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1、柱体、锥体、台体的体积教案柱体锥体台体的体积 第6讲柱体锥体台体的体积学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.学问要点：1.体积公式：体积公式体积公式棱柱圆柱 棱锥圆锥 棱台圆台 2.柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行改变，当台体的上底面渐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面渐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体.因而体积会有以下的关系：.例题精讲：【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是.解：设长方体的长宽高分别为，则，三式相乘得.所以，长方体的体积为6.【例
2、2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域.解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为.在中，,所以,于是.依题意函数的定义域为.【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为.解：容器中水的体积为.流出水的体积为，如图，.设圆柱的母线与水平面所成的角为，则，解得.所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60.点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个
3、平面去平分了一个短圆柱.从而由等体积法可计算出高度，解直角三角形而得所求角.【例4】在边长为a的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积.解：剪下的扇形的弧长与剪下的圆的周长是相等的.设扇形半径为x，圆半径为r，则，x=4r，.又AB=，解得.圆锥的高，.点评：求已知的平面图形围成的旋转体的面积或体积的关键是正确分析平面图形与其围成的旋转体中有关量间的关系.搞清平面图形上的哪些量在旋转体中不变，哪些发生了改变. 柱体、锥体、台体的表面积与体积 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积（2） 学习目标1.了解柱、锥、台的体积计算公式；2.能运用柱、锥、台的体
4、积公式进行计算和解决有关实际问题. 学习过程一、课前打算（预习教材P25P26，找出怀疑之处）复习1：多面体的表面积就是_加上_. 复习2：圆柱、圆锥、圆台的侧面绽开图分别是_、_、_；若圆柱、圆锥底面和圆台上底面的半径都是，圆台下底面的半径是，母线长都为,则_,_，_. 引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式（为底面面积，为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？ 二、新课导学探究新知新知：经过证明(有爱好的同学可以查阅祖暅原理) 柱体体积公式为：，（为底面积，为高）锥体体积公式为：，（为底面积，为高）台体体积公式为：（，分别为上、下底面面积，为高） 补充：柱体的高
5、是指两底面之间的距离；锥体的高是指顶点究竟面的距离；台体的高是指上、下底面之间的距离. 反思：思索下列问题比较柱体和锥体的体积公式，你发觉什么结论？比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发觉三者之间的关系吗？ 典型例题例1如图(1)所示，三棱锥的顶点为，是它的三条侧棱,且分别是面的垂线，又，求三棱锥的体积. 变式：如图(2)，在边长为4的立方体中，求三棱锥的体积. 小结：求解锥体体积时,要留意视察其结构特征，尤其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法，通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会学习)，它会给我们的计算带来便利. 例2高12的圆台，它的中截面(
6、过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为225,体积为，求截得它的圆锥的体积. 变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，求截得它的的正六棱锥的体积. 小结：对于台体和其对应锥体之间的关系，可通过轴截面中对应边的关系，用相像三角形的学问来解.动手试试练1.在中,若将绕直线旋转一周，求所形成的旋转体的体积. 练2.直三棱柱高为6,底面三角形的边长分别为3，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值. 三、总结提升学习小结1.柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死记，要在理解的基础上驾驭；2.求体积要留意顶点、底面、高的合理选择. 学问拓展祖暅及祖暅原理祖暅，祖冲之（求圆周率
7、的人）之子，河北人，南北朝时代的宏大科学家.柱体、锥体,包括球的体积都可以用祖暅原理推导出来. 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的随意平面所截，假如截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 学习评价自我评价你完成本节导学案的状况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.圆柱的高增大为原来的3倍，底面直径增大为原来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（）.A.6倍B.9倍C.12倍D.16倍2.已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为,，则它的体积为（）.A.B.C.D.43.各棱长均为的三棱锥中，随意一个顶点到其对应面的距
8、离为（）.A.B.C.D.4.一个斜棱柱的的体积是30，和它等底等高的棱锥的体积为_.5.已知圆台两底面的半径分别为,则圆台和截得它的圆锥的体积比为_. 课后作业1.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是)六角螺帽共重，已知底面是正六边形，边长为12，内孔直径为10，高为10，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14). 2.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则= 1、3、1柱体、锥体、台体的表面积与体积 1、3、1柱体、锥体、台体的表面积与体积 小故事:被誉为世界七
9、大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔始终是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此雄伟的大金字塔，真是一个非常难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？ 要求：新课标对本节内容要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简洁的应用即可. 一、【学习目标】 1、了解柱体、锥
10、体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆）， 提高学生的空间想象实力和几何直观实力，培育学生的应用意 识，增加学生学习数学的爱好； 2、驾驭简洁几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算实力， 培育学生转化、化归以及类比的实力. 【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生们把握整体的课堂学习. 二、【自学内容和要求及自学过程】 1、阅读教材2325页内容，回答问题（柱、锥、台表面积） 1在初中，我们已经学习了正方体和长方体 的表面积，以及它们的绽开图，你知道上述几何体的绽开图与其表面积的关系吗？ 2棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的绽开图是什么？如何计算它们的表面积？ 3如
