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1、八年级数学竞赛例题专题-多边形的边与角1八年级数学竞赛例题专题-整体与完形 专题28整体与完形 阅读与思索很多几何问题，常因图形困难、不规则而给解题带来困难，这些困难、不规则的图形，从整体考虑，可看作某种图形的一部分，假如将它们补充完整，就可得到常见的特别图形，那么就能利用特别图形的特别性质转化问题，这就是解几何问题的补形法，常见的补形方法有：1.将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形；2.将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特别三角形；3.将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特别四熟识以下图形：例题与求解【例1】如图，已知CDAF，CDEBAF，ABBC
2、，E，C，则AFE_度.(北京市竞赛试题)解题思路：有平行的条件，不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形. 【例2】设分别是ABC的三边长，且满意，则它的内角A、B的关系是（）.A.B2AB.B2AC.B2AD.不确定（全国初中数学竞赛试题）解题思路：从化简已知等式入手，并补出相应的图形. 【例3】如图1，BD，CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F，G，连结FG，延长AF，AG，与直线BC相交，易证.若（1）BD，CE分别是ABC的内角平分线（如图2）；（2）BD为ABC的内角平分线；（3）CE为ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种状况下，线段FG
3、与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种状况赐予证明.（黑龙江省中考试题）解题思路：既有平分线又有垂线，联想到等腰三角形性质，考虑将图形补成等腰三角形. 【例4】如图，四边形ABCD中，ABC，BCD，AB，BC，CD，求AD的长.（全国初中数学竞赛试题）解题思路：由于四边形ABCD是一般四边形，所以干脆求AD比较困难，应设法将AD转化为特别三角形的边.例4题图例5题图【例5】如图，凸八边形中，试证明：该凸八边形内随意一点到8条边的距离之和是一个定值.（山东省竞赛试题）解题思路：本例是一个几何定值证明问题，关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决，若连结对角线，则
4、会破坏一些已知条件，应当考虑向外补形. 【例6】如图，在ABC中，ABC，点D在边BC上，ADC，且.将ACD以直线AD为轴作轴对称变换，得到，连结.(1)证明：;(2)求C的大小.（全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）解题思路：本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题. 实力训练1.如图，在四边形ABCD中，AC，ABAD，若这个四边形的面积为12，则BCCD_.（山东省竞赛试题）2.如图，凸五边形ABCDE中，AB，EAABBC，CDDE，则这个五边形的面积为_.（美国
5、AHSME试题）3.如图，一个凸六边形六个内角都是，其中连续四条边的长依次为，则该六边形的周长为_.4.如图，ABCDEF是正六边形，M，N分别是边CD，DE的中点，线段AM与BN相交于P，则 _.（浙江省竞赛试题）5.如图，长为的三条线段交于O点，并且，则三个三角形的面积和_（填“”，“”，或“”）.（“希望杯”邀请赛试题）6.如图，在四边形ABCD中，A，BD，BC，CD，则AB().A.B.C.D.（广西壮族自治区中考试题）7.如图，在ABC中，M为BC中点，AN平分A，ANBN于N，且AB，AC，则MN等于（）.A.B.C.D.8.如图，在四边形ABCD中，ABBC，ABCCDA，BE
6、AD于E，则BE的长为（）A.B.C.D.9.如图，在四边形ABCD中，AB，BC，CD，B，C，则D等于（）A.B.C.D.条件不够，无法求出（重庆市竞赛试题） 10.如图，在ABC中，E是AC中点，D是BC边上一点，若BC，ABC，BAC，CED，求的值.11.如图，设是的斜边长，是直角边，求证：.（加拿大中学生竞赛试题）12.如图，已知八边形ABCDEFGH全部的内角都相等，而且边长都是整数.求证：这个八边形的对边相等.13.如图，设P为ABC的中位线DE上的一点，BP交AC于N，CP交AB于M，求证：.（齐齐哈尔市竞赛试题）14.一个圆内接八边形相邻的四条边长是，另四条边长是，求八边形
7、的面积. 八年级数学竞赛例题专题-平行四边形、矩形、菱形 专题19平行四边形、矩形、菱形 阅读与思索平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特别的平行四边形，矩形的特别性由一个直角所体现，菱形的特别性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就须要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特别三角形联系在一起，所以探讨平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特别三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要擅长在四边形的背景下思索问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质
