二项式定理知识点和各种题型归纳带答案.pdf

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1、二项式定理 1二项式定理:011()()nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC bnN,2根本概念:二项式展开式:右边的多项式叫做()nab的二项展开式。二项式系数:展开式中各项的系数rnC(0,1,2,)rn.项数:共(1)r 项,是关于a与b的齐次多项式 通项:展开式中的第1r 项rnrrnC ab叫做二项式展开式的通项。用1rn rrrnTC ab表示。3注意关键点:项数:展开式中总共有(1)n项。顺序:注意正确选择a,b,其顺序不能更改。()nab与()nba是不同的。指数:a的指数从n逐项减到0,是降幂排列。b的指数从0逐项减到n,是升幂排列。各项的次数和等于n.系

2、数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,.rnnnnnnCC CCC项的系数是a与b的系数包括二项式系数。4常用的结论:令1,abx 0122(1)()nrrnnnnnnnxCC xC xC xC xnN 令1,abx 0122(1)(1)()nrrnnnnnnnnxCC xC xC xC xnN 5性质:二项式系数的对称性:与首末两端“对距离的两个二项式系数相等,即0nnnCC,1kknnCC 二项式系数和:令1ab,那么二项式系数的和为0122rnnnnnnnCCCCC,变形式1221rnnnnnnCCCC。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:在二项式定理中,

3、令1,1ab,那么0123(1)(1 1)0nnnnnnnnCCCCC,从而得到:0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC 奇数项的系数和与偶数项的系数和:0011222012012001122202121001230123()()1,(1)1,(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxC a xC axC axC a xaa xa xa xxaC a xC axC a xC a xa xa xa xaxaaaaaaxaaaaaa 令则令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2nnnnnnaaaaaaaaaaaa得奇数项的系数和得偶数

4、项的系数和 二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数n是偶数时,那么中间一项的二项式系数2nnC取得最大值。如果二项式的幂指数n是奇数时,那么中间两项的二项式系数12nnC,12nnC同时取得最大值。系数的最大项:求()nabx展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为121,nA AA,设第1r 项系数最大,应有112rrrrAAAA,从而解出r来。6二项式定理的十一种考题的解法:题型一:二项式定理的逆用;例:12321666 .nnnnnnCCCC 解:012233(16)6666nnnnnnnnCCCCC与的有一些差距,123211221666(666)6nnnnnn

5、nnnnnCCCCCCC 0122111(6661)(16)1(71)666nnnnnnnnCCCC 练:1231393 .nnnnnnCCCC 解:设1231393nnnnnnnSCCCC,那么122330122333333333331(13)1nnnnnnnnnnnnnnnSCCCCCCCCC(13)14133nnnS 题型二:利用通项公式求nx的系数;例:在二项式3241()nxx的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有3x的项的系数?解:由条件知245nnC,即245nC,2900nn,解得9()10nn 舍去 或,由 2102110343411010()()rrrrrrrTCxxC

6、x,由题意1023,643rrr解得,那么含有3x的项是第7项6336 110210TC xx,系数为210。练:求291()2xx展开式中9x的系数?解:2918 218 31999111()()()()222rrrrrrrrrrrTCxC xxCxx,令1839r,那么3r 故9x的系数为339121()22C。题型三:利用通项公式求常数项;例:求二项式2101()2xx的展开式中的常数项?解:5202 1021101011()()()22rrrrrrrTCxCxx,令52002r,得8r,所以88910145()2256TC 练:求二项式61(2)2xx的展开式中的常数项?解:666 2

7、16611(2)(1)()(1)2()22rrrrrrrrrrTCxCxx,令620r,得3r,所以3346(1)20TC 练:假设21()nxx的二项展开式中第5项为常数项,那么_.n 解:4244421251()()nnnnTCxC xx,令2120n,得6n.题型四:利用通项公式,再讨论而确定有理数项;例:求二项式93()xx展开式中的有理项?解:12719362199()()(1)rrrrrrrTCxxC x,令276rZ,(09r)得39rr或,所以当3r 时,2746r,334449(1)84TC xx ,当9r 时,2736r,3933109(1)TC xx 。题型五:奇数项的二

8、项式系数和=偶数项的二项式系数和;例:假设2321()nxx展开式中偶数项系数和为256,求n.解:设2321()nxx展开式中各项系数依次设为01,na aa 1x 令,那么有010,naaa,1x 令,那么有0123(1)2,nnnaaaaa 将-得:1352()2,naaa 11352,naaa 有题意得,1822562n ,9n。练:假设35211()nxx的展开式中,所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。解:0242132112rrnnnnnnnnCCCCCCC ,121024n,解得11n 所以中间两个项分别为6,7nn,5654355 1211()()462nTCxxx,

9、61156 1462Tx 题型六:最大系数,最大项;例:1(2)2nx,假设展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少?解:46522,21980,nnnCCCnn解出714nn或,当7n 时,展开式中二项式系数最大的项是45TT和34347135()2,22TC的系数,434571()270,2TC的系数当14n 时,展开式中二项式系数最大的项是8T,7778141C()234322T的系数。练:在2()nab的展开式中,二项式系数最大的项是多少?解:二项式的幂指数是偶数2n,那么中间一项的二项式系数最大,即2112nnTT,也就是第1n项。