11、何依据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？ 4联系圆柱、圆锥的侧面绽开图，你能想象圆台侧面绽开图的形态，并且画出它吗？假如圆台的上、下底面半径分别是r,r，母线长为，你计算出它的表面积吗？ 结论：1正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.2棱柱的侧面绽开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面绽开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面绽开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.3它们的
12、表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面绽开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积干脆应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面绽开图是矩形，圆锥的侧面绽开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面绽开图是一个矩形.假如圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为r2,侧面面积为2rl.因此，圆柱的表面积S=2r2+2rl=2r(r+l).圆锥的侧面绽开图是一个扇形.假如圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=r2+rl=r(r+l).4圆台的侧面绽开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即. 思索：圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？ 练习一：完
13、成教材例1、例2，体会例1、2所蕴含的解题技巧；完成教材第27页练习1；把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则全部小正方体的表面积是. 【教学效果】：学生们的学习效果不错，对于圆台的表面积公式的推导，我做了这样的处理：只是提示推导过程，而没有在课堂上一步一步的推导. 2、阅读教材第2527页内容，回答问题（柱、锥、台体积） 5回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗，并依次类比出柱体的体积公式吗？椎体呢？ 6比较柱体、锥体、台体的体积公式： V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)； V锥体=(S为底面积，h为锥体的高)； V台体=h(S,S分别为上、下底面
14、积，h为台体的高).你能发觉三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特别”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特别”形式？ 结论：5棱长为a的正方体的体积V=a3=a2a=Sh；长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=r2h=Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高.圆锥的体积公式是V=(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的.棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的,即棱锥的体积V=(S为底面面积，h为高).由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆
15、锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的.由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=(S+S)h,其中S，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高.留意：不要求推导公式，也不要求记忆.6柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特别”的台体.当S=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特别”形式. 柱体和锥体可以看作由台体改变得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一
16、个底面是一个点的台体，因此很简单得出它们之间的体积关系,如图： 练习二：完成教材26页例3，体会例3中蕴含的解题技巧；完成教材27页练习2；把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积；已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1，OA=x，OB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是；已知正三棱台（上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心）的上下底面边长分别是2cm和4cm，侧棱长是cm，试求该三棱台的表面积与体积；：一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，假如直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（依据
17、三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PAAB，PAAC，ABAC.结果：1/6) 【教学效果】：对于体积公式，推导过程比较繁琐，教材实行了干脆给出的模式，老师不要过多的渗入推导，加重学生负担. 三、【作业】 1、必做题：教材第29页习题1.3A组第1、2、3题； 2、选做题：养路处建立圆锥形仓库用于存储食盐（供溶化高速马路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）.分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；分别计算
18、按这两种方案所建仓库的表面积；哪个方案更经济些？（比较表面积和体积，体积大、表面积好更实惠经济）. 四、【小结】 这节课主要学习了柱体、锥体、台体的表面积和体积，学习完这节课之后要求学生们能达到娴熟的应用公式解题的目的. 五、【教学反思】 这节课原来是一课时的内容，但是上课时发觉一课时太紧凑，就分为了两课时来讲，第一课时讲表面积，其次课时讲体积.有时候课堂上是要求我们能二次备课、临时调整的，不能为了完成课时任务而增加教学量. 对于这节课，学生们的学习效果还是不错的，但是这节课也出现了一些小小的问题. 事情是这样的，课堂上一个好动的学生在我讲课的时候偷偷的说话，由于我在讲课，没有刚好的制止，只是
19、目光示意.等我讲到求三角形面积的时候，我说三角形的面积有三种求法，一种是依据两边和夹角的正弦来求面积，另一种是底乘高，那么另外一种是什么？这个同学说高乘底，我没有言语，当时心里面有点儿生气，但是后来他又说了一遍，班里面的同学有点儿笑，由于是课堂，这种现象是不应当出现的，但是我不想损害学生的自尊心，就说底乘高和高乘底是一样的，这不能算作两种方法，就这样解了围.等我讲完课，还有将近非常钟的时间，我让学生做作业，或者往后面预习也可以，当我转到后面的时候这个同学问我：老师我做什么啊？我说：做作业啊！这个同学说我没有作业本了.我一听，有点儿蒙，说：昨天不是刚发的作业本吗？这个同学说：我作业本刚刚交上了.