8、为解题服务，经常是判定定理与性质定理的综合运用.熟识以下基本图形：例题与求解【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分BAD，交BC于E，CAE15，那么BOE_.(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：从发觉矩形内含的特别三角形入手. 【例2】下面有四个命题：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4(全
9、国初中数学联赛试题) 解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素随意选取两类，随意组合就产生很多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定. 【例3】如图，菱形ABCD的边长为2，BD2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点且满意AE+CF2.（1）推断BEF的形态，并说明理由；（2）设BEF的面积为S，求S的取值范围.(烟台中考试题) 解题思路：对于（1）由数量关系发觉图形特征；对于（2），只需求出BE的取值范围. 【例4】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上随意一点，PEAC于点E，PFBC于点F，PGEF于点G，延长GP并在春延长线上取一点D，使得
10、PDPC.求证：BCBD，BCBD.(全国初中数学联赛试题) 解题思路：只需证明CPBDPB，关键是利用特别三角形、特别四边形的性质. 【例5】在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F.（1）在图1中证明CECF；（2）若ABC90，G是EF的中点（如图2），干脆写出BDG的度数；（3）若ABC120，FGCE，FGCE，分别连结DB，DG（如图3），求BDG的度数.(北京市中考试题) 解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形；对于（2），用测量的方法可得BDG=45，进而想到等腰直角三角形，连CG，BD，只需证明BGCDGF，这对
11、解决（3），有不同的解题思路.对于（3） 【例6】如图，ABC中，C90，点M在BC上，且BMAC，点N在AC上，且ANMC，AM与BN相交于点P.求证：BPM45.(浙江省竞赛试题) 解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN或AC，即作MEAN，MEAN，构造平行四边形. ， 实力训练A级1.如图，ABCD中，BECD，BFAD，垂足分别为E、F，若CE2，DF1，EBF60，则ABCD的面积为_.2.如图，ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M，若CDM周长为a，
12、那么ABCD的周长为_.(浙江省中考试题) 3.如图，在RtABC中，B90，BAC78，过C作CFAB，连结AF与BC相交于G，若GF2AC，则BAG的大小是_.(“希望杯”竞赛试题) 4.如图，在菱形ABCD中，BEAF60，BAE20，则CEF的大小是_.(“希望杯”邀请赛试题) 5.四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满意，则这个四边形肯定是（）A.两组角分别相等的四边形B.平行四边形C.对角线相互垂直的四边形D.对角线相等的四边形 6.现有以下四个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线相互垂直的四边形是菱形；有一个角为直角且对角线相互平分的四边形为矩形；菱形的对
13、角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（）A.B.C.D. 7.如图，在矩形ABCD中，AB1，AD，AF平分DAB，过点C作CEBD于E，延长AF，EC交于点H，下列结论中：AFFH；BOBF；CACH；BE3ED.正确的是（）A.B.C.D.(齐齐哈尔中考试题) 8.如图，矩形ABCD的长为a，宽为b，假如，则（）A.B.C.D.(“缙云杯”竞赛试题) 9.已知四边形ABCD，现有条件：ABDC；ABDC；ADBC；ADBC；AC；BD.从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请详细写出这些组合.(江苏省竞赛试题) 10.如图，ABC为等边三角
14、形，D、F分别是BC、AB上的点，且CDBF，以AD为边作等边ADE.（1）求证：ACDCBF；（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且DEF30，证明你的结论.(江苏省南通市中考试题) 11.如图，在RtABC中，ABAC，A90，点D为BC上任一点，DFAC于F，DEAC于E，M为BC中点，试推断MEF是什么形态的三角形，并证明你的结论.(河南省中考试题) 12.如图，ABC中，AB3，AC4，BC5，ABD，ACE，BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积.(山东省竞赛试题) B级1.如图，已知ABCD是平行四边形，E在AC上，AE2EC，F在AB上，BF2AF，
