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1、/离散型随机变量典型题离散型随机变量典型题1有 3 张形状、大小、质量完全相同的卡片，在各张卡片上分别标上 0、1、2。现从这 3张卡片中任意抽出一张，读出其标号 ，然后把这张卡片放回去，再抽一张，其标号为，xy记。 （1）求的分布列；（2）求和。xyED解：（1）可能取的值为 0、1、2、4。 （2 分）且， （6 分）95)0(P91)1(P92)2(P91)4(P所求的分布列为： （8 分）（2）由（1）可知， （11 分）1914922911950E（14 分）916 91) 14(92) 12(91) 11 (95) 10(2222D2 （本题满分 14 分）甲与乙两人掷硬币，甲用一
2、枚硬币掷 3 次，记正面朝上的次为 ；乙用这枚硬币掷 2 次，记正面朝上的次为 .（1）分别求 和 的期望；（2）规定；若 ，则甲获胜，若 )=21 41 21 41 81 42 41 83 41 83）（）（P()=163)83 81(41 81 210124P95 91 92 91/所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为。21 1633甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为 0.6，被甲或乙解出的 概率为 0.92. （1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数的数学期望和方差.解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为 A、B. 设甲独立解出此题的概率为 P1，乙为
3、 P2.（2 分） 则 P（A）=P1=0.6,P(B)=P2:48. 08 . 06 . 0)()()2( 44. 08 . 04 . 02 . 06 . 0)()()()() 1(08. 02 . 04 . 0)()()0()2()7(8 . 032. 04 . 092. 06 . 06 . 092. 0)1)(1 (1)(1)(2222212121的概率分布为分即则BPAPPBPAPBPAPPBPAPPPPPPPPPPPPBAPBAP012P0.080.440.48)12(4 . 096. 136. 2)()(4 . 01728. 00704. 01568. 048. 0)4 . 12(
4、44. 0)4 . 11 (08. 0)4 . 10(4 . 196. 044. 048. 0244. 0108. 0022222分或利用EEDDE4口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字 1，三张标有数字 2，二张标有数 字 3，第一次从口袋里任里任意抽取一张，放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.（）为何值时，其发生的概率最大？说明理由；（）求随机变量的期望 E。解（I）依题意，随机变量的取值是 2、3、4、5、62 分因为 P（=2）=；P（=3）=649 8322 6418 83222 P（=4）=；P（=5）=；6421 8232322 64
5、12 82322/P（=6）=；7 分644 8222 所以，当=4 时，其发生的概率 P（=4）=最大8 分6421（）E=12 分415 644664125642146418364925 （本小题满分 12 分）A 有一只放有 x 个红球，y 个白球，z 个黄球的箱子（x、y、z0， 且） ，B 有一只放有 3 个红球，2 个白球，1 个黄球的箱子，两人各自从6zyx 自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为 A 胜，异色时为 B 胜.（1）用 x、y、z 表示 B 胜的概率；（2）当 A 如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？ 解：（1）显然 A 胜与 B 胜为对立事件，A 胜分
6、为三个基本事件： A1：“A、B 均取红球” ；A2：“A、B 均取白球” ；A3：“A、B 均取黄球”.61 6)(,31 6)(,21 6)(321zAPyAPxAP,3623)()()()(321zyxAPAPAPAP36231)(zyxBP（2）由（1）知，3623)(zyxAP0, 0, 0, 6zyxzyx又于是，即 A 在箱中只放 60, 6,21 3612 3623)(zyxzxzyxAP当个红球时，获胜概率最大，其值为.216某中学有 5 名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是，32(1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各
7、3 个座位，求体育教师不坐后排的概率；(2)若 5 人中恰有 r 人合格的概率为，求 r 的值；24380(3)记测试合格的人数为，求的期望和方差。解：(1)体育教师不坐后排记为事件 A，则。21)(1 61 3CCAP（2）每位考生测试合格的概率，测试不合格的概率为32P311 P则，即，24380)1 ()(5 55rrrPPCrP24380 32)31()32(555 5rr rrrCC， 8025rrC3r(3) )32, 5(B/ ,310 325E910 31 325D7袋中有 1 个白球和 4 个黑球，每次从其中任取一个球，直到取到白球为止.（）当每次取出的黑球不再放回时，求取球
8、次数的数学期望与方差；（）当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数的数学期望与方差。解（）当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回，所以的可能取值为 1，2，3，4，5，易知511) 1(1 5CP，511)3(,511)2(1 31 41 3 1 51 4 1 41 51 4CCC CCPCCCP，5111)5(,511)4(1 21 31 2 1 41 3 1 51 4 1 21 31 2 1 41 3 1 51 4CCC CC CCPCCC CC CCP故随机变量的概率分布列为：12345P51 51 51 51 5151)33(51)32(51)31
