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1、第二册不等式基本性质_不等式的基本性质不等式的基本性质刘宏光 （宁夏银川其次中学）作者简历刘宏光 广东揭阳人，19565年毕业于北京工业学院机械系，1953年任太原机械制造厂数学力学老师，1986年被授予中学特级老师，1988年被评为宁夏回族自治区中学高级老师。1985年被评为宁夏银川市优秀班主任，1986年获全国五一劳动奖章，并被全国总工会授予全国优秀教化工作者称号。现任宁夏银川二中数学老师数学教研组组长。教学目的驾驭不等式的基本性质，会用不等式的基本性质进行不等式的变形。教学过程师：我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（老师出示小黑板中的两组式子），请同学们视察，哪些是等式？哪些是
2、不等式？第一组：1+2=3; a+b=b+a; S = ab; 4+x = 7. 其次组：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x 6, a+2 0; 34. 生：第一组都是等式，其次组都是不等式。师：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？生：表示相等关系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。师：在数学炽，我们用等号“=”来表示相等关系，用不等式号“”、“”或“”表示不等关系，其中“”和“”表示大小关系。表示大小关系的不等式是我们中学教学所要探讨的。前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？生：等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（ 除数不为零
3、）同一个数，所得到的仍是等式。师：很好！当我们起先探讨不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，假如在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除经（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？让我们先做一些试验练习。练习1 (回答)用小于号“<”或大于号“>”填空。（1）7 _ 4; （2）- 2_6; （3）- 3_ -2； （4）- 4_-6练习2（口答）分别从练习1中四个不等式动身，进行下面的运算。（1）两边都加上（或都减去）5，结果怎样？不等号的方向变更了吗？（2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？不等号的方向变更了吗？（3）两边都乘以（或都除以）（-
4、5），结果怎样？不等号的方向变更了吗？生：我们发觉：在练习2中，第（1）、（2）题的结果是不等号的方向不变；在第（3）题中，结果是不等号的方向变更了！师：同学们视察得很仔细，大家再进一步探讨一下，在什么状况下不等号的方向就会发生变更呢？生甲：在原不等式的两边都乘以（或除以）一个负数的状况下，不等号的方向要变更。师：有没有不同的看法？大家都同意他的看法吗？可能还有同学不放心，让我们再做一些试验。练习3（口答）分别在下面四个不等式的两边都以乘以（可除以）-2，看看不等号的方向是否变更： 74；-26；-3-2；-4-6。 师：现在我们可以归纳出不等式的基本性质，一般地说，不等式的基本性质有三条：性
5、质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 。（让同学回答。）性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向 。（让同学回答。）性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向 。（让同学回答。）现在请大家翻开课本，一起朗读用黑体字写的三条基本性质。不等式的这三条基本性质，都可以用数学语言表达出来，先请一位同学说一说第一条基本性质。生：假如ab。那么a+cb+c（或a-cb-c；假如ab，那么a+cb+c（或a-cb-c）。师：对a和b有什么要求吗？对c有什么要求？生：没有什么要求。师：哪位同学来回答其次、三条性质？生甲：假如a<b,且c&g