20、由于昨天晚上学生们活动，所以有一部分同学的作业没有交，所以在讲完课的时候我把作业本收起来了.这时我说，你可以先往后面预习一下，这个同学拿出课本，说：预习什么？我有点儿发火，但是没有流露出来，道：往后面预习，预习体积.这个同学坐下了，这时有同学问题，正在给同学辅导，这个同学突然大声道：老师，我想去厕所！当时我一下子火了，把粉笔往地上一摔. 其实自己心里面觉得很难过，不想发火，但是还是发火了.不找别人的缘由，先找找自己的缘由，我觉得恰当的处理应当是下课时找他谈一谈，但是我没有做到.或许这个同学这样做是为了引起老师的留意，并没有太大的恶意，而我却损害了这个学生的自尊心；或许这个学生真的是想上厕所，没
21、有什么恶意，但是我损害了学生的自尊心.以前总以为自己是克制的最好的，但是还是没有克制住，这一点，我要吸取教训，不能再犯. 以后，我要吸取这个教训，肯定不能损害学生的自尊心. 可以说，这一节课因为这一个发火，一节原来胜利的课，变成了失败的课. 很愧疚.柱体、锥体、台体的表面积 第一课时柱体、锥体、台体的表面积（一）教学目标1学问与技能（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.（3）培育学生空间想象实力和思维实力.2过程与方法让学生经验几何体的侧面绽开过程，感知几何体的形态，培育转化化归实力.3情感、看法与价值观通过学习，使学生感受到几面体
22、表面积的求解过程，激发学生探究创新的意识，增加学习的主动性.（二）教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算.难点：绽开图与空间几何体的转化.（三）教学方法学导式：学生分析沟通与老师引导、讲授相结合.教学环节教学内容师生互动设计意图新课导入问题：现有一棱长为1的正方体盒子AC，一只蚂蚁从A点动身经侧面到达A点，问这只蚂蚁走边的最短路程是多少？ 学生先思索探讨，然后回答.学生：将正方体沿AA绽开得到一个由四个小正方形组成的大矩形如图则即所求.师：(确定后)这个题考查的是正方体绽开图的应用，这节课，我们围绕几何体的绽开图探讨几何体的表面积.情境生动，激发热忱老师顺势带出主题.探究
23、新知1空间多面体的绽开图与表面积的计算.（1）探究三棱柱、三棱锥、三棱台的绽开图.（2）已知棱长为a，各面均为等边三角形SABC(图1.32)，求它的表面积.解：先求SBC的面积，过点S作SDBC，交B于D，因为BC=a，.四面体SABC的表面积.师：在初中，我们已知学习了正方体和长方体的表面积以及它们的绽开图，你知道上述几何体的绽开图与其表面积的关系吗？生：相等.师：对于一个一般的多面，你会怎样求它的表面积.生：多面体的表面积就是各个面的面积之和，我们可以把它展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求解.师：（确定）棱柱、棱锥、棱台边是由多个平面图形围成的多面体，它们的绽开图是什么？如何计算它
24、们的体积？生：它的表面积都等于表面积与侧面积之和.师以三棱柱、三棱锥、三棱台为例，利用多媒体设备投放它们的绽开图，并确定学生说法.师：下面让我们体会简洁多面体的表面积的计算.师打出投影片、学生阅读、分析题目、整理思想.生：由于四面体SABC的四个面都全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面积的4倍.学生分析，老师板书解答过程.让学生经验几何体绽开过程感知几何体的形态.推而广之，培育探究意识会探究新知2圆柱、圆锥、圆台的表面积（1）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导S圆柱=2r(r+1)S圆锥=r(r+1)S圆台=(r12+r2+r1l+rl)（2）探讨圆台的表面积公式与圆柱及圆锥
25、表面积公式之间的改变关系（3）例题分析例2如图所示，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm.为了美化花盆的外观，须要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆须要多少油漆(取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器)？分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上下底面面积，再减去底面圆孔的面积.解：如图所示，由圆台的表积公式得一个花盆外壁的表面积1000(cm2)=0.1(m2).涂100个花盆需油漆：0.1100100=1000(毫升).答：涂100个这样的花盆约须
