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1、角的平分线教案角平分线的性质 教学目标1.了解角平分线的性质，并运用其解决一些实际问题。2.经验操作，推理等活动，探究角平分线的性质，发展空间观念，在解决问题的过程中进行有条理的思索和表达。 教材分析重点：角平分线性质的探究。难点：角平分线性质的应用。 教学方法：预学-探究-精导-提升 教学过程一创设问题情境，预学角平分线的性质阅读课本P128-P129，并完成预学检测。 二合作探究如图，OC为AOB的角平分线,P为OC上随意一点。提问：1.如何画出AOB的平分线？2.若点P到角两边的距离分别为PD,PE，量一量，PD,PC是否相等？你能说明为什么吗？让学生活动起来，通过测量，比较，得出结论。
2、老师激励学生大胆揣测，确定它们的发觉。 归纳：角平分线上随意一点到角两边的距离相等。 三想一想，巩固角平分线的性质三条马路两两相交，为更好的使马路得到维护，确定在三角区建立一个马路维护站，那么这个维护站应当建在哪里？才能使维护站到三条马路的距离都相等？三做一做，拓展课题如图，P为ABC的外角平分线上一点，且PEAB,PDAC，E,D分别是垂足，摸索索BE与PB+PD的大小关系。让学生充分探讨，激励学生自主完成。老师归纳：因为射线AP是ABC的外角CAE平分线，所以PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）所以PB+PD=PB+PE又PB+PEBE（三角形两边之和大于第三边）所以PB+PDB
3、E 思索：若CP也平分ABC中的ACB的外角，则射线BP有怎样的性质？点P又有怎样的位置？ 四课堂练习课本P130练习 五小结本节课学习了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，反过来，到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，三角形的三条角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。 六作业1.课本P130习题A组T1,T22.基础训练同步练习。3.选作拓展题。 七课后反思：新旧教法对比：新教法更有利于培育学生合作学习的实力。学生对于角平分线的性质可以倒背如流，但就是简单把到角两边的距离看错，在以后的教学中要多加强对距离的相识。 学案学习目标：1了解角平分线的性质。2并
4、运用角平分线的性质解决一些实际问题。 预学检测：1角平分线上随意一点到相等。2如图，已知1=2，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，则DE_DF已知DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，且DE=DF，则1_2 学点训练：1如图，OP平分AOB，PCOA，PDOB，垂足分别是C、D下列结论中错误的是()APC=PDBOC=ODCCPO=DPODOC=PC2如图，ABC中，C=90，AC=BC，AD是BAC的平分线，DEAB于E，若AC=10cm，则DBE的周长等于()A10cmB8cmC6cmD9cm巩固练习：已知：如图，在ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC求证：BC=AB+AD
5、拓展提升：如图，P为ABC的外角平分线上一点，且PEAB,PDAC，E,D分别是垂足，摸索索BE与PB+PD的大小关系。 角的平分线教学设计 15.4角的平分线教学目标【学问与技能】1.会阐述角平分线的性质定理及其逆定理.2.会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等.【过程与方法】1.经验探究角平分线作法的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间视察实力.2.探究角平分线定理,培育学生仔细探究、主动思索的实力.【情感、看法与价值观】1.体验数学与生活的联系,发展学生的空间观念和审美观.2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和主动性,使学生具有一些初步探讨问题的实力
6、.重点难点【重点】角平分线的性质定理及其逆定理.【难点】理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理.教学过程一、创设情境,导入新知师:同学们知道怎样作出角的平分线吗?生1:可以通过折纸得到一个角的平分线.生2:也可以用量角器来画一个角的平分线.师:下面我们来学习用尺规作图的方法作出AOB的平分线.作法:1.以O为圆心、随意长为半径圆弧分别交OA、OB于点M、N,如图(1).2.分别以点M、N为圆心,以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P,如图(2).3.作射线OP,则OP为所要求作的AOB的平分线,如图(3).师:通过上面的作图,启发我们可以用尺规完成:“经过一点作已知直线的垂线.”由于这一点可
7、能在直线上或直线外,这个作图要分两种状况:1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.已知:直线AB和AB上一点C,如图(1).求作:AB的垂线,使它经过点C.作法:作平角ACB的平分线CF.直线CF就是所求的垂线.2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知:直线AB和AB外一点C,如图(2).求作:AB的垂线,使它经过点C.作示:(1)随意取一点K,使K和C在AB的两旁;(2)以点C为圆心、CK长为半径作弧,交AB于点D和E;(3)分别以点D和点E为圆心、大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F;(4)作直线CF.直线CF就是所求的垂线.老师边操作边讲解:用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合
