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1、2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 1【知识归纳梳理】一、空间几何体的结构特征 1。多面体的结构特征（1）棱柱错误!(2)棱锥错误!（3)棱台 棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分。2.旋转体的结构特征(1）圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到.（2）圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边旋转得到.（3）圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到.（4)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到.注意（1)认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征时,易忽视定义
2、，可借助于几何模型强化对空间几何体的结构特征的认识.（2)台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行。二、空间几何体的三视图与直观图 1.空间几何体的三视图（1）空间几何体的三视图包括正（主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线。(2)三视图的画法 基本要求：长对正,高平齐,宽相等。画法规则：正侧一样高，正俯一样长,侧俯一样宽；看不到的线画虚线。注意 若相邻两物体的表面相交，则表面的交线是它们的分界线，在三视图中,要注意实、虚线的区别.2。空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用斜二测_画法,基本步骤是:(1)在已知图形中取互相
3、垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O,画直观图时，把它们画成对应的 x轴、y轴，两轴相交于点 O，且使xOy 45(或 135）.（2）已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段,在直观图中分别平行于 x轴、y轴。(3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半。（4)在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面,在直观图中对应的 z轴也垂直于 xOy平面,已知图形中平行于 z 轴的线段,在直观图中仍平行于 z轴且长度不变。注意 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图错误!S原图形，S原图形2
4、错误!S直观图。三、空间几何体的表面积和体积 1。空间几何体的表面积 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥,由此可得:S圆柱侧2rl错误!S圆台侧（rr)l错误!S圆锥侧rl 注意 组合体的表面积应注意重合部分的处理.2。空间几何体的体积(1）柱体:V柱体Sh；V圆柱r2h。（2）锥体:V锥体错误!Sh；V圆锥错误!r2h.(3）台体：V台体错误!（S错误!S）h；V圆台错误!h(r2rrr2）。3。球体(1）球的表面积公式:S4R2；球的体积公式 V错误!R3(2）正方体与球：正方体的内切球:截面图为正方形 EFHG 的内切圆，如图所示.设正方体
5、的棱长为 a,则|OJr错误!（r 为内切球半径）.与正方体各棱相切的球:截面图为正方形 EFHG 的外接圆，则GO|R错误!a.正方体的外接球：截面图为正方形 ACC1A1的外接圆,则|A1OR错误!a.2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 2 (3)正四面体与球:如图，设正四面体的棱长为 a，内切球的半径为 r,外接球的半径为 R，取 AB 的中点为 D，连接 CD，SE 为正四面体的高,在截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，圆心在高 SE 上的圆。因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为
6、O.此时，COOSR，OEr,SE 错误!a，CE错误!a,则有 Rr 错误!a,R2r2|CE|2错误!，解得 R错误!a,r错误!a。【第 1 讲：空间几何体的结构特征及三视图】题型 1:空间几何体的结构特征【典型例题】例 1（1）设有以下四个命题:底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；棱台的相对侧棱延长后必交于一点;直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥。其中真命题的序号是_.解析:命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；正确，如图 1,
7、PD平面 ABCD，其中底面 ABCD 为矩形,可证明PAB，PCB 为直角,这样四个侧面都是直角三角形；命题由棱台的定义知是正确的；错误，当以斜边为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥.如图 2 所示,它是由两个同底圆锥形成的.答案：（2)以下命题：直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱；圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台;棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台。其中正确的命题序号是_。【答案】例 2（1）用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（)A。圆柱 B。圆锥 C.球体 D。圆柱、圆锥、球体的组合体
8、 解析：选 C 截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体.（2）下列结论正确的是（）A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B。以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 3 C。棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析:选 D A 错误,如图 1 是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥；B 错误,如图 2，若 ABC 不是直角三角
9、形，或 ABC 是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥；C 错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥。易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.图 1 图 2【变式训练】1.判断正误（1）有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()（2）有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥（）(3）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面()答案：（1）(2）（3）2。下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱;若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱；若四棱柱的四条对角线
