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1、大学复变函数课件-洛朗级数 第五章 洛朗级数 第一节 洛朗展式 双边幂级数 设级数 （） 它在收敛圆内肯定且内闭一样收敛到解析函数； 考虑函数项级数 （） 作代换 则（）即为，它在收敛圆内肯定且内闭一样收敛到解析函数， 从而（）在区域内肯定且内闭一样收敛到解析函数； 当且仅当时，（）（）有共同的收敛区域， 此时，称为双边幂级数。 关于双边幂级数的性质，见p185 定理 定理1 （洛朗定理） 设函数f(z)在圆环：内解析，那么在H内 其中， 是圆是一个满意的任何数，并且展式是唯一的。证明：，作圆周和使含于圆环内，于是在圆环内解析。由柯西积分公式 ，其中 现考虑 而沿，（在上一样收敛） 由于函数沿
2、有界，所以 故当：，其中 展式的唯一性：设 随意取某正整数，在上有界， ，故，展式唯一。注解：我们称为f(z)的解析部分，而称为其主要部分。 例1、 求函数分别在圆环1<|z|<2及内的洛朗级数式。 解：假如1<|z|<2，那么利用当时的幂级数展式 我们得 假如，那么同样，我们有 例2、 及在内的洛朗级数展式是： 例3、 在内的洛朗级数展式是： 。例4、 求函数在圆环1<|z|<3内的洛朗级数展式。解：由于1<|z|<3，那么利用当时的幂级数展式 我们得 ， 而 所以，有 其次节 解析函数的孤立奇点 1解析函数的孤立奇点的定义 设函数f(z)在去
3、掉圆心的圆盘内确定并且解析，那么我们称为f(z)的孤立奇点。在D内，f(z)有洛朗展式 其中 是圆。例如，0是的孤立奇点。一般地，对于上述函数f(z)，根据它的洛朗展式中含负幂的状况（主要部分的状况），可以把孤立奇点分类如下： 假如在的主要部分为，那么我们说是f(z)的可去奇点，这时因为令，就得到在整个圆盘内的解析函数f(z)； 假如在的主要部分是有限多项：我们称是f(z)的阶极点； 假如在的主要部分是无限多项，我们称是f(z)的本性奇点。例如，0分别是的可去奇点、单极点及本性奇点。2孤立奇点的判定 定理1 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是： ，其中是一个复数。证明：（必要性）。由假设，
4、在内，f(z)有洛朗级数展式： 因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在内解析，于是明显存在着。（充分性）。设在内，f(z)的洛朗级数展式是 由假设，存在着两个正数M及，使得在内， 那么取，使得，我们有 当n=-1,-2,-3,时，在上式中令趋近于0，就得到。于是是f(z)的可去奇点。推论1 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。下面探讨极点的特征。设函数f(z)在内解析，是f(z)的阶极点，那么在内，f(z)有洛朗展式： 在这里 则在这里是一个在内解析的函数，并且。反之，假如函数f(z)在内可以表示成为上面的形态，而是一个在内解析的函
5、数，并且，那么可以推出是f(z)的m阶极点。定理2 是f(z)的极点的必要与充分条件是：。证明：必要性是明显的，我们只证明充分性。在定理的假设下，存在着某个正数，使得在内，于是在内解析，不等于零，而且。因此是F(z)的一个可去奇点，从而在内，有洛朗级数展式： 我们有。由于在内，可以设。由此得，其中在内解析，并且不等于零。于是在内， ， 在这里，在内解析，。因此是f(z)的m阶极点。推论2设函数f(z)在内解析，那么是f(z)的m阶极点的必要与充分条件是：，在这里m是一个正整数，是一个不等于0的复数。关于解析函数的本性奇点，我们有下面的结论： 定理3 是f(z)的本性奇点的必要与充分条件是：不存
6、在有限或无穷极限。 例：0是函数的本性奇点，不难看出不存在。 解：当z沿正实轴趋近于0时，趋近于； 当z沿负实轴趋近于0时，趋近于0； 当z沿虚轴趋近于0时，没有极限。 第三节 解析函数在无穷远点的性质 1解析函数在无穷远点的性质 设函数f(z)在区域内解析，那么无穷远点称为f(z)的孤立奇点。在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式： 其中系数由定理5.1中类似的公式确定。 令，根据R>0或R=0，我们得到在或内解析的函数，其洛朗级数展式是： 假如w=0是的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点，那么分别说是f(z)的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。因此 （1）假如当时n=1,2,3,，那么是
7、f(z)的可去奇点。（2）假如只有有限个（至少一个）整数n，使得，那么是f(z)的极点。设对于正整数m，而当n>m时，那么我们称是f(z)的m阶极点。（3）假如有无限个整数n>0，使得，那么我们说是f(z)的本性奇点。注解1若为f(z)的可去奇点，我们也说f(z)在无穷远点解析； 注解2上一段的结论都可以推广到无穷远点的情形，我们综合如下： 定理1设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是：存在着极限、无穷极限或不存在有限或无穷的极限。 推论 设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f
8、(z)在内有界。 第四节 整函数与亚纯函数 1整函数的分类 假如f(z)在有限复平面C上解析， 则 那么它就称为一个整函数。明显无穷远点是整函数在扩充复平面上唯一的孤立奇点。我们按孤立奇点的类型，可以将整函数分类： 定理1 设为整函数 为的可去奇点（常数）； 为的阶极点 即次多项式； 为的本性奇点无穷多个不等于（此时称为超越整函数）例如：； 2亚纯函数的定义与性质 假如函数f(z)在有限平面上除去有极点外，无其他类型的奇点那么称它为一个亚纯函数。 亚纯函数是整函数的推广，它可能有无穷多个极点。例如是一个亚纯函数，它有极点。有理函数 也是一个亚纯函数，它在有限复平面上有有限个极点，而无穷远点是它的极点（当n>m时）或可去奇点（当时），在这里是复常数，m及n是正整数。定理1 为有理函数在扩充复平面上，除极点外没有其他类型的奇点。