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1、数列求通项公式的方法 一、叠加法 1适用于：-这是广义的等差数列 累加法是最基本的两个方法之一;2若1()nnaaf n(2)n,则 21321(1)(2)()nnaafaafaaf n 两边分别相加得 111()nnkaaf k 例 1 已知数列na满足11211nnaana，,求数列na的通项公式;解：由121nnaan得121nnaan则 所以数列na的通项公式为2nan;例 2.已知数列na中,0na且)(21nnnanaS,求数列na的通项公式.解:由已知)(21nnnanaS得)(2111nnnnnSSnSSS,化简有nSSnn212,由类型 1 有nSSn32212,又11aS
2、得11a,所以2)1(2nnSn,又0na,2)1(2nnsn,则2)1(2)1(2nnnnan 练习 1,已知数列 na的首项为 1,且*12()nnaan nN写出数列 na的通项公式.答案：12 nn 练习 2.已知数列na满足31a,)2()1(11nnnaann,求此数列的通项公式.答案：裂项求和 14nan 练习 3.已知数列 na满足211a,nnaann211,求na;解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann 分别令)1(,3,2,1 nn,代入上式得)1(n个等式累加之,即)()()()(1342312 nnaaaaaaaa 所以naan111 211a,nna
3、n1231121 评注：已知aa 1,)(1nfaann,其中 fn 可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项na.若 fn 是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;若 fn 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和;若 fn 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;若 fn 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和;二、叠乘法 1.适用于：1()nnaf n a-这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二;2若1()nnaf na,则31212(1)(2)()nnaaafff naaa，两边分别相乘得,1111()nnkaaf ka 例
4、3.已知数列 na满足321a,nnanna11,求na;解：由条件知11nnaann,分别令)1(,3,2,1 nn,代入上式得)1(n个等式累乘之,即 又321a,nan32 练习 1.已知数列na满足112(1)53nnnanaa，,求数列na的通项公式;解：因为112(1)53nnnanaa，,所以0na,则12(1)5nnnana,故1321122112211(1)(2)2 1(1)122(1 1)52(2 1)52(2 1)5 2(1 1)5 32(1)3 2 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn 所以数列na的通项公式为(1)123 25!.
5、n nnnan 练习 2.设 na是首项为 1 的正项数列,且011221nnnnaanaann=1,2,3,则它的通项公式是na=_.解：已知等式可化为：0)1()(11nnnnnaanaa 0na*Nnn+101nnnaa,即11nnaann 2n时,nnaann11 112211aaaaaaaannnnn=121121nnnn=n1.评注：本题是关于na和1na的二次齐次式,可以通过因式分解一般情况时用求根公式得到na与1na的更为明显的关系式,从而求出na.练习.已知1,111annaann,求数列an的通项公式.答案：na)1()!1(1an-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关
6、系式,11nnaann转化为),1(11nnana若令1nnab,则问题进一步转化为nnnbb1形式,进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于1()nnaqaf n 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数;1形如0(,1cdcaann,其中aa 1型 1 若 c=1 时,数列na为等差数列;2 若 d=0 时,数列na为等比数列;3 若01且dc时,数列na为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1nnaca,得)1(1ccaann,与题设,1dcaann比较系数得 dc)1(,所以)0(,1c
7、cd所以有：)1(11cdaccdann 因此数列1cdan构成以11cda为首项,以 c 为公比的等比数列,所以 11)1(1nnccdacda 即：1)1(11cdccdaann.规律：将递推关系dcaann1化为)1(11cdaccdann,构造成公比为 c 的等比数列1cdan从而求得通项公式)1(1111cdaccdann 例 4.已知数列na中,111,21(2)nnaaan,求数列 na的通项公式;解：121(2),nnaan 又112,1naa 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 12nna,即21nna 四逐项相减法逐差法 1：有时我们从递推关系dcaann1中把 n 换成
8、 n-1 有dcaann1,两式相减有)(11nnnnaacaa从而化为公比为 c 的等比数列1nnaa,进而求得通项公式.)(121aacaannn,再利用类型1即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例 5 已知数列na中,111,21(2)nnaaan,求数列 na的通项公式;解：121(2),nnaan 两式相减得112()(2)nnnnaaaan,故数列1nnaa是首项为 2,公比为 2 的等比数列,再用累加法的 练习已知数列na中,2121,211nnaaa求通项na;答案：1)21(1nna 2形如：nnnqapa1 其中 q 是常数,且 n0,1 若 p=1 时,即：nnnq