15、假如BEF的面积为2，则ABCD的面积是_.(“希望杯”竞赛试题) 2.如图，已知P为矩形ABCD内一点，PA3，PD4，PC5，则PB_.(山东省竞赛试题) 3.如图，在矩形ABCD中，AB6cm，BC8cm，现将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF长为_.(武汉市竞赛试题) 4.如图，在矩形ABCD中，AB8，BC4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点处，交AB于点F，则重叠部分AFC的面积为_.(山东省竞赛试题) 5.如图，在矩形ABCD中，已知AD12，AB5，P是AD边上随意一点，PEBD于E，PFAC于F，那么PE+PF的值为_.(全国初中数学联赛试题) 6.如图，菱形ABCD的边长
16、为4cm，且ABC60，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为_.(“希望杯”邀请赛试题) 7.如图，ABC的周长为24，M是AB的中点，MCMA5，则ABC的面积是（）A.30B.24C.16D.12(全国初中数学联赛试题) 8.如图，ABCD中，ABC75，AFBC于F，AF交BD于E，若DE2AB，则AED的大小是（）A.60B.65C.70D.759.如图，已知AB，均垂直于，17，16，20，12，则AP+PB的值为（）A.15B.14C.13D.12(全国初中数学联赛试题) 10.如图1，ABC是直角三角形，C90，现将ABC补成矩形，使ABC的两个顶点为矩形一边的两
17、个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB（如图2）.解答问题：（1）设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为，则_（填“”、“”或“”）.（2）如图3，ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_个，利用图3画出来.（3）如图4，ABC是锐角三角形且三边满意BCACAB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？(陕西中考试题) 11.四边形ABCD中，ABBCCDDA，BAD120，M为BC上一点，N为CD
18、上一点.求证：若AMN有一个内角等于60，则AMN为等边三角形. 12.如图，六边形ABCDEF中，ABDE，BCEF，CDAF，对边之差BCEFEDABAFCD0.求证：该六边形的各角相等.(全俄数学奥林匹克试题) 八年级数学竞赛例题专题-梯形 专题21梯形阅读与思索梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特别四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加协助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的协助线的方法有：（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；（3）过较短底的一个顶点作
19、另一底的垂线；（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形如图所示： 例题与求解【例1】如图，在四边形ABCD中，AB/CD，D2B，AD和CD的长度分别为，那么AB的长是_.（荆州市竞赛试题）解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特别三角形【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB/CD由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形（1）求四边形ABCD四个内角的度数；（2）摸索究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图（山东省中考试题）解题思路：对于（1）、（2），在视察的
20、基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系，从作出梯形的常见协助线入手；对于（3），在（2）的基础上，绽开想象的翅膀，就可设计出若干种图形 【例3】如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，且ACBD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2，求梯形的高.（内蒙古自治区东四盟中考试题）解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手【例4】如图，在等腰梯形ABCD中，AB/DC，AB998，DC1001，AD1999，点P在线段AD上，问：满意条件BPC900的点P有多少个？（全国初中数学联赛试题）解题思路：依据ABDCAD这一关系，可以在AD上取点构造等腰三
21、角形 【例5】如图，在等腰梯形ABCD中，CD/AB，对角线AC，BD相交于O，ACD600，点S，P，Q分别为OD，OA，BC的中点（1）求证：PQS是等边三角形；（2）若AB5，CD3，求PQS的面积；（3）若PQS的面积与AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.【例6】如图，分别以ABC的边AC和BC为一边，在ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半（山东省竞赛试题）解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形
