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1、 .-可修编.空间中直线与平面之间的位置关系 知识点一 直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为 (2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号a来表示a和Aa这两种情形(3)直线与平面位置关系的图形画法：画直线 a 在平面内时，表示直线的直线段只能在表示平面的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；在画直线 a
2、 与平面相交时，表示直线 a 的线段必须有部分在表示平面 a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。例 1、下列命题中正确的命题的个数为。如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。变式 1、下列说法中正确的是。直线l平行于平面内无数条直线，则l/；若直线a在平面外，则 a/
3、;若直线 a/b，直线b，则 a/;若直线 a/b，直线b，那么直线 a 就平行于平面内的无数条直线。.-可修编.变式 2、下列命题中正确的个数是()若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l 若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：如图 2,图 2 我们借助长方体模型，棱 AA1所在直线有无数点在平面 ABCD 外，但棱 AA1所在直线与平面 ABCD 相交，所以命题不正确；A1B1所在直
4、线平行于平面 ABCD，A1B1显然不平行于 BD，所以命题不正确；A1B1AB,A1B1所在直线平行于平面 ABCD，但直线 AB平面 ABCD,所以命题不正确；l 与平面 平行,则 l 与 无公共点,l 与平面 内所有直线都没有公共点,所以命题正确.答案：B 变式 3、若直线 l 上有两个点到平面 的距离相等，讨论直线 l 与平面 的位置关系.图 3 解：直线 l 与平面 的位置关系有两种情况（如图 3），直线与平面平行或直线与平面相交.例 2、若两条相交直线中的一条在平面 内，讨论另一条直线与平面 的位置关系.解：如图 5,另一条直线与平面 的位置关系是在平面内或与平面相交.图 5 用符
5、号语言表示为：若 ab=A,b,则 a 或 a=A.变式 1、若两条异面直线中的一条在平面 内，讨论另一条直线与平面 的位置关系.分析：如图 6,另一条直线与平面 的位置关系是与平面平行或与平面相交.图 6 用符号语言表示为：若 a 与 b 异面,a,则 b 或 b=A.例 3、若直线 a 不平行于平面,且 a,则下列结论成立的是()A.内的所有直线与 a 异面 B.内的直线与 a 都相交 .-可修编.C.内存在唯一的直线与 a 平行 D.内不存在与 a 平行的直线 分析：如图 7,若直线 a 不平行于平面,且 a,则 a 与平面 相交.图 7 例如直线 AB 与平面 ABCD 相交，直线 A
6、B、CD 在平面 ABCD 内，直线 AB 与直线 AB相交，直线 CD 与直线 AB 异面，所以 A、B 都不正确；平面 ABCD 内不存在与 a 平行的直线，所以应选 D.变式 1、不在同一条直线上的三点 A、B、C 到平面 的距离相等，且 A,以下三个命题：ABC 中至少有一条边平行于;ABC 中至多有两边平行于；ABC 中只可能有一条边与 相交.其中真命题是_.分析：如图 8,三点 A、B、C 可能在 的同侧，也可能在 两侧，图 8 其中真命题是.变式 2、若直线 a,则下列结论中成立的个数是()(1)内的所有直线与 a 异面 (2)内的直线与 a 都相交 (3)内存在唯一的直线与 a
7、 平行 (4)内不存在与 a 平行的直线 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：直线 a,a 或 a=A.如图 9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选 A.图 9 答案：A.知识点二 直线与平面平行 1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。定理可简述为“线线平行，则线面平行”，可以用符号表示为/,/ababa；该定理判断直线 a 与平面平行时，必须具备三个条件：直线 a 在平面外，即a；直线 b 在平面，即b；直线 a，b 平行，即 ab，这三个条件缺一不可。定理的作用：将直线和平面平行的判定转化为直线与直线的平行关系
8、的判定。.-可修编.2、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。用符号表示为：若 a/，,b则 a/b，即“线面平行，则线线平行”。(1)定理的作用 线面平行的性质定理的作用在于：把线线平行的判定转化为线面平行的判定，因此，我们要证明（或判定）两条直线平行时，若直线证明难以成功，此时，不妨考虑转化为证明（或判定）线面平行的问题(2)直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系直线和平面平行的性质在应用时，要特别注意“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线”的错误结论(3)线面平行的其
9、他性质：平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面；若过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，则此直线在这个平面内。例 4、如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且 CMDN，求证：MN/平面 AA1B1B。变式 1、已知 AB、BC、CD 是不在同一平面内的三条线段，E、F、G 分别是 AB、BC、CD 的中点，求证：平面 EFG 和 AC 平行，也和 BD 平行。例 5、过正方体 AC1的棱 BB1作一平面交平面 CDD1C1于 EE1，求证：BB1/EE1。变式 1、ABCD 是平行四边形，点 P 是平面