10、两两相等,则该四棱柱为直四棱柱。其中,真命题的编号是_。【答案】3.给出四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱;对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四棱柱。其中正确的命题个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A 题型 2:空间几何体的三视图与直观图【典型例题】例 1(1)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（）【答案】C(2）如图由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图,其中小立方体中的数字表示相应位置的小立方体的个数,则该几何体的侧视图为()2018 届数学高考一轮
11、复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 4 解析：选 C 由俯视图知侧视图从左到右能看到的小立方体个数分别为 2，3，1。（3）已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）【答案】B （4）一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图为（）【答案】C (5）如图所示,E、F 分别为正方体 ABCDA1B1C1D1的面 ADD1A1、面 BCC1B1的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面 DCC1D1上的投影是_。(填序号)【答案】例 2（1)（2014福建)某空间几何体
12、的正视图是三角形,则该几何体不可能是()A。圆柱 B.圆锥 C.四面体 D。三棱柱【答案】A 考向 1因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形,故选 A.(2)(2014课标）如图,网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A.三棱锥 B。三棱柱 C。四棱锥 D。四棱柱 解析B 由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形,分析可知该几何体为三棱柱,故选 B.(3)（教材例题改编)已知空间几何体的三视图如图,则该几何体是由_组合而成。2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、
13、表面积和体积 知识梳理题型剖析 5 答案：圆柱和正四棱柱(4)(教材习题改编）如图，长方体 ABCD-ABCD被截去一部分，其中 EHAD,则剩下的几何体是_,截去的几何体是_。答案：五棱柱 三棱柱(5）（2015北京朝阳期末）一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(）A.1 B.2 C.3 D.4 解析 D 满足条件的四棱锥的底面为矩形,且一条侧棱与底面垂直，如图所示，易知该四棱锥四个侧面均为直角三角形.例 3(1)利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是_。(写出所有正确的序号）三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；圆的直
14、观图是椭圆；菱形的直观图是菱形。【答案】（2)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图,边 AB 平行于 y 轴,BC,AD 平行于 x 轴.已知四边形 ABCD 的面积为 2 2 cm2，则原平面图形的面积为（)A.4 cm2 B.4错误!cm2C。8 cm2D.8错误!cm2 解析:选 C 依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形,上下底面的长与 BC，AD 相等,高为梯形 ABCD 的高的 2错误!倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2。(3)(2014湖北)在如图所示的空间直角坐标系 O.xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0,2)，（2，2，0）,(1，2，1），（2,2
15、，2）。给出编号的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(）2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 6 A。和B。和C.和D.和 解析:选 D 在空间直角坐标系 O.xyz 中作出棱长为 2 的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示,由图可知，该四面体的正视图为,俯视图为.选 D.【变式训练】1。(2011课标全国)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为（)【答案】D 2.（2015成都一诊)若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是（）解析C 由题意知,俯视
16、图的长度和宽度相等,故 C 不可能.3。（2015南阳三模）已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形,侧视图是有一条直角边为 2 的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()解析：选 C 当正视图为等腰三角形时,则高应为 2,且应为虚线,排除 A，D;当正视图是直角三角形,由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线 PA 形成的投影,应为虚线，故答案为 C。4.(2015桂林一调）已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的(）2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳
17、理题型剖析 7 解析C 选项 A,B，D 中的俯视图,正方形内的线应该为另一条对角线，当四棱锥的直观图为右图时，它的三视图是 C.5.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为:长方形;正方形；圆；椭圆.其中正确的是_。答案:6.(2016 天津文）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左)视图为()A B C D【答案】B 7。(2015东北三校联考）利用斜二测画法可以得到：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形;正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是_.答案:8。（2015福