8、在一起,再把纸片绽开,你看到了什么?把对折的纸片接着随意折一次,然后把纸片绽开,又看到了什么?学生操作.师:从上面折纸中我们发觉,纸片第一次对折后的折痕是什么?生:是这个角的平分线.师:你其次次折时出现的两条折痕的长度之间有什么关系?生:一样长.师:因为其次次我们是随意折的,所以这种等长的折痕能折出多数对.二、共同探究,获得新知老师多媒体出示:操作:(1)折出如上图中的折痕PD、PE;(2)你和同桌用三角板测量一下,检测你们所折的折痕是否符合图示的要求.问题1:你能用文字语言阐述所画图形的性质吗?学生思索后回答.问题2:依据命题“在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”用符号语言填写下表:图
9、形已知事项由已知事项推出的事项OP平分AOB,PDOB,PEOA,垂足分别为D、EPD=PE (推证定理1)问题3:依据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表:图形已知事项由已知事项推出的事项DEAB,BCAC,垂足分别为E、C,DE=DC.DAE=DAC 问题4:用文字语言表述上表中的已知事项和由已知事项推出的事项.(推证定理2)三、练习新知,加深理解师:下面我们接着来探讨上面的问题3.老师多媒体出示:(1)AD平分BAC,DCAC,DEAB,(已知)DC=DE.()(2)DCAC,DEAB,DC=DE,(已知)点D在BAC的平分线上.()学生思索后抢答,老
10、师板书.第1个括号中填“角平分线上随意一点到角的两边的距离相等”,第2个括号中填“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.老师多媒体出示:【例1】已知:如图所示,C=C=90,AC=AC.求证:(1)ABC=ABC;(2)BC=BC.(要求不用三角形全等判定)学生思索后沟通探讨.老师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.证明:(1)C=C=90,(已知)ACBC,ACBC.(垂直的定义)又AC=AC,(已知)点A在CBC的角平分线上.(到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上)ABC=ABC.(2)C=C,ABC=ABC,180-(C+ABC)=180-(C+ABC).(
11、三角形内角和定理)即BAC=ABC.BCAC,BCAC,BC=BC.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)【例2】已知:如图,ABC中,B、C的平分线BE、CF相交于点P.求证:AP平分BAC.证明:过点P分别作PMBC、PNAC、PQAB,垂足分别为M、N、Q.BE是B的平分线,点P在BE上,(已知)PQ=PM.(角平分线上随意一点到角的两边的距离相等)同理PN=PM.PN=PQ.(等量代换)AP平分BAC.(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)四、课堂小结师:你今日学习了什么学问?有什么新的收获?学生回答,老师点评.教学反思本节课开头设计的折纸和画一画的活动,旨在丰富学生对角平分
12、线性质的感知,有利于学生借助直观图从而精确地用文字语言揭示角平分线的性质.由于部分学生经常把“过角平分线上一点向角两边画垂线段”与“过角平分线上一点画角平分线的垂线”混为一谈,因此设计操作(1)、(2),为学生能正确画出符合要求的图形,从直观上以及三角板的正确运用上都作了恰当的铺垫,同时也为定理1的推理论证作打算.通过学生自己动后操作、自己推导、自己发觉,从而得到角平分线的性质定理及其逆定理,充分发挥学生的探究意识,使学生在学习中体验并驾驭合作沟通的学习方法,同时进一步熬炼学生的数学语言表达实力,能写出规范的证明过程. 角的平分线的性质 12.3角的平分线的性质 1角的平分线的性质(1)内容角
13、的平分线上的点到角的两边的距离相等(2)书写格式如图所示，点P在AOB的角平分线上，PDOA，PEOB，PDPE.谈重点角平分线的性质的理解和应用(1)运用角的平分线的性质有两个条件：点在角的平分线上；过这一点作角的两边的垂线段结论是：这点到角的两边的距离相等，即两条垂线段相等(2)角的平分线的性质是证明两线段相等的方法之一，而且不用再证明两个三角形全等(3)假如已知一个点在角的平分线上，常作出该点到角两边的垂线段，运用性质得到两线段相等【例1】如图，在ABC中，C90，ABC的平分线BD交AC于点D.若CD2cm，则点D到直线AB的距离是_cm.解析：因为点D在ABC的角平分线上，所以点D到
14、直线AB的距离等于点D到直线BC的距离，即点D到直线AB的距离等于CD的长答案：22角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上(2)书写格式如图所示，PDOA，PEOB，PDPE，点P在AOB的角平分线上(3)作用运用角的平分线的判定，可以证明两个角相等和一条射线是角的平分线警误区角的平分线的性质和判定适用的条件在运用角的平分线的性质和判定时，往往错误地将一线段当作“距离”，主要缘由是不能正确理解角平分线的性质和判定，因此在运用角的平分线的性质和判定时，肯定要留意“距离”必需有垂直的条件【例2】如图所示，BECF，BFAC于点F，CEAB于点E，BF和CE交于点D