6、t;0, 那么ac<bc(或 )；假如a>b,且c>0,那么ac>bc(或生乙：假如a<b,且c<0, 那么ac>bc(或 )；假如a>b,且c<0,那么ac<bc(或师：这两条性质中，对a、b、c有什么要求？生：对a、b没什么要求，特殊要留意c是正数还是负数。师：很好，c可以为零吗？生：c不能为零。因为c为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了。师：好！应用刚才学到的基本性质，我们来看下面的例题。例1根据下列条件，写出仍能成立的不等式：（1）59，两边都加上-3；（2）94，两边都减去10；（3）-53，两边都乘以4；（4）14-
7、8，两边都除以-2。解 （1）依据不等式基本性质1，在不等式59的两边都加上-3，不等号的方向不变，所以 5+（-3）9+（-3）， 26 （2）依据不等式基本性质1，得9-104-10 -1-6 （3）依据不等式基本性质2，得 -5434 -2012 （4）依据不等式基本性质3，得 14（-2）（-8）（-2） -74 例2设ab，用不等号连结下列各题中的两式：（1）a-3与b-3;（2）2a与2b;（3）-a与-b.师：哪一位同学来做这题？解题时，要讲清一步的理由。生甲：因为ab，两边都减去3，由不等式的基本性质1，得a-3b-3师：很好，大家都是这样做的吗？生乙：我是这样做的，因为ab,
8、两边都加上（-3），由基本性质1，得a-3b-3师：好！这两位同学从不同的角度来分析题目，都得到了正确的结论。生丙：因为ab，20，由基本性质2，得2a2b。生丁：因为ab，-10，由基本性质3，得-a-b。师：下面我们来看一组较困难的问题，请大家都来开动脑筋，仔细审题，细致分析。例3推断以下各题的结论是否正确，并说明都理由：(1)假如a>b,且c>0，那么ac>bd;(2)假如a>b,那么ac2>bc2;(3)假如ac2>bc2,那么a>b;(4) 假如a>b,那么a-b>0;(5)假如ax>b,且a0，那么x< ;(6)假如
9、a+b>a;生甲：（1）不对，当c=d0时，acbd不成立。生乙：（2）也不对，因为c2是一个非负数，当c=0时，ac2bc2不成立。生丙：（3）对，因为ac2bc2成立，则c2肯定大于零，依据不等式基本性质2，得ab出。（4）对，依据不等式基本性质，由ab，两边减去b得a-b0。（5）不对，当a0时，依据不等式基本性质3，得 。（6）不对，因为当b0时，依据不等式基本性质1，得a+ba；而当b=0时，则有a+b=a。师：同学们回答得很好。今日我们学习了不等式的基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能敏捷运用。课外做以下作业：略。教案说明（1） 不等式的基本性质的教学，是分成两个阶段进
10、行的。在初中阶段，对不等式的基本性质，并不作证明，只引导学生用试验的方法，归纳出三条基本性质。通过试验，由特别到一般，由详细到抽象，这是一种相识事物规律的重要方法。科学上的很多发觉，大多离不开试验和视察。大数学家欧拉说过：“数学这门科学，须要视察，也须要试验。”通过教学培育学生驾驭由试验发觉规律的方法，具有重要的意义。当然通过几个特别的试验，就得出一般的结论，是不严密的。但对初中学生来说，初次接触不等式，是不能要求那么严密的。（2） 不等式的基本性质的教学，还应采纳对比的方法。学生已学过等式和等式的性质，为了便于和加深对不等式基本性质的理解，在教学过程中，应将不等式的性质与等式的性质加以比较：
11、强调等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同一个数，所得到的仍是等式，这个数可以是正数、负数或零；而在不等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同一个数，当这个数是正数、负数或零时，对不等式的方向，有什么不同的影响。通过这样的对比，不但可以复习已学过的等式有关学问，便于引入新课，而且也有利于驾驭不等式的基本性质。对比的方法，也是学习数学的一种重要方法。（3） 在应用不等式的基本性质对不等式进行变形时，学生对不等式两边是详细数，判定大小关系比较简单。因为这事实上是有理数大小的比较。对于不等式两边是含字母的代数式时，依据题给的条件，运用不等式基本性质判别大小关系或不等号方向，就比较困难。因为它比较抽象，特殊是在运用不等式的基本性质2和性质3时，学生必需考虑不等式两边同乘（或同除）的这个用字母表示的数的符号是什么，或者还要对这个用字母表示的数，按正数、负数或零三种状况加以探讨。在教学过程中，对于这类题目，采纳探讨法是比较好的。因为在探讨时，学生可以充分发表各种见解。对于正确的见解，老师可以让学生说出解题的依据；对于错误的见解，老师可以进行启发引导，发动学生自己找出错误的缘由，自己修正见解。这样，有利于发觉问题，有的放矢地解决问题，有利于深化对不等式基本性质的相识。