经典双曲线知识点汇总.pdf

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1、双曲线:了解双曲线的定义、几何图形和标准方程;了解双曲线的简单几何性质。重点:双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及简单的几何性质.难点:双曲线的标准方程,双曲线的渐进线.知识点一:双曲线的定义在平面,到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数(大于 0 且)的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意:1.双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件:,这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解;2.若去掉定义中的“绝对值”,常数满足约束条件:(),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支;若(),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支;3.若常数

2、满足约束条件:,则动点轨迹是以 F1、F2为端点的两条射线(包括端点);4若常数满足约束条件:,则动点轨迹不存在;5若常数,则动点轨迹为线段 F1F2的垂直平分线。知识点二:双曲线的标准方程 1当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,其中;2当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,其中.注意:1只有当双曲线的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程;2在双曲线的两种标准方程中,都有;3双曲线的焦点总在实轴上,即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时,焦点在轴上,双曲线的焦点坐标为,;当的系数为正时,焦点在轴上,双曲线的焦点坐标为,.知识点三:双曲线的简单几何性质

3、双曲线(a0,b0)的简单几何性质 (1)对称性:对于双曲线标准方程(a0,b0),把 x 换成x,或把 y 换成y,或把 x、y 同时换成x、y,方程都不变,所以双曲线(a0,b0)是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为双曲线的中心。(2)围:双曲线上所有的点都在两条平行直线 x=a 和 x=a 的两侧,是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足 x-a 或 xa。(3)顶点:双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲线(a0,b0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点,坐标分别为 A1(a,0),A2(a,0),顶点是双曲线两支上

4、的点中距离最近的点。两个顶点间的线段 A1A2叫作双曲线的实轴;设 B1(0,b),B2(0,b)为 y 轴上的两个点,则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长。注意:双曲线只有两个顶点,而椭圆有四个顶点,不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。(4)离心率:双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用 e 表示,记作。因为 ca0,所以双曲线的离心率。由 c2=a2+b2,可得,所以决定双曲线的开口大小,越大,e 也越大,双曲线开

5、口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线,所以离心率。(5)渐近线:经过点 A2、A1作 y 轴的平行线 x=a,经过点 B1、B2作 x 轴的平行线 y=b,四条直线围成一个矩形(如图),矩形的两条对角线所在直线的方程是。我们把直线叫做双曲线的渐近线。注意:双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交。知识点四:双曲线与的区别和联系 标准方程 图形 性质 焦点,焦距 围,对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=,虚轴长=离心率 准线方程 渐近线方程 知识点五:双曲线的渐近线:(1)已知双曲线方程求渐近线方程:若双曲线方程为,则其渐近线方程为注意:(1)已

6、知双曲线方程,将双曲线方程中的“常数”换成“0”,然后因式分解即得渐近线方程。(2)已知渐近线方程求双曲线方程:若双曲线渐近线方程为,则可设双曲线方程为,根据已知条件,求出即可。(3)与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为(,焦点在轴上,焦点在 y 轴上)(4)等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直,为,因此等轴双曲线可设为.知识点六:双曲线图像中线段的几何特征:双曲线,如图:(1)实轴长,虚轴长,焦距,(2)离心率:;(3)顶点到焦点的距离:,;(4)中结合定义与余弦定理,将有关线段、和角结合起来.1如何确定双曲线的标准方程?当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,双曲

7、线的方程才是标准方程形式。此时,双曲线的焦点在坐标轴上。2双曲线标准方程中的三个量 a、b、c 的几何意义 双曲线标准方程中,a、b、c 三个量的大小与坐标系无关,是由双曲线本身所确定的,分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:ca,cb,且 c2=b2+a2。3如何由双曲线标准方程判断焦点位置 双曲线的焦点总在实轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看 x2、y2的系数,如果 x2项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上;如果 y2项的系数是正的,那么焦点在 y 轴上。注意:对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦

8、点在哪一条坐标轴上。4方程 Ax2+By2=C(A、B、C 均不为零)表示双曲线的条件 方程 Ax2+By2=C 可化为,即,所以只有 A、B 异号,方程表示双曲线。当时,双曲线的焦点在 x 轴上;当时,双曲线的焦点在 y 轴上。5求双曲线标准方程的常用方法:待定系数法:由题目条件确定焦点的位置,从而确定方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数、的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;定义法:由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。注意:若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉,点的集合成为双曲线的一支,先确定方程类型,再确定参数 a、b,即先定型,再定量。若两种类型

9、都有可能,则需分类讨论。6如何解决与焦点三角形PF1F2(P 为双曲线上的点)有关的计算问题?与焦点三角形有关的计算问题时,常考虑到用双曲线的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题,将有关线段、,有关角结合起来,建立、之间的关系.7如何确定离心率 e 的取值情况与双曲线形状的关系?:离心率,因为 c2=a2+b2,用 a、b 表示为,当 e 越大时,越大,即渐近线夹角(含 x 轴)越大,故开口越大;反之,e 越小,开口越小。离心率反映了双曲线开口的大小,且 e1。8椭圆、双曲线的区别和联系:椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|MF2|=

10、2a ac0,a2c2=b2(b0)0ac,c2a2=b2(b0),(ab0),(a0,b0,a 不一定大于 b)标准方程统一为:类型一:双曲线的定义 1已知O1:(x+5)2+y2=4,O2:(x5)2+y2=9(1)若动圆 P 与1,2均切,求动圆圆心 P 点的轨迹;(2)若动圆 Q 与1,2均外切,求动圆圆心 Q 点的轨迹。解析:(1)设P 半径为 R,O1与O2相离,|PO1|=R2,|PO2|=R3|PO1|PO2|=1,又|O1O2|=10 由双曲线的定义,P 点的轨迹是以 O1,O2为焦点,2a=1,2c10 的双曲线的右支。(2)设Q 半径为 r,则|QO1|=r+2,|QO2

11、|=r+3|QO2|QO1|=1,又|O1O2|=10 由双曲线的定义,Q 点的轨迹是以 O1,O2为焦点,2a=1,2c10 的双曲线的左支。举一反三:【变式 1】已知定点 F1(2,0)、F2(2,0),平面满足下列条件的动点 P 的轨迹为双曲线的是()A|PF1|PF2|=3B|PF1|PF2|=4C|PF1|PF2|=5 D|PF1|2|PF2|2=4【答案】A 【变式 2】已知点 F1(0,13)、F2(0,13),动点 P 到 F1与 F2的距离之差的绝对值为 26,则动点 P 的轨迹方程为()Ay=0 By=0(x13 或 x13)Cx=0(|y|13)D以上都不对【答案】C 【

12、变式 3】已知点 P(x,y)的坐标满足,则动点 P 的轨迹是()A椭圆 B双曲线中的一支 C两条射线 D以上都不对 答案:B 类型二:双曲线的标准方程:2求与双曲线有公共焦点,且过点的双曲线的标准方程。解法一:依题意设双曲线方程为=1 由已知得,又双曲线过点,:故所求双曲线的方程为.解法二:依题意设双曲线方程为,将点代入,解得,所以双曲线方程为.【变式 1】求与椭圆有共同的焦点,且过点的双曲线的标准方程。【答案】依题意设双曲线方程为 由已知得,又双曲线过点,故所求双曲线的方程为.【变式 2】求中心在原点,对称轴为坐标轴,且顶点在轴,焦距为 10,的双曲线的标准方程.【答案】3已知双曲线的两个

13、焦点 F1、F2之间的距离为 26,双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为 24,求双曲线的标准方程。解析:由题意得 2a=24,2c=26。a=12,c=13,b2=132122=25。当双曲线的焦点在 x 轴上时,双曲线的方程为;当双曲线的焦点在 y 轴上时,双曲线的方程为。总结升华:求双曲线的标准方程就是求 a2、b2的值,同时还要确定焦点所在的坐标轴。双曲线所在的坐标轴,不像椭圆那样看 x2、y2的分母的大小,而是看 x2、y2的系数的正负。【变式】求中心在原点,对称轴为坐标轴,且虚轴长与实轴长的比为,焦距为 10 的双曲线的标准方程.【答案】由已知设,,则()依题意,解得.当双曲线