15、，求证：AD平分BAC.证明：BFAC，ABCE，DEBDFC90.在BDE和CDF中，DEBDFC，BDECDF，BECF，BDECDF(AAS)DEDF.又BFAC，ABCE，AD平分BAC(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)3运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中经常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可运用角平分线的性质解决实际问题时，肯定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，经常确定两线夹角的平
16、分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法4运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，假如出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)然后依据已知某点到角两边的距离相等，则经常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能依据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点5综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一
17、方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，依据角平分线的性质得线段相等同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可【例3】如图，某考古队为进行探讨，找寻一座古城遗址依据资料记载，该城在森林旁边，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m依据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址你能运用学过的学问在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试(比例尺为1100000
18、)解：如图作法：(1)以点C为圆心，以随意长为半径画弧，交两河岸于A，B两点，分别以A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点O，过C，O作射线CO.(2)按比例尺计算得古塔与P的图上距离为3cm，以古塔为圆心，以3cm长为半径画弧交CO于点P，则点P即为所求【例4】如图所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街两侧以及过街天桥AB的距离相等的点P处此时，这位民警发觉有一可疑分子从天桥A处走向B处，请问民警在凝视可疑分子从A处走到B处时，他的视线转过了多大角度？解：连接PA，PB.点P到BE，AF，AB的距离相等，PA，PB分别是FAB，EBA的角平分线，即PBA12EBA，PAB1
19、2FAB.BEAF，EBAFAB180.PBAPAB12(EBAFAB)90.APB180(PBAPAB)1809090，即民警的视线转过的角度为90.【例5】如图，AP，CP分别是ABC的外角MAC与NCA的平分线，它们相交于点P，PDBM于点D，PFBN于点F，求证：BP为MBN的平分线分析：要证BP为MBN的平分线，只需证PDPF，而AP，CP为外角平分线，故可过点P作PEAC于点E，依据角平分线的性质有PDPE，PFPE，所以PFPD.因此BP为MBN的平分线证明：过点P作PEAC于点E.AP，CP分别是MAC与NCA的平分线，PDBM于点D，PFBN于点F，PDPE，PFPE(角平分
20、线上的点到角两边的距离相等)PDPF.又PDBM于点D，PFBN于点F，点P在MBN的平分线上(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上)BP为MBN的平分线6运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，经常用到角的平分线的性质来解决尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是找寻角的平分线的一种比较简洁的方法三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线肯定过此交点三角形两个外角的平分线也交于一点
21、，这点到该三角形三边所在的直线距离相等三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个【例6】如下图所示，三条马路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现安排修建一个商品超市，要求这个超市到三条马路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；ACB，ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在CAB的平分线上，且到马路l1，l2，l3的距离相等；同理还有BAC，BCA的外角平分线的交点；BAC，CBA的外角平分线的交点，因此满意条件的点共有4个作法：(1)如右图所示，作出ABC两内角BAC，ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出ACB，ABC的外角平分线的交点O2，BAC，BCA的外角平分线的交点O3，BAC，CBA的外角平分线的交点O4；故满意条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4处 第12页 共12页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页