18、州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是()解析:选 A 由直观图可知,在直观图中多边形为正方形,对角线长为 2，所以原图形为平行四边形，位于 y 轴上的对2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 8 角线长为 2 2。9。（2013四川)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是（）【答案】D 考向 1由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，圆台的下底面和圆柱的底面恰好重合.10。(2014江西)一个几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是
19、（）【答案】B 俯视图为在水平投射面上的正投影,结合几何体可知选 B。【第 2 讲：空间几何体的三视图与表面积和体积】题型 3:空间几何体的三视图与表面积【典型例题】例 1（1）(2015北京石景山一模）正三棱柱的侧（左）视图如图所示,则该正三棱柱的侧面积为_.解析：由侧（左）视图知：正三棱柱的高(侧棱长）为 2,底边上的高为错误!,所以底边边长为 2,侧面积为 32212。答案：12（2）（2014日照一模)如图是一个几何体的正视图和侧视图,其俯视图是面积为 8错误!的矩形。则该几何体的表面积是（）.A。8 B.208错误!C。16 D。248错误!解析 由已知俯视图是矩形,则该几何体为一个
20、三棱柱，根据三视图的性质，俯视图的矩形宽为2错误!,由面积8错误!,得长为 4，则该几何体的表面积为 S212222错误!4224208错误!。答案 B（3)(2014许昌模拟)如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1的圆,那么这个几何体的表面积为()。2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 9 A。4 B。32 C.3 D。2 解析 由三视图可知，该几何体是一个圆柱，S表2错误!211错误!.答案 B(4）（2016湖南长沙联考)已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸
21、，可得这个几何体的表面积是_.【解析】由题意知，该几何体是一个侧放的圆锥，圆锥底面位于右侧,底面圆的半径为 1,圆锥的高为 2,易知其母线长为错误!，所以其表面积为 S1(1错误!）错误!。【答案】错误!（5)（2016课标 III）如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(）A.1836 5 B.5418 5C。90 D.81 解析 B 考向 2由图可知，该几何体为四棱柱，S表2S底2S前2S侧 23223623错误!183618错误!5418错误!.例 2（1）已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S。ABC，则它的表面积为_.解析:过
22、 S 作 SDBC，BCa,SD错误!a S SBC错误!a2，表面积 S4错误!a2错误!a2。答案：错误!a2（2）（2015北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 1 0 A。2错误!B。4错误!C.22错误!D。5 【解析】作出三棱锥的示意图如图,在 ABC 中，作 AB 边上的高 CD，连接 SD。在三棱锥 S。ABC 中，SC底面 ABC,SC1，底面三角形 ABC 是等腰三角形，ACBC，AB 边上的高 CD2,ADBD1,斜高 SD错误!，ACBC错误!.
23、S表S ABCS SACS SBCS SAB错误!22错误!1错误!错误!1错误!错误!2错误!22错误!。(3)（2015遵义模拟）一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（）A。错误!错误!B.错误!错误!C。错误!错误!D.错误!错误!解析：选 C 由三视图还原为空间几何体,如图所示,则有 OAOB1,AB错误!.又 PB平面 ABCD,PBBD，PBAB,PD 221 5，PA 212 3,从而有 PA2DA2PD2,PADA，该几何体的侧面积 S2错误!错误!12错误!错误!错误!错误!错误!.(4）(2016北京房山一模)某四棱锥的三视图如图所示，则最长的
24、一条侧棱的长度为（)A.错误!B.错误!C。错误!D。错误!3.C 考向 1由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，直观图如图所示，其中 PA面 ABCD,PA1,AD1，CD1，AB2,PD错误!，PC错误!，而在 Rt PAB 中,PB错误!错误!错误!错误!,故最长的侧棱为 PB,其长度为错误!，故选 C。2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 1 1 （5)(2014课标）如图所示,网络纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（
25、)A.6错误!B。4错误!C。6 D.4 【解析】由三视图可知该几何体为图中棱长为4的正方体中的三棱锥P.ABC.由图可知，最长棱为PC 4242226.例 3(1)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆,如图所示，则该几何体的表面积为_.解析由三视图知该几何体为上底直径为 2,下底直径为 6，高为 2 3的圆台，则几何体的表面积 S19（13）2 322226。答案：26(2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_。解析 如图所示：该几何体为长为 4，宽为 3,高为 1 的长方体内部挖去一个底面半径为 1,高为 1 的圆柱后剩下的部分。S表（41
26、3431）221121238。答案 38(3）（2015课标）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 1620，则 r()A。1 B。2 C.4 D。8 2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 1 2 解析 B 由题意知，该几何体是由半个圆柱与半个球组合得到的。则表面积 S2r22错误!r24r22r25r24r22016,r2。(4)2014 重庆理某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为(）A。54 B。60 C。66 D。72
27、俯视图左视图正视图3245 【答案】B【解析】在长方体中构造几何体ABCA B C，如右图所示，4,5,2,3ABA AB BAC，经检验该几何体的三视图满足 题设条件.其表面积ABCACC AABB ABCC BA B CSSSSSS，35156 15 146022，故选择 CBACBA(5）(2014安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(）A.21错误!B.18错误!C。21 D。18 解析 A 由三视图知,该多面体是由正方体割去两个角后剩下的部分,如图所示,2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 1 3
28、 则 SS正方体2S三棱锥侧2S三棱锥底2423错误!112错误!(错误!)221错误!。【变式训练】1。（2015北京西城期末）已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为_。解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左）视图中三角形的高，另一边是棱长。因为侧（左)视图中三角形的边长为 2,所以高为错误!,所以正视图的面积为 2错误!.答案：2错误!2.（2015云南一检）如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于 5 的圆,那么这个空间几何体的表面积等于()A.100 B.错误!C。25D。错误!