14、的焦点在 x 轴上时,双曲线的方程为 当双曲线的焦点在 y 轴上时,双曲线的方程为.类型三:双曲线的几何性质 4方程表示双曲线,数 m 的取值围。解析:由题意得或或。实数 m 的取值围为。总结升华:方程 Ax2+By2=1 表示双曲线时,A、B 异号。【变式 1】k9 是方程表示双曲线的()A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件 【答案】B 【变式 2】求双曲线的焦距。【答案】8 【变式 3】已知双曲线 8kx2ky2=2 的一个焦点为,则 k 的值等于()A2 B1 C1 D【答案】C 【变式 4】(2011)设双曲线的渐近线方程为,则的值为 A4

15、 B3 C2 D1【答案】C 5已知双曲线方程,求渐近线方程。(1);(2);(3);(4)解析:(1)双曲线的渐近线方程为:即(2)双曲线的渐近线方程为:即(3)双曲线的渐近线方程为:即 (4)双曲线的渐近线方程为:即 总结升华:双曲线的渐近线方程为,双曲线的渐近线方程为 即;若双曲线的方程为(,焦点在轴上,焦点在 y 轴上),则其渐近线方程为。【变式 1】求下列双曲线方程的渐近线方程。:(1);(2);(3)【答案】(1);(2);(3)【变式 2】中心在坐标原点,离心率为的圆锥曲线的焦点在 y 轴上,则它的渐近线方程为()A B C D【答案】D 6根据下列条件,求双曲线方程。(1)与双

16、曲线有共同的渐近线,且过点;(2)一渐近线方程为,且双曲线过点。解析:(1)解法一:当焦点在 x 轴上时,设双曲线的方程为 由题意,得,解得,所以双曲线的方程为 当焦点在 y 轴上时,设双曲线的方程为 由题意,得,解得,(舍去)综上所得,双曲线的方程为 解法二:设所求双曲线方程为(),将点代入得,所以双曲线方程为即(2)依题意知双曲线两渐近线的方程是.故设双曲线方程为,点在双曲线上,解得,所求双曲线方程为.总结升华:求双曲线的方程,关键是求、,在解题过程中应熟悉各元素(、及准线)之间的关系,并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程,可设双曲线方程为().【变式 1】中心在原点,一个焦点在

17、(0,3),一条渐近线为的双曲线方程是()A、B、C、D、【答案】D 【变式 2】过点(2,-2)且与双曲线有公共渐进线的双曲线是()A B C D【答案】A 【变式 3】以为渐近线的双曲线方程不可能是()A4x29y2=1 B9y24x2=1 C4x29y2=(R 且0)D9x24y2=(R 且0)【答案】D 【变式 4】双曲线与有相同的()A实轴 B焦点 C渐近线 D以上都不对 【答案】C 类型四:双曲线的离心率:7已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于 A、B两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。解析:,是正三角形,【变式 1】已知双曲线-=1 与 x 轴正半轴交

18、于 A 点,F 是它的左焦点,设 B 点坐标为(0,b),且 ABBF,则双曲线的离心率为()A、B、C、D、【答案】B 【变式 2】若椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为_【答案】【变式 3】双曲线的渐进线方程,则双曲线的离心率为_ 【答案】【变式 4】等轴双曲线的离心率为_【答案】类型五:双曲线的焦点三角形 8已知双曲线实轴长 6,过左焦点的弦交左半支于、两点,且,设右焦点,求的周长.解析:由双曲线的定义有:,.即.故的周长.【变式 1】已知双曲线的方程,点 A、B 在双曲线的右支上,且线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2,|AB|=m,F1为另一焦点,则ABF1的周长为()A2a+2m B4a+2m Ca+m D2a+4m【答案】B 【变式 2】已知是双曲线的两个焦点,P 在双曲线上且满足,则_ 【变式 3】已知双曲线,P 为双曲线上一点,是双曲线的两个焦点,并且,求的面积。【答案】

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