9、(, 3515514513512511222DE.6 分. 2)21012(51 51)35(51)34(2222222（）当每次取出的黑球仍放回去时，设随机变量是取球次数，因为每次取出的黑球仍放回去，所以的可能取值是一切正整数，141()( ),1,2,55kPkk所求概率分布为 123nP51 51 5451)54(251)54(1n 121221221.20551)54()(, 551)541 (1 51)54(kkkkkEEDkE8如图，一辆车要直行通过某十字路口，这时前方刚好由绿灯转为红灯.该车前面已有 4 辆车依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶）.已知每辆车直行的
10、概率为，左转行驶的概率.该路口红绿灯转换间隔均为 1 分钟.假设该车道上一辆直行的车32 31驶出停车线需要 10 秒，一辆左转行驶的车驶出停车线需要 20 秒.求：/（1）前面 4 辆车恰有 2 辆左转行驶的概率为多少？ （2）该车在第一次绿灯亮起的 1 分钟内能通过该十字路口的概率（汽车驶出停车线就算通 过路口） （3）假设每次由红灯转为绿灯的瞬间，所有排队等候的车辆都同时向前行驶，求该车在这 十字路口候车时间的数学期望。（1）)4(278)31()32(222 4分C（2）)8(2716)31()32()32(33 444 4分CC（3）设该车在十字路口停车等候时间为 t，则时间 t 的
11、分布列为时间 t(min)13 概率 P 2716 2711则停车时间的数学期望为)13(.min2749 2711327161分9某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验.1 2 （）第一小组做了 5 次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子） ，求他们的实验 至少有 3 次成功的概率； （）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子） ，如果在一次实验中种子发芽 成功就停止实验，否则就继续进行下次实验.直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过 5 次.求这一小组所做的种子发芽实验次数的分布列和期望。解：解：
12、（）至少有 3 次成功包括 3 次、4 次和 5 次成功，即：43324455 55511111( ) (1)( ) (1)( )0.522222CCC（）依题意有：12345P1 21 41 81 161 16 64111113112345248161616E 10从分别写有的九张卡片中，任意抽取两张，计算：1, 2,3, 4,5,6,7,8,9/（）卡片上的数字都是奇数的概率；（）当两张卡片上的数字之和能被 3 整除时，就说这次试验成功，求在 15 次试验中成功次数的数学期望。（）；2 5 12 95 18CPC（）一次试验成功的概率为，从而，故112 333 2 91 3CCCpC115
13、,3B:。11553Enp11甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中 6 题， 乙能答对其中的 8 题，规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题 才算合格。（）求甲答对试题数的概率分布及数学期望。（）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。解：（）依题意，甲答对试题数的概率分布如下：4 分甲答对试题数的数学期望：4 分59 61321210313010E（）设甲、乙两人考试合格的事件分别为BA、则32 12080 1202060)(310361426 CCCCAP理 9 分（文 6 分）1514 120112 1205656)(310
14、381228 CCCCBP甲、乙两人考试均不合格的概率为：451 151 31)15141)(321 ()()()(BPAPBAP甲、乙两人至少一个合格的概率为理文均 12 分4544 4511)(1BAPP12一出租车司机从饭店到火车站途中有 6 个交通岗，假设他在各交通岗遇红灯这一事件0123p 301 103 21 61/是相互独立的，并且概率都是。1 3 （I）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； （II）求这位司机在途中恰好遇到三次红灯的概率。解： （1）这位司机在第一、第二个交通岗都未遇到红灯，第三个交通岗遇到了红灯所以6 分p ()()11 311 31 34 27
15、 （II）这位司机在途中恰好遇到三次红灯的概率为13 分13学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有 2 人，会跳舞的有 5人，现从中选 2 人设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且107)0(P(I) 求文娱队的人数；(II) 写出的概率分布列并计算E解：设既会唱歌又会跳舞的有 x 人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是 （7-2 x）人(I)，107)0(P1) 1(P)0(P3 分103)0(P即103 CC2 x72 2x7103 )x6)(x7()2x6)(2x7(x=2 5 分 故文娱队共有 5 人7 分(II) 的概率分布列为012P 103 54
16、 101/，9 分54 CCC) 1(P2 51 41 2，11 分101 CC)2(P2 52 2 =1 13 分10125411030E14一台仪器每启动一次都随机地出现一个 10 位的二进制数，其中 A 的A 12310a a aa各位数字中，出现 0 的概率为，出现 1 的概率为，例如：11a (2,3,10)ka k 1 32 3 ，其中，1001110001A 237890aaaaa456101aaaa记。当启动仪器一次时，12310Saaaa（1）求的概率；3S （2）求，且有 3 个 1 连排在一起其余无任 2 个 1 连排在一起的概率。5S 解：（1）；227 972116(