29、解析：选 A 易知该几何体为球，其半径为 5,则表面积为 S4R2100。3.（2013湖南）已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（)。A.1 B.2 C。错误!D.错误!解析 由俯视图的面积为 1 可知，该正方体的放置如图所示，当正视图的方向与正方体的侧面垂直时，正视图的面积最小,其值为 1，当正视图的方向与正方体的对角面 BDD1B1或 ACC1A1垂直时,正视图的面积最大,其值为错误!，由于正视图的方向不同，因此正视图的面积 S1,2.故选 C。答案 C 4.（2014陕西）将边长为 1 的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周
30、，所得几何体的侧面积是（）A。4 B.3C。2 D。解析：选 C 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱,底面半径为 1，高为 1，其侧面积 S2rh2112.5.(2013临沂一模）具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为（）.A.3 B.73 2C.错误!D。14 解析 由正视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱。由图可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为 1，底面边长分别为 1，3，所以表面积为 2(131131）14.答案 D 6。（2015山东淄博模拟)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成的三棱锥 A
31、.BCD 的正(主）视图与俯视图如图所示,则其侧（左）视图的面积为()A。错误!B。错误!C.错误!D.错误!2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 1 4 解析 D 由正（主)视图与俯视图可得三棱锥 A-BCD 的一个侧面与底面垂直,其侧（左）视图是直角三角形,且直角边长均为错误!，所以侧(左)视图的面积为 S错误!错误!错误!错误!.7.（2016西安一模）如图,网格纸中的小正方形的边长均为 1,图中粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为(）A。错误!(错误!3错误!4）B。错误!（错误!3错误!8）C.错
32、误!（错误!错误!8）D。错误!（错误!2错误!8）解析 B 根据三视图可知该几何体是底面为直角三角形的三棱锥，其表面积 S错误!错误!错误!错误!错误!31223错误!错误!错误!错误!(错误!3错误!8）,故选 B。8。（2016课标)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A。20 B.24 C.28 D.32 解析 C S表r22r4错误!2rR4162错误!28。9。(2013 重庆文)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A。180 B.200 C。220 D。240 【答案】D 10。(2014 浙江理)某几何体的三视图（单位：cm）如图所
33、示，则此几何体的表面积是(）A。90cm2B.129cm2 C.132cm2D.138cm2 2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 1 5 【答案】D【解析】由三视图知:几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为 3,底面是直角边长分别为 3、4 的直角三角形，四棱柱的高为 6,底面为矩形，矩形的两相邻边长为 3 和 4,几何体的表面积 S=246+36+33+234+2 34+(4+5)3=48+18+9+24+12+27=138（cm2)。11.(2017 北京理)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最
34、长棱的长度为（)。A。3 2B.2 3C.2错误!D.2 解析 几何体四棱锥如图所示,最长棱为正方体的体对角线，即 2222222 3l.故选 B。12.（2017 全国 1 理)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为().A.10B。12C。14D。16 解析 由三视图可画出立体图,如图所示，该多面体只有两个相同的梯形的面，24226S梯,6212S全梯.故选 B.2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识
35、梳理题型剖析 1 6 题型 4:空间几何体的三视图与体积【典型例题】例 1(1)(2013陕西）某几何体的三视图如图所示，则其体积为_。解析 该几何体为一个半圆锥,故其体积为 V错误!错误!1222错误!.答案 错误!（2）(2015惠州二调)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左(侧）视图均为半径是 2 的圆，则这个几何体的体积是()A。16B。14C。12D.8 解析：选 D 由三视图可知,该几何体为一个球切去四分之一个球后剩余的部分,由于球的(3）(2013广东）某四棱台的三视图如图所示,则四棱台的体积是(）。A。4 B。错误!C。错误!D。6 解析 由四棱台的三视图可知该四棱台的上