22、的判定与性质关键是要构造能运用条件EPPF的图形 实力训练A级1.等腰梯形中，上底：腰：下底1：2：3，则下底角的度数是_.（天津市中考试题）2.如图，直角梯形ABCD中，ABBC，AD3，BC5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转900至DE，连接AE，则ADE的面积为_.（宁波市中考试题）3如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD，A，12，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为_.4.如图，梯形ABCD中，AD/BC，EF是中位线，G是BC边上任一点，假如，那么梯形ABCD的面积为_.（成都市中考试题）5.等腰梯形的两条对角线相互垂直，则梯形的高和中位线的长之间的关系是()ABCD无法确
23、定6.梯形ABCD中，AB/DC，AB5，BC，BCD，CDA，则DC的长度是()A.B8C.D.E.（美国中学考试题）7如图，在等腰梯形ABCD中，ACBCAD，则DBC的度数是()A.300B.450C.600D.900（陕西省中考试8如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，AD2，BCDC5，点P在BC上移动，则当PAPD取最小值时，APD中边AP上的高为()ABCD3（鄂州市中考试题）9如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ABCD，点P为BC边上一点，PEAB，PFCD，BGCD，垂足分别为E，F，G求证：PEPFBG（哈尔滨市中考试题） 10.如图，在梯形ABCD中，A
24、D/BC，E，F分别为AB，AC中点，BD与EF相交于G求证：11.如图，等腰三角形ABC中，ABAC，点E、F分别是AB、AC的中点，CEBF于点O求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形；（2）（深圳市中考试题）12.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，过点E作EF/BC交CD于点F，AB4，BC6，B（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN/AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP当点N在线段AD上时（如图2），PMN的形态是否发生变更？若不变，求出PMN的周长；若变更，请说明理由当点N在线段DC上时（如图3），
25、是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，恳求出全部满意要求的的值；若不存在，请说明理由（江西省中考试题) B级1.如图，在梯形ABCD中，AB/DC，ADBC，AB10，CD4，延长BD到E，使DEDB，作EFAB交BA的延长线于点F，则AF_.（山东省竞赛试题）2.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABDC10cm，AC与BD相交于G，且AGD，设E为CG中点，F是AB中点，则EF长为_.（“希望杯”邀请赛试题）3.用四条线段：作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为_.（湖北赛区选拔赛试题）4.如图，梯形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点，且AO：CO
26、3：2，则两条对角线将梯形分成的四个小三角形面积之比为_.（安徽省中考试题）第4题图第5题图第6题图5.如图，在四边形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，若DEC的面积为S，则四边形ABCD的面积为()AB2SCD（重庆市竞赛试题）6.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，B，C，E，M，F，N分别为AB，BC，CD，DA的中点，已知BC7，MN3，则EF的值为()A4BC5D6（全国初中数学联赛试题）7.如图，梯形ABCD中，AB/DC，E是AD的中点，有以下四个命题：若ABDCBC，则BEC；若BEC，则ABDCBC；若BE是ABC的平分线，则BEC；若ABDCBC，则CE是DCB的平分
27、线.其中真命题的个数是()A1个B2个C3个D4个（重庆市竞赛试题）8.如图，四边形ABCD是一梯形，AB/CD，ABC，AB9cm，BC8cm，CD7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于()A1cmB1.5cmC2cmD2.5cm（“希望杯”邀请赛试题）9.如图，在梯形ABCD中，AB/DC，M是腰BC的中点，MNAD.求证：（山东省竞赛试题）10.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M.求证：点M为EF的中点.（全国初中数学联赛试题） 11.已知一个直角梯形的上底
28、是3，下底是7，且两条对角线的长都是整数，求此直角梯形的面积.（“东方航空杯”上海市竞赛试题） 12.如图1，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形OABD的边BD的三等分点（）交AB于E，AB12，四边形OEBF的面积为16.（1）求值.（2）已知，点P从A动身以0.5cm/s速度沿AB、BD向D运动，点Q从C同时动身，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动起先，经过多少时间，四边形PQCB为等腰梯形（如图2）.（3）在（2）条件下，在梯形PQCB内是否有一点M，使过M且与PB，CQ分别交于S，T的直线把PQCB的面积分成相等的两部分，若存在，请写出点M的坐标及CM的长度；若不存在，请说明理由. 第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页