17、 ) ( )333PC（2）（注：分三类 1110-；110-；10-）2245 65921640(5)( ) ( )333PCA 15如图 A、B 两点之间有 6 条网线并联，他们能通过的最大信息量分别为 1、1、2、2、3、4，现从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量； 、设选取的三条网线由 A 到 B 可通过的信息总量为 x，当 x6 时，才能保证信息畅通， 求线路信息畅通的概率； 求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望。解： 1 141236 11 22 3 611(6)4CCp xC124223712 22 3 611(7)4CCP xC112234/1 342248 1 2
18、3 613(8)20CP xC1 2 3 612349(9)10CP xC (6)(6)(7)(8)(9)p xp xp xp xp x1131153 442010204即线路信息畅通的概率为6 分3 41 2 3 611 124(4)10Cp xC 1 2 3 6131 1 31225(5)20Cp xC 信息总量 x 分布列x456789P1 103 201 41 43 201 10 1311314567896.5410442010xE 线段同过信息量的数学期望为 6.5 13 分16某中学篮球队进行投篮训练，每人在一轮练习中最多可投篮 4 次，现规定一旦命中即 停止该轮练习，否则一直投到
19、 4 次为止.已知运动员甲的投篮命中率为 0.7. （1）求一轮练习中运动员甲的投篮次数 的分布列，并求出 的期望 E（结果保留 两位有效数字） ； （2）求一轮练习中运动员甲至少投篮 3 次的概率.解：(1) 的可能取值为 1，2，3，4， =1 时，P（=1）=0.7 =2 时，P（=2）=0.7(1-0.7)=0.21; =3 时，P（=3）=0.7(1-0.7)2=0.063 =4 时，P（=4）=0.7(1-0.7)3+(1-0.7)4=0.027. 的分布为1234P0.70.210.0630.027E=10.7+20.21+30.063+40.027=1.4 (2)P(3)=P(
20、=3)+P(=4)=0.063+0027=0.09/17、 甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中 10 环的概率为，乙射击一次命中 10 环21的概率为 s，若他们各自独立地射击两次，设乙命中 10 环的次数为 ，且 的数学期望E=，表示甲与乙命中 10 环的次数的差的绝对值.34(1)求 s 的值及的分布列，(2)求的数学期望.解解: :(1)依题意知 B(2，s)，故 E=2s=，34s= 2 分32的取值可以是 0，1，2.1、 乙两人命中 10 环的次数均为 0 次的概率是，361)31()21(221、 乙两人命中 10 环的次数均为 1 次的概率是，92)32 31 31 32)(
21、21 21 21 21(1、 乙两人命中 10 环的次数均为 2 次的概率是，91)32 32)(21 21(=0)= 6 分p3613 91 92 361甲命中 10 环的次数为 2 次且乙命中 10 环的次数为 0 次的概率是，361)31 31)(21 21(甲命中 10 环的次数为 0 次且乙命中 10 环的次数为 2 次的概率是91)32 32)(21 21(=2)=， p91 361365(=1)=1(=0)(=2)= 10 分ppp21 365 36131故的分布列是12 分（2）E= 14 分97 36522113613018一位学生每天骑自行车上学, 从他家到学校有 5 个交
22、通岗, 假设他在交通岗遇到红灯是 相互独立的, 且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为 p , 其余 3 个交通岗遇到红灯的概率均为.21(1) 若, 求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率;32p (2) 若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过, 求 p 的取值范围.185012p 3613 21 365/解解: (1) 记该学生在第 个交通岗遇到红灯, iiA)5 , 2 , 1i (.121 21)211 ()321 ()AAA(P321答：该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率为6 分.121(2) 该学生至多遇到一次红灯指没有遇到红灯（记为 A）或恰好遇到一次红灯（记为 B）7 分,)p
23、1 (81)211 (C)p1 (C)A(P230 320 230 31 221 320 2)211 (C)p1 (pC)211 (C)p1 (C)B(P9 分).p1 (p41)p1 (83211 分2)p1 (81.38p31 185)p1 (p41)p1 (832又 所以 p 的取值范围是12 分, 1p0.1,31 19一些零件中有 10 个合格品与 3 个次品，安装机器时，从这批零件中任取一个. 各个零 件被抽到的可能性相同，如果每次取出的产品都不放回此批产品中，求：（）直到取出合格品为止时所需抽取次数的分布列和 E；（）在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列和 E. （精确到
24、0.01）解：（）的取值为 1，2，3，4当= 1 时，即只取一次就取到合格品，P（= 1）= （2 分）;1310当= 2 时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，P（= 2）=， （4 分）265 1210 133类似地，P（= 3）= 1435 1110 122 133P（= 4）= （6 分）2861 1010 111 122 133的分布列为 1234P1310 265 1435 2861E= 1 （8 分）27. 1286141435326521310（）的取值为 0，1，2，3./就是说= 1 时，= 0= 2 时，= 1= 3 时，= 2= 4 时，= 3=1 （10 分）的分布列为0123P1310 265 1435 2861E= E（1）= E1= 1.271= 0.27 （12 分）