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1、2019-2020 年高考数学二轮复习 限时训练 19 立体几何 理 1.(xx 长春市高三模拟)如图，在四棱锥 P-ABCD,PAL平面ABCD PA=AB=AD=2,四 BE 边形ABC瞒足AB丄AD BC/AD且 BC=4，点M为PC的中点，点E为BC边上的动点，且 昂=入(1)求证：平面 ADIL平面 PBC(2)是否存在实数 入，使得二面角 RDEB的余弦值为 3?若存在，试求出实数 入的值；若 3 不存在，说明理由.解析：(1)证明：如图取 PB的中点N,连接MN ANI 1 MN/BC MN2BC=2，又 BC/AD MN/AD MN=AD二四边形 ADM为平行四边形./AP A
2、D AB!AD,且 APn AB=A AD丄平面 PAB-ADL AN-AN!MN AA AB ANL PB-AN!平面 PBC (2)解：存在符合条件的 AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系 A-xyz，则 R0,0,2)，Q0,2,0)，B(2,0,0)，设 E(2,t,0),从而 PD=(0,2,-2),DE=(2,t-2,0),贝U平面 PDE的一个法向量为 ni(2-t,2,2),/AN?平面ADM二平面 ADIL平面 PBC 又平面DEB即为平面xAy,其一个法向量为 圧=(0,0,1),以A为原点，AB为x轴，M是PC的中点，N是PB的中点,ni n2 2 2 2.解得t=
3、3 或t=1,故入=3 或入=3.2.(xx 南宁市高中毕业测试)如图所示多面体中,为AD的中点，F为线段BP上一点，/CD巨 120,若BF=事巳求直线AF与平面PBC所成的角的正弦值.解：取线段BP的中点F，取PC的中点Q连接FQ DO FO/ED且 ED=FO 四边形 EFOD1平行四边形,EF/DO/EF?平面 PDC DO 平面 PDC：EF/平面 PDC 以DC为x轴，过D点作DC的垂线为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系.在厶 PDC中，由 PD=4,PC=2,7,/CDP=120,及余弦定理，得 CD=2,则 Q0,0,0),C(2,0,0),B(2,0,3),P-2,2 3,
4、0),A(0,0,3),贝U cos ni,n2|n 1|!n2|?t 2+4+4 3 设 F(x,1 y,Z)，则 BF=(x-2,y,z-3)=?BP=3 3，2；3 3，ADL平面PDC ABCD为平行四边形，E AD=3,AP=5,PC=2：；：7./F,0分别为BP,PC的中点，F0綊BC 四边形 ABCD平行四边形，ED/BC 且DE=(1)试确定点F的位置，使得 AF=3,233，1.设平面 PBC勺法向量 ni=(a,b,c),CB=(0,0,3),PC=(4,-2 3,0),|AFI nil 3.(xx 山西省高三质检)如图，四棱锥 F-ABCD，底面ABCD梯形，PDL底面
5、ABCD AB/CD ADL CD AD=AB=i,BC=,CD=2.(i)求证：平面 PBDL平面PBC HD若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为-3,求 3 面角HPBC的余弦值.解析：证明：由 ADL CD AB/CD AD=AB=i,可得 BD=2.又 BC=_2,CD=2,BCL BD/PD丄底面 ABCD-PDL BC 又 PDA BD=D,BCL平面PBD又BC?平面PBC 平面PBDL平面PBC 解：由(i)可知/BPC为PC与平面PBD所成的角,tan/BPC=ni CB=0,由 f ni PC=0,3z=0,(4x 2 书 y=f cosAF,ni=f AF 直线AF与
