的张量表示法为二、求和约定及哑标二、求和约定及哑标略去了求和记号略去了求和记号求和约定：求和约定：若某个指标在某一项中重复出现，而且仅重复出现若某个指标在某一项中重复出现，而且仅重复出现一次，则该项代表一个和式，按重复指标的取值范围求和一次，则该项代表一个和式，按重复指标的取值范围求和。（爱因斯坦）（爱因斯坦）例：例：哑标：表示
19、求和的重复指标。而哑标接受什么字母哑标：表示求和的重复指标。而哑标接受什么字母来表示对结果没有影响。来表示对结果没有影响。例如：例如：i是哑标，j不是哑标。三、自由指标三、自由指标设有方程组自由指标：凡不属于哑标的指标。在同一方程中，每自由指标：凡不属于哑标的指标。在同一方程中，每一项的自由指标必需相同。一项的自由指标必需相同。例如：没有意义。没有意义。四、克罗尼克尔符号四、克罗尼克尔符号(1)(2)(3)(4)(5)五、置换符号五、置换符号（1）置换符号）置换符号eijk的定义的定义eijk共代表共代表27个量，其中个量，其中21个为零。个为零。ijk123（2）置换符号）置换符号eijk的
20、作用的作用利用置换符号eijk可将两矢量的矢积AB表示成简洁的重量形式。六、指标记法的运算特点六、指标记法的运算特点(1)求和：凡自由指标完全相同的项才能相加（或减）。无意义无意义(2)代入：(3)乘积：(4)因子分解：因子分解：nj作为公因子提出来作为公因子提出来ni写成写成ijnj一、迪卡尔张量的代数运算一、迪卡尔张量的代数运算1、张量的和、张量的和定义：两个定义：两个r阶张量的和仍是阶张量的和仍是r阶张量，其重量是原来两张量阶张量，其重量是原来两张量重量之和。重量之和。2、对称张量和反对称张量、对称张量和反对称张量设设Tij为二阶张量，若为二阶张量，若TijTji，则称该张量为对称张量；
21、若，则称该张量为对称张量；若TijTji，则称该张量为反对称张量。，则称该张量为反对称张量。3、张量和矩阵、张量和矩阵矩阵与张量有很多相像的性矩阵与张量有很多相像的性质，张量的一些运算法则可质，张量的一些运算法则可通过矩阵来表示。通过矩阵来表示。2210 10 张量运算张量运算4、张量的外积、张量的外积定义：一个定义：一个r阶张量和一个阶张量和一个s阶张量的外积是一个阶张量的外积是一个r+s阶张量，阶张量，其重量由原来两个张量的各个重量的乘积组成。其重量由原来两个张量的各个重量的乘积组成。5、张量的缩并、张量的缩并定义：使定义：使r（2）阶张量重量的两个指标相同，并对该重）阶张量重量的两个指标
22、相同，并对该重复指标求和，这种运算称为缩并。复指标求和，这种运算称为缩并。若将若将r（2）阶张量进行一次缩并，结果仍是张量，但将为）阶张量进行一次缩并，结果仍是张量，但将为r-2阶。张量的缩并可反复进行，直到运算结果降为一阶张量阶。张量的缩并可反复进行，直到运算结果降为一阶张量（矢量）或零阶张量（标量）。（矢量）或零阶张量（标量）。6、张量的内积、张量的内积定义：两个张量的内积就是将两个张量的外积进行缩并。定义：两个张量的内积就是将两个张量的外积进行缩并。如二阶张量如二阶张量Cij和和Dmn，它们可构成四种内积，即，它们可构成四种内积，即7、对称张量场、对称张量场反对称张量场反对称张量场关于前
23、两个指标对称关于前两个指标对称二、迪卡尔张量的微分二、迪卡尔张量的微分1、张量场、张量场标量场或矢量场由给定区域的点组成，并且在每一点上有标量场或矢量场由给定区域的点组成，并且在每一点上有该标量或矢量的对应值。该标量或矢量的对应值。温度分布温度分布T(x1，x2，x3)是标量场（通常称为温度是标量场（通常称为温度场场）速度分布速度分布v(x1，x2，x3)是矢量场（通常称为速度场）是矢量场（通常称为速度场）任何一个任何一个r2的的r阶张量均可分解为一个对称张量和一个反阶张量均可分解为一个对称张量和一个反对称张量之和对称张量之和。应变率张量：描述变形的特征量应变率张量：描述变形的特征量给定区域的
24、每一点上定义一个张量，就是张量场。给定区域的每一点上定义一个张量，就是张量场。应力分布应力分布(x1，x2，x3)便是二阶张量场。便是二阶张量场。标量场和矢量场分别为零阶和一阶张量场。标量场和矢量场分别为零阶和一阶张量场。2、张量场的表示方法、张量场的表示方法标量场标量场可写成可写成(xk)或或(xk，t)矢量场矢量场A可写成可写成Ai(xk)或或Ai(xk，t)二二阶张阶张量量场场T可写成可写成Tij(xk)或或Tij(xk，t)3、张量场的梯度、张量场的梯度标标量量场场的偏的偏导导数数 为为矢量矢量场场的分量，即的分量，即3、张量场的散度、张量场的散度对张对张量量场场的梯度重量的梯度重量进
25、进行行缩缩并，便得并，便得该张该张量量场场的散度。的散度。矢量矢量场场的偏的偏导导数数 为为二二阶张阶张量量场场的分量，即的分量，即二二阶张阶张量量场场的偏的偏导导数数 为为三三阶张阶张量量场场的分量。的分量。结论：一个结论：一个r阶迪卡尔张量场对坐标阶迪卡尔张量场对坐标xi的偏导数构成一个的偏导数构成一个r+1阶的张量场。阶的张量场。结论：结论：r阶张量场的散度为阶张量场的散度为r-1阶张量场。阶张量场。例例题题：设设D域中矢量域中矢量场场A(xk)的分量的分量为为 求矢量求矢量场场的梯度和散度。的梯度和散度。梯度重量为梯度重量为其散度为其散度为用“,i”表示对坐标xi的偏导数。例 标量场的
26、梯度grad在直角坐标系下的表达式表观粘度：把切应力和应变速度之比定义为非牛顿流体的表观粘度表观粘度或称粘度函数。应力张量：描述流体中一点的受力状态，用九个量来表示，对角线称为法向应力，非对角线称为切向应力，称为二阶应力张量。计算仅与矢径大小r有关的标量函数 的梯度。（分别利用定义和定理两种方法求解）矢量场a满足（），则该矢量场称为有势场。速度场的散度在直角坐标系下的表达式为（应用指标记法缩写应用指标记法缩写）按张量指标记法中的求和约定及哑标的形式缩写为1、标量场的梯度grad在直角坐标系下的表达式（应用指标记法缩写应用指标记法缩写）grad=。2、速度场的散度在直角坐标系下的表达式为（应用指标记法缩写应用指标记法缩写）divu=。7、一个一阶张量Ai和一个二阶张量Bjk的外积外积是（）阶张量。爱因斯坦求和约定中，成对出现的指标叫做哑标;单独出现的指标叫做自由自由指标指标。在条件相同的状况下，剪切稀化流体的阻力和能量损失比牛顿流体的大。（）