10、练:在31()2nxx的展开式中,只有第5项的二项式最大,那么展开式中的常数项是多少?解:只有第5项的二项式最大,那么152n,即8n,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C 例:写出在7()ab的展开式中,系数最大的项?系数最小的项?解:因为二项式的幂指数7是奇数,所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有34347TC a b 的系数最小,43457TC a b系数最大。例:假设展开式前三项的二项式系数和等于79,求1(2)2nx的展开式中系数最大的项?解:由01279,nnnCCC解出12n,假设1rT项最大,12121211(2)()(14)22xx

11、 1111212111212124444rrrrrrrrrrrrAACCAACC,化简得到9.410.4r,又012r,10r,展开式中系数最大的项为11T,有121010101011121()4168962TCxx 练:在10(12)x的展开式中系数最大的项是多少?解:假设1rT项最大,1102rrrrTCx 111010111121010222(11)12(10)22,rrrrrrrrrrrrCCAArrAArrCC解得,化简得到6.37.3k,又010r,7r,展开式中系数最大的项为7777810215360.TCxx 题型七:含有三项变两项;例:求当25(32)xx的展开式中x的一次项

12、的系数?解法:2525(32)(2)3 xxxx,2515(2)(3)rrrrTCxx,当且仅当1r 时,1rT的展开式中才有 x 的一次项,此时124125(2)3rTTCxx,所以x得一次项为144542 3C Cx 它的系数为144542 3240C C。解法:255505145051455555555(32)(1)(2)()(22)xxxxC xC xCC xC xC 故展开式中含x的项为4554455522240C xCC xx,故展开式中x的系数为 240.练:求式子31(2)xx的常数项?解:3611(2)()xxxx,设第1r 项为常数项,那么66 261661(1)()(1)

13、rrrrrrrTCxCxx,得620r,3r,333 16(1)20TC .题型八:两个二项式相乘;例:342(12)(1)xxx求展开式中的系数.解:333(12)(2)2,mmmmmxxx的展开式的通项是 CC 444(1)C()C1,0,1,2,3,0,1,2,3,4,nnnnnxxxmn 的展开式的通项是其中 342,02,11,20,(12)(1)mnmnmnmnxx令则且且且因此 20022111122003434342(1)2(1)2(1)6xCCCCCC 的展开式中的系数等于.练:610341(1)(1)xx求展开式中的常数项.解:436103341261061041(1)(1

14、)mnmnmnmnxC xC xCCxx展开式的通项为 0,3,6,0,1,2,6,0,1,2,10,43,0,4,8,mmmmnmnnnn其中当且仅当即或或 0034686106106104246CCCCCC时得展开式中的常数项为.练:2*31(1)(),28,_.nxxxnNnnx已知的展开式中没有常数项且则 解:3431()CC,nrn rrrnrnnxxxxx展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得 44142C,C,C,28rnrrnrrnrnnnxxxn展开式中不含常数项 441424,83,72,6,5.nrnrnrnnnn且且,即且且 题型九:奇数项的系数和与偶数项的系数和;

15、例:2006(2),2,_.xxSxS在的二项展开式中 含 的奇次幂的项之和为当时 解:2006123200601232006(2)xaa xa xa xax设=-2006123200601232006(2)xaa xa xa xax=-3520052006200613520052()(2)(2)a xa xa xaxxx得 2006200620061(2)()(2)(2)2xS xxx展开式的奇次幂项之和为 3 20062200620063008122,(2)(22)(22)222xS 当时 题型十:赋值法;例:设二项式31(3)nxx的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为s,假设

16、 272ps,那么n等于多少?解:假设230121(3)nnnxaa xa xa xx,有01nPaaa,02nnnnSCC,令1x 得4nP,又272ps,即42272(217)(216)0nnnn解得216217()nn 或舍去,4n.练:假设nxx13的展开式中各项系数之和为64,那么展开式的常数项为多少?解:令1x,那么nxx13的展开式中各项系数之和为264n,所以6n,那么展开式的常数项为33361(3)()Cxx 540.例:200912320092009120123200922009(12)(),222aaaxaa xa xa xaxxR若则的值为 解:200920091212

17、0022009220091,0,2222222aaaaaaxaa 令可得 20091202200901,1.222aaaxa 在令可得因而 练:55432154321012345(2),_.xa xa xa xa xa xaaaaaa若则 解:0012345032,11,xaxaaaaaa 令得令得 1234531.aaaaa 题型十一:整除性;例:证明:22*389()nnnN能被 64 整除 证:2211389989(81)89nnnnnn 011121111111888889nnnnnnnnnnCCCCCn 011121118888(1)189nnnnnnCCCnn 01112111888nnnnnnCCC 由于各项均能被 64 整除22*389()64nnnN能被整除

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