36、底面是边长为 1 的正方形；下底面是边长为 2 的正方形,高为 2。由棱台的体积公式可知该四棱台的体积 V错误!（12错误!22)2错误!,故选 B.答案 B（4）(2016四川）已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_.解析 考向 3【解析】由题可知锥体的高为 1,底面积为错误!2错误!1错误!，V锥错误!错误!1错误!.【答案】错误!例 2(1）(2015浙江)某几何体的三视图如图所示（单位：cm)，则该几何体的体积是（）A.8 cm3 B.12 cm3 C.错误!cm3 D.错误!cm3 2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)
37、空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 1 7 解析 C 由题意得,该几何体由一个正方体与一个正四棱锥组合而成，所以体积 V23错误!222错误!。（2）（2017 山东理)由一个长方体和两个错误!圆柱体构成的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为。解析 该几何体的体积为2111 22 1 1242V .(3）某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积(单位：cm3）是().A.错误!1 B.错误!3 C.错误!1 D.错误!3 解析由三视图可知，直观图是由半个圆锥与一个三棱锥构成,半圆锥体积为2111=13232S,三棱锥体积为211=2 13=132
38、S，所以几何体体积1212SSS.故选 A。（4）(2013课标)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（).A。168 B。88C。1616 D.816 2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 1 8 解析 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分别为 4,2，2，圆柱的底面半径为 2、高为 4。所以 V224错误!224168。故选 A。（5)(2015广东中山模拟）已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积（单位：cm3)为_。解析 错误!由三视图,该组合体上部是一个三棱锥,下部
39、是一圆柱由图中数据知 V圆柱121 三棱锥垂直于底面的侧面是边长为 2 的等边三角形，且边长是 2,故其高即为三棱锥的高，高为错误!，故棱锥高为错误!由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为 2，故两直角边长都是错误!，底面三角形的面积是错误!错误!错误!1,故 V棱锥错误!1错误!错误!,故该几何体的体积是 错误!。例 3（1)（2015山东实验模拟)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（)A。错误!B.8错误!C.82 D。8错误!解析 D 由三视图可知，几何体为正方体内挖去一个圆锥,所以该几何体的体积为 V正方体V锥23错误!（122)8错误!.(2)（2013辽宁）某几何体的
40、三视图如图所示，则该几何体的体积是_.解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱,圆柱底面圆半径为 2，高为 4，故体积为 16;正四棱柱底面边长为 2,高为 4，故体积为 16,所以几何体的体积为 1616。(3)（2015河南天一联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(）2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 1 9 A.12 B.8 C。12 D。6 解析 C 由三视图可知，原几何体是底面边长为 2 的正方形,高为 3 的棱柱,里面挖去一个半径为 1 的球，所以所求几何体的体积为 12，故选 C
41、.（4)(2017 全国 2 理)如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为()。A.90 B.63C。42 D.36 解析 该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半,如图所示。2211 3 10 366322 VVV总上。故选 B。466（5）(2015唐山统考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A。816 B。816C。88 D.168 解析：选 B 由三视图可知：几何体为一个半圆柱去掉一个直三棱柱。半圆柱的高为 4,底面半圆的半径为 2，直三棱柱的底面为斜边是 4 的等
42、腰直角三角形,高为 4,故几何体的体积 V错误!224错误!424816。例 4（1）(2014福州模拟）如图所示,已知三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC,则三棱锥B1ABC1的体积为()。A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 2 0 解析三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积,三棱锥AB1BC1的高为错误!,底面积为12,故其体积为错误!错误!错误!错误!。（2)（2012山东)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,E,F
43、 分别为线段 AA1，B1C 上的点,则三棱锥 D1EDF 的体积为_.一般解法 三棱锥 D1EDF 的体积即为三棱锥 FDD1E 的体积.因为 E，F 分别为 AA1,B1C 上的点,所以在正方体ABCDA1B1C1D1中 EDD1的面积为定值错误!，F 到平面 AA1D1D 的距离为定值 1,所以错误!错误!1错误!.优美解法E 点移到 A 点，F 点移到 C 点,则错误!错误!111错误!.答案 错误!(3)(2014安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（)A。错误!B。错误!C.6 D.7 解析：选 A 如图，由三视图可知,该几何体是由棱长为 2 的正方体从右后和左下分