26、要1000毫升油漆.师：圆柱、圆锥的侧面绽开图是什么？生：圆柱的侧面绽开图是一个矩形，圆锥的侧面绽开图是一个扇形.师：假如它们的底面半径均是r，母线长均为l，则它们的表面积是多少？师：打出投影片（教材图1.3.3和图1.34）生1：圆柱的底面积为，侧面面积为，因此，圆柱的表面积：生2：圆锥的底面积为，侧面积为，因此，圆锥的表面积：师：(确定)圆台的侧面绽开图是一个扇环，假如它的上、下底面半径分别为r、r，母线长为l，则它的侧面面积类似于梯形的面积计算S侧=所以它的表面积为现在请大家探讨这三个表面积公式的关系.学生探讨，老师赐予适当引导最终学生归纳结论.师：下面我们共同解决一个实际问题.（师放投
27、影片，并读题）师：本题只要求出花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量，你会怎样用它的表面积.生：花盆的表积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积.(学生分析、老师板书)让学生自己推导公式，加深学生对公式的相识.用联系的观点看待三者之间的关系，更加便利于学生对空间几何体的了解和驾驭，敏捷运用公式解决问题.随堂练习1练习圆锥的表面积为acm2，且它的侧面绽开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.2如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形）形，上面是圆柱（尺寸如图，单位：mm）形.电镀这种零件须要用锌，已知每平方米用锌0.11kg，问电镀10000个零件需锌多
28、少千克（结果精确到0.01kg）答案：1m；21.74千克.学生独立完成归纳总结1柱体、锥体、台体绽开图及表面积公式1.2柱体、锥体、台体表面积公式的关系.学生总结，老师补充、完善作业1.3第一课时习案学生独立完成固化学问提升实力备用例题例1直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积.【分析】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形.【解析】如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线的长分别为c，d，即BD=c，AC=d，则由（1）得，由（2）得，代入（3）得，.S侧=.例2一个
29、正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积.【解析】由三视图知正三棱柱的高为2mm.由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为mm.设底面边长为a，则，a=4.正三棱柱的表面积为S=S侧+2S底=342+2(mm2).例3有一根长为10cm，底面半径是0.5cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01cm）【解析】如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝绽开在平面上，得到矩形ABCD.由题意知，BC=10cm，AB=2cm，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.AC=(cm).所以，铁丝
30、的最短长度约为27.05cm.【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线绽开，将问题转化为平面几何问题.探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面绽开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题.空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.例4粉碎机的下料是正四棱台形如图，它的两底面边长分别是80mm和440mm，高是200mm.计算制造这一下料斗所需铁板是多少？【分析】问题的实质是求四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜高.【解析】如图所示，O、O1是两底面积的中心，则OO1是高，设EE1是斜高，在直角梯形OO1E1E中，EE1=边数n=4，两底边长a=440，a=80，斜高h=269.S正棱台侧=（mm2）答：制造这一下料斗约需铁板2.8105mm2. 第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页