6、平面PBC所成的角的正弦值为 6 2i 35 f 设H为CD上一点，满足CH=2 令y=i，可得ni=35 PB=3,PD=1.4 2 由CH=2 HD及 CD=2,可得 CH=-,DH=-.3 3 以点D为坐标原点，DA DC DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则 B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0),H0,2,0.3丿 设平面HPB的法向量为n=(xi,yi,zi),HP n=0,则 T 2 尹+乙=0,即 i Xi+yi=0,取 yi=-3,贝U n=(i,-3,-2).设平面PBC的法向量为mi=(X2,y2,Z2),T PB-m=0,则-BC-m=0,X2
7、+y2 Z2=0,即 X2+y2=0,取 X2=i,则 m=(i,i,2)又 cos m n nr n|mi n|2i 7 故二面角HPBC的余弦值为 亨.4.已知四棱锥 P-ABCD,PAL平面 ABCD底面 ABCD!边长为a的菱形，/BAD=i20,PA=b.(1)求证：平面 PBDL平面 PAC 设AC与BD交于点O,M为0C中点，若二面角 OPMD的正切值为 2 6，求a:b的值.(1)证明：因为 PA!平面ABCD所以PAL BD 又底面ABCD为菱形，所以 ACL BD所以BDL平面PAC 从而平面PBDL平面PAC(6 分)解法一：过 O作OHL PM交PM于H,连接HD 因为
8、DCL平面PAC可以推出 DHL PM所以/OHC为OPMD的平面角.(8 分)又 0*乌,OM=4,AM=寻,且OM=PM 2 4 4 OM PM _ OD 寸 3 I6b2+9a2 _ 匸 tan Z OH&OHr 2b=2-6,2 2 a 4 所以 9a2=16b2,即.b 3 解法二：如图，以A为原点，AD AP所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,因为BDL平面PAC所以平面 PMO勺一个法向量为 OD=3 4a，b),D(0,a,0),从而 PD=(0,a,b),PM=3 a，4a，B.坯|fB f f D一OAF 2OB f f f f f f f f 解析：选
9、C.因为 AC=OO OA CB-OA OC 所以 2AO CB-2(00 OA+(O亠 OC=O(2OA f f f f+OE=0,所以 OG=20/OB 故选 C.设平面PMD勺法向量为 n=(x,y,z)，由PDL n,PML n得 3 3 3-ax+ay bz=0,PD-n=ay bz=0,PM-n=f 设ODf n的夹角为0，则二面角 OPMD大小与0相等,从而 tan 0=2 唁 6,得 cos 0=5,cos f OD n 0=f|OD 丨 n|5 3 乜ab+4ab 从而 4b=3a,即卩 a:b=4:3.2019-2020 年高考数学二轮复习 限时训练 2 平面向量与复数运算
10、、算法、合情推理文 z2 2z 1已知复数z=1+i，则zzT=()A.2i B.2i C.2 D.2 解析：选 B.z2 2z z 1-2=2i，故选 B.2.已知O A,B,C为同一平面内的四个点，若 f f f 2AO CB=0,则向量O(等于(A.|OA-3OB f f C.2OA-OB =|a-b|=2|a|，则向量a+b与a-b的夹角为()n AD=a,结合向量的几何意义可知/AB=Z CA=,6 故向量a+b与a-b的夹角为A(与BD勺夹角为 琴，故选 D.5.如图，若 f(x)=log 3X,g(x)=log 2X,输入 x=0.25，则输出的 h(x)=()A.0.25 B.