44、别截去一个小三棱锥得到的，其体积为 V82错误!1错误!11错误!。(4)(2014山东）三棱锥 P.ABC 中,D，E 分别为 PB,PC 的中点,记三棱锥 D。ABE 的体积为 V1,P。ABC 的体积为 V2，则错误!_。解析如图，设点 C 到平面 PAB 的距离为 h,三角形 PAB 的面积为 S,则 V2错误!Sh,V1VEADB错误!错误!S错误!h错误!Sh，所以错误!错误!。(5)（2013江苏)如图,在三棱柱 A1B1C1ABC 中,D，E,F 分别是 AB,AC，AA1的中点,设三棱锥 FADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1ABC 的体积为 V2,则 V1V2_.2
45、018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 2 1 解析 设三棱柱A1B1C1ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S,则V1错误!错误!S错误!h错误!Sh错误!V2,即 V1V2124.答案 124 例 5(1）(2015课标）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺,高五尺.问:积及为米几何？其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1。62 立方尺，
46、圆周率约为 3，估算出堆放的米约有(）A.14 斛 B.22 斛 C。36 斛 D.66 斛 解析 B 设圆锥的底面半径为 r,错误!2r8，r错误!，V错误!错误!错误!5错误!.设米堆共有 x 斛，则 1。62x错误!,解得 x22(斛）。(2)（2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为_.解析 设新的底面半径为 r，根据题意得 错误!524228错误!r248r2,即 28r2196,r错误!。【答案】错误!【变式训练】1.（201
47、3 广东文）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是（)A。错误!B.错误!C。错误!D.图 21俯视图侧视图正视图21【答案】B 2.（2016天津）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位:m）,则该四棱锥的体积为_m3。2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 2 2 解析 依题意得，该四棱锥底面平行四边形的一边长为 2，高为 1。又依据正视图知该四棱锥高为 3,V四棱锥错误!Sh错误!2132(m3）.【答案】2 3。(2016课标）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂
48、直的半径，若该几何体的体积是283，则它的表面积是（)A.17 B.18 C。20 D。28 解析 A 由三视图可知该几何体为球去掉一个18球。设球的半径为 R，则 V错误!错误!R3错误!,得 R2.故其表面积 S错误!4R23错误!R214317.4.(2015山东）在梯形 ABCD 中，ABC错误!,ADBC,BC2AD2AB2。将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.错误!B。错误!C.错误!D.2 解析 如图,过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E,梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为
49、底面圆半径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为 VV圆柱V圆锥AB2BC13CE2DE1221312153。5.(2014山东)一个六棱锥的体积为 2 3,其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_.解析：由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为 h,则错误!6错误!22h2错误!,解得 h1，底面正六边形的中心到其边的距离为错误!，故侧面等腰三角形底边上的高为错误!2,故该六棱锥的侧面积为错误!12212.答案：12 6.（2014江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2,体积分别
50、为 V1,V2，若它们的侧面积相等,且错误!错误!，则错误!的值是_.【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为 r1,h1,r2,h2,由侧面积相等,即 2r1h12r2h2,得错误!错误!。又S1S2错误!错误!,所以错误!错误!，则错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!.2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积 知识梳理题型剖析 2 3 【答案】错误!7.（2014天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3。解析：该几何体是一个组合体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱.因为 V圆锥13222错误