9、aa1,累加即可.若1p时,即：nnnqapa1,求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以1np.目的是把所求数列构造成等差数列 即：nnnnnqppqapa)(111,令nnnpab,则nnnqppbb)(11,然后类型 1,累加求通项.ii.两边同除以1nq.目的是把所求数列构造成等差数列;即：qqaqpqannnn111,令nnnqab,则可化为qbqpbnn11.然后转化为类型 5 来解,iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设)(11nnnnpapqa.通过比较系数,求出,转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时,要求 pq,否则待定系数法会失效;例 6 已知数列n
10、a满足11124 31nnnaaa，,求数列 na的通项公式;解法一待定系数法：设11123(3nnnnaa),比较系数得124,2,则数列14 3nna 是首项为1 114 35a ,公比为 2 的等比数列,所以114 35 2nnna ,即114 35 2nnna 解法二两边同除以1nq：两边同时除以13n得：1122433 33nnnnaa,下面解法略 解法三两边同除以1np：两边同时除以12n得：nnnnnaa)23(342211,下面解法略 练习.已知数列 na中,651a,11)21(31nnnaa,求na;解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211nnn
11、naa 令nnnab 2,则1321nnbb,应用例 7 解法得：nnb)32(23 所以nnnnnba)31(2)21(32 3形如bknpaann1 其中 k,b 是常数,且0k 方法 1：逐项相减法逐差法 方法 2：待定系数法 通过凑配可转化为 )1()(1ynxapyxnann;解题基本步骤：1、确定()f n=kn+b 2、设等比数列)(yxnabnn,公比为 p 3、列出关系式)1()(1ynxapyxnann,即1nnpbb 4、比较系数求x,y 5、解得数列)(yxnan的通项公式 6、解得数列 na的通项公式 例 7 在数列na中,23,111naaann求通项na.逐项相减
12、法 解：,231naann 2n时,)1(231naann,两式相减得 2)(311nnnnaaaa.令nnnaab1,则231nnbb 利用类型 5 的方法知2351nnb 即 13511nnnaa 再由累加法可得213251nann.亦可联立 解出213251nann.练习.在数列na中,362,2311naaann,求通项na.待定系数法 解：原递推式可化为ynxayxnann)1()(21 比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为12nnbb 所以 nb是一个等比数列,首项299611nab,公比为21.1)21(29nnb 即：nnna)21(996 故96)21(9nann.5.形
13、如21 nnnapaqa时将na作为()f n求解 分析：原递推式可化为211()()nnnnaapaa的形式,比较系数可求得,数列1nnaa为等比数列;例 8 已知数列na满足211256,1,2nnnaaa aa,求数列na的通项公式;解：设211(5)()nnnnaaaa 比较系数得3 或2,不妨取2,取-3 结果形式可能不同,但本质相同 则21123(2)nnnnaaaa,则12nnaa是首项为 4,公比为 3 的等比数列 1124 3nnnaa,所以114 35 2nnna 练习 1.数列na中,若2,821aa,且满足03412nnnaaa,求na.答案：nna311.练习 2.已
14、知数列:,且满足的各项都是正数naNnaaaannn),4(21,110,求数列na的通项公式 an.解：,4)2(21)4(2121nnnnaaaa所以 21)2()2(2nnaa nnnnnnnnnbbbbbab22212122222112)21()21(21)21(2121,2则令又 bn=1,所以1212)21(22,)21(nnnnnbab即.方法 2：本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.解法 3：设 cnnb,则 c2121nnc,转化为上面类型1 来解 五、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例 9 已知数列na满足112,12nnnaaaa,求数列na的
15、通项公式;解：求倒数得11111111111,22nnnnnnaaaaaa为等差数列,首项111a,公差为12,112(1),21nnnaan 六、对数变换法 适用于rnnpaa1其中 p,r 为常数型 p0,0na 例 10.设正项数列 na满足11a,212nnaan2.求数列 na的通项公式.解：两边取对数得：122log21lognnaa,)1(log21log122nnaa,设1log2nanb,则12nnbb nb是以 2 为公比的等比数列,11log121b 11221nnnb,1221lognan,12log12nan,1212nna 练习 数列 na中,11a,12nnaan
16、2,求数列 na的通项公式.答案：nna2222 例 11 已知数列na满足512 3nnnaa,17a,求数列na的通项公式;解：因为5112 37nnnaaa，,所以100nnaa，;两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan 设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny 同类型四 比较系数得,lg3lg3lg2,4164xy 由1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg71041644164a ,得lg3lg3lg2lg04164nan,所以数列lg3lg3lg2lg4164nan是以lg3lg3lg2lg74164为首项,以 5 为公比的等比数列,则1lg3lg3lg2