11、2log32 1 C.2og 23 D.2 解析：选 D.本题以程序框图的形式，考查了对数运算.1 1 当 x=0.25 时，f(x)=log 34c(2,-1),g(x)=log 24=-2,.f(x)g(x)，故选 D.6.复平面内表示复数 i(1 2i)的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：选 A.先计算，并化为最简形式，再利用复数的几何意义求解.i(1 2i)=2+i，在复平面内对应点的坐标为(2,1)，位于第一象限，故选 A.7执行如图所示的程序框图，若输出 i的值为 2，则输入x的最大值是().2.3.4 i+i+i 3.复数 1-i 1 1 A
12、.-2-2i i i B-+2i 1 1 C.2-2i D.i i 2+2i 解析：选 C.依题意得 I i i2+i3+i 4 1+-+1 i 百=1-i=l-i l+i-1 1+1 1 i 1 1 2=2 2 i，故选 C.n A.6 B.5 n C.-T D.4.若两个非零向量a,b满足|a+b|解析：选 D.由题意作图，设AB=b,/删 4/x的最大值是 22,故选 D.f f f f&在 ABC中,（BO BA）AC=|AC|2,则厶 ABC的形状一定是（A.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析：选 C.由(BGb BA AG=|AC2得(BO BA-AC)AG=0,则BA-AG=0
13、，故 BA!AC 故 选C.9.z是z的共轭复数，若 z+z=2,(z z)i=2(i 为虚数单位)，贝 U z=()A.1+i B.1 i C.1+i D.1 i 解析：选 D.将乙z看做两个未知数，利用方程思想求解也可利用复数相等的条件求解.法一：设 z=a+bi,a,b 为实数，则 z=a bi./z+z=2a=2，二 a=1.又(z 7)i=2bi2=2b=2,.b=1.故 z=1 i.2 法二：(z z)i=2,.z z=-=2i.又 z+z=2,(z z)+(z+z)=2i+2,-2z=2i+2,.z=1 i.10阅读如图所示的程序框图，若输入的 k=10,则该算法的功能是（）A.
14、5 C.11 解析：选 D.执行该程序可知 x 2-13 1 x 2 才1 28，解得富22，即 8x10 时输出，说明是求前 10 项的和.故选 A.（速解法）逐一排除.当S=0,i=1,可得S=1=a1,排除 C D,当i=11 时，则输出S 即输出的i=10 时的S值.故选 A.11下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1 号到 16 号同学的成绩依次为 A1,A,，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法 流程图输出的结果是（II A.6 13 6 7 2 9 4 15 解析：选 B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于 90 的人数
15、，所以由茎叶图知:数学成绩大于等于 90 的人数为 10，因此输出的结果为 10.故选 B.12.已知向量OA O的单位向量，且 OA OB=-,点C是向量OA O啲夹角内一点,4 OB-OC=若数列an满足OC=3a 2 2an 15 16 代花B.诣 C.16 D.8 2a3 16 _ 7,a4=市=后.故选 B.解析：因为a与b共线，所以a=xb,14.（xx 合肥市模拟）下列命题中真命题的编号是 向量a与向量b共线，则存在实数入使a=入b（入 R）n a,b为单位向量，其夹角为 0,若|a b|1，则 y 0 n T T T T T T T T 向量AB AC BC满足 I AB=|A
16、C I BQ，则A(与 B(同向;若向量 a/b,bII c,贝 U a/c.a=(2,1),b=(1,t),若a,b为钝角，贝 U t 1 可得 a2-2a b+b21,：a,b 为单位向量，所以 a2=b2=1,a b=1 x 1 x cos 0 1=cos 0，所以 1 2cos 0+11，二 cos 0 2 n I 0 0 W n,.3 0 W n,为真命题.根据向量加法的几何意义知为真命题；当 1 b工 180,所以t0,b0）外，则过F0作双曲线的两条切线的切点为 P1,F2,则切点 弦PF2所在直线方程是 解析：类比推理，找出规律.2 2 对于椭圆X+备=1，求其切点弦 PR所在
17、直线方程就是将 xJX0X,yJyy而得到的，据此 a b 1.“宀 X0X y0y 答案：訂晋=1 n 2 1 n 2 3 cos石cos5n=4,cos7cos7ncos7n 根据以上等式可猜想出的一般结论是 角度的分母为奇数 2n+1,分子分别为n、2n、3 n,nn，结果为1 n 2 n 一般结论迹冇迹汀cos2n+1=2n.n 2 n n n 1 答案：cos时荷市=歹=0 时，为假命题；中还需强调 a,类比可知过Po作双曲线的两条切线的切点为 R,P2,则切点P,P2所在直线方程为 X0X y0y T 7 16.（xx 浙江温州模拟）已知 cos 4 解析：第n个式子有n个余弦相乘,