17、lg3lg3lg2lg(lg7)541644164nnan,因此11111111116164444111115161644445415151164lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)54164464lg(7 332)5lg(332)lg(7 332)lg(332)lg(732)nnnnnnnnnnan 则11541515164732nnnnna;七、换元法 适用于含根式的递推关系 例 12 已知数列na满足111(14124)116nnnaaaa，,求数列na的通项公式;解：令1 24nnba,则21(1)24nnab 代入11(14124)16nnnaaa得 即2214(3)n
18、nbb 因为1 240nnba,则123nnbb,即11322nnbb,可化为113(3)2nnbb,所以3nb 是以1131 2431 24 132ba 为首项,以21为公比的等比数列,因此121132()()22nnnb,则21()32nnb,即21124()32nna,得 2 111()()3 423nnna;八、逐差法 2 逐项相减法 1、递推公式中既有nS,又有na 分析：把已知关系通过11,1,2nnnS naSSn转化为数列 na或nS的递推关系,然后采用相应的方法求解;例 13 已知数列na的各项均为正数,且前 n 项和nS满足1(1)(2)6nnnSaa,且249,a a a
19、成等比数列,求数列na的通项公式;解：对任意nN有1(1)(2)6nnnSaa 当 n=1 时,11111(1)(2)6Saaa,解得11a 或12a 当 n2 时,1111(1)(2)6nnnSaa -整理得：11()(3)0nnnnaaaa na各项均为正数,13nnaa 当11a 时,32nan,此时2429aa a成立 当12a 时,31nan,此时2429aa a不成立,故12a 舍去 所以32nan 练习;已知数列na中,0na且2)1(21nnaS,求数列na的通项公式.答案：nnnaSS1 212)1()1(nnaa 12 nan 2、对无穷递推数列 例 14 已知数列na满足
20、11231123(1)(2)nnaaaaanan，,求na的通项公式;解：因为123123(1)(2)nnaaaanan 所以1123123(1)nnnaaaanana 用式式得1.nnnaana 则1(1)(2)nnana n 故11(2)nnanna 所以13222122!(1)4 3.2nnnnnaaanaan naaaaa 由123123(1)(2)nnaaaanan,21222naaa取得,则21aa,又知11a,则21a,代入得!1 3 4 52nnan ;所以,na的通项公式为!.2nna 数列的通项公式与求和 112342421,1(1,2,3,)3(1),.(2)nnnnnn
21、anSaaSna a aaaaa 数列的前 项为且，求的值及数列的通项公式求 1112,1(1,2,).:(1);(2)4nnnnnnnnanSaaS nnSnSa 数列的前 项和记为已知，证明数列是等比数列*121(1)()3(1),;(2):.nnnnnanSSanNa aa 已知数列的前 项为，求求证 数列是等比数列 11211,.2nnnnaaaaann 已知数列满足求 112,.31nnnnnaaaaan 已知数列满足求 111511,().632nnnnnaaaaa 已知数列中,求 111:1,.31nnnnnaaaaaa 已知数列满足，求数列的通项公式 练 8 若等比数列na的前
22、n项和 S2,则2232221naaaa 练习 9 求和：5,55,555,5555,5(101)9n,；练习 10 求和：1111 447(32)(31)nn 练习 1 练习 2 练习 3 练习 4 练习 5 练 习 6 练习 7 练习 11 已知求和：111112123123n 练 习 12 设na是等差数列,nb是各项都为正数的等比数列,且 111ab,3521ab,5313ab 求na,nb的通项公式；求数列nnab的前 n 项和nS 答案 练习 1 答案：练习 2 证明：1 注意到：an+1=Sn+1-Sn 代入已知第二条式子得：Sn+1-Sn=Snn+2/n nSn+1-nSn=S
23、nn+2 nSn+1=Sn2n+2 Sn+1/n+1=Sn/n2 又 S1/1=a1/1=1不等于 0 所以Sn/n是等比数列 2 由 1 知,Sn/n是以 1 为首项,2 为公比的等比数列;所以 Sn/n=12n-1=2n-1 即 Sn=n2n-1 代入 an+1Snn+2/n 得 an+1=n+22n-1 n 属于 N 即 an=n+12n-2 n 属于 N 且 n1 又当 n=1 时上式也成立 所以 an=n+12n-2 n 属于 N 由式得：Sn+1=n+12n =n+12n-222 =n+12n-24 对比以上两式可知：Sn+1=4an 练习 3 答案：1 a1=S1=1/3a1-1
24、 a1=-1/2 a2=S2-S1=1/3a2-1+1/2 3a2=a2-1+3/2 2a2=1/2 a2=1/4 2 3Sn=an-1 3Sn-1=an-1-1 相减：3an=an-an-1 2an=-an-1 an/an-1=-1/2 所以an为等比数列 练习 4 累加法,答案：练习 5 累乘法,答案：练习 6 待定系数法,答案：练习 7 倒数法,答案：练习 8 公式法,答案：练习 9 答案：555555555nnS 个5(999999999)9n个 23550510101010(101)9819nnnn 练习 10,列项相消法,答案31nn 练习 11,列项相消法 1/1+2+3+n=1
25、/nn+1/2=2/nn+1 所以原式=1+2/23+2/34+2/nn+1=1+21/2-1/3+1/3-1/4+1/n-1/n+1=1+21/2-1/n+1=2-2/n+1 练习 12 错位相减法 答案：解：设 na的公差为d,nb的公比为q,则依题意有0q 且4212211413dqdq，解得2d,2q 所以1(1)21nandn,112nnnbq1212nnnanb 122135232112222nnnnnS,3252321223222nnnnnS,nan123nan32113()2()23nnna 得 22122221222222nnnnS,1111212221212nnn 12362nn