10、 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH，求证：AP/GH。知识点三直线与平面垂直 1、直线与平面垂直的概念 如果一条直线 a 与一个平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足.(1)若直线a与平面互相垂直，记作a (2 要注意“任何一条直线”这个词语，它与“所有直线”是同义词，但与“无数条直 .-可修编.线”不同，即当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线。(3)画法：画直线与平面垂直时，一般使直线与表示平面的平行四边形一边垂直，如下
11、图所示，2、直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。简记为：“线线垂直，则线面垂直。”(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准。(2)命题 1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；命题 2：如果一条直线垂直于平面的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面 以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性，(3)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的。(
12、4)其他判定直线和平面垂直的方法：两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。3、直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。直线与平面垂直还有如下性质：(1)如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直。(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于同一个平面。(3)若l于 A，APl，则AP。例 6、给出以下结论：若直线 a 垂直平面内的无穷多条直线，则直线 a 垂直平面；无论直线 a 与平面是否垂直，a 总垂直平面内的无穷多条直线；若直线 a 垂直平面内的两条直线，则直线 a 垂直平面；若直线 a 垂直平面
13、内的所有直线，则直线 a 垂直平面 其中正确的结论为。（写出序号即可）例 7、如右图，已知空间四边形 ABCD 的边 BCAC，ADBD，引 BECD，E 为垂足，作 AHBE 于 H，求证：AH平面 BCD。.-可修编.变式 1、如右图，已知 P 是ABC 所在平面外一点，PA，PB，PC 两两垂直，H 是AC的垂心，求证：PH平面 ABC。例 8、如右图，已知矩形 ABCD，过 A 作 SA平面 AC，再过 A 作 AESB 交 SB 于 E，过E 作 EFSC 交 SC 于 F，（1）求证：AFSC；（2）若平面 AEF 交 SD 于 G，求证：AGSD。变式 1、如右图，正方体 ABC
14、DA1B1C1D1中，11111,0ODBCABDAC，求证：OO1平面 ABCD。巩固练习一：一、选择题 1、下面四种说法中：（）两条平行直线中的一条平行于一个平面，则另一条也平行于这个平面；（）平行于平面内一条直线的直线平行于该平面；（）过平面外一点只有一条直线和这个平面平行；（）若一条直线和一个平面平行，则这条直线和这个平面内所有直线都平行、正确说法的个数为（）、；、；、；、2、下列命题中正确的是（）、平行于同一平面的两条直线平行；、垂直于同一条直线的两条直线平行；、若直线于一个平面内的一条直线平行，则平行于这个平面；、若一条直线平行于两相交平面的交线，则这条直线至少平行于两个平面中的一
15、个 3、异面直线 a，b 分别在平面,，若l，则直线l必定与、分别与 a，b 相交 B、与 a，b 都不相交 C、至少与 a，b 中之一相交 D、至多与 a，b 中之一相交 4、下列命题中有几个是正确的？其个数为（）.-可修编.（1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线（2）在空间不相交的两条直线一定是异面直线（3）不同在一个平面内的两条射线所在直线一定是异面直线（4）既不平行也不相交的两条线段所在直线一定是异面直线 A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 5、如果点 P 在直线l上，而直线l又在平面内，则可记作（）A、lP B、lP C、lPD、lP 6、已知相交直线 AB、AC
16、 确定的平面，则下列说法不正确的是（）、直线 AB、AC 都不在平面内 B、平面经过直线 AB、AC C、只有 A、B、C 三点在平面内 D、直线 AB、AC 上所有的点都在平面内 7、下列命题中，真命题是（）、两条相交直线上的三个点确定一个平面 B、两两相交的三条直线共面、不共面的四点中可以有三点在同一直线上 D、三角形和梯形一定是平面图形 8、不共面的四个点中，（）、可能有三个点共线 B、至少有三个点共线、任何三个点都不共线 D、只有三个点不共线 9、用斜二测法画平面图形的直观图，对其中三条线段结论错误的是（）A、原相交的仍相交 B、原垂直的仍垂直 C、原平行的仍平行 D、原共点的仍共点
17、10、两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是 （）A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、8 个 11、平面过ABC的重心，B、C在的同侧，A在的另一侧，若A、B、C到平面的距离分别为a、b、c，则a、b、c间的关系为()A、2a=b+cB、a=b+cC、2a=3(b+c)D、3a=2(b+c)二、填空题 12、不共线的三个平面两两相交，可将空间分成的部分可能是_个 13、已知 a，c 异面，b，c 异面,则 a,b 的位置关系是_ 14、已知bAa,，则ba,的位置关系是_ 答案：.-可修编.一、选择题 1、A；2、D；3、C；4、D；5、C；6、A；7、D；8、C；9、B；10、C；11
18、、A 二、填空题 12、4，7，8 13、平行，异面或相交 14、相交或异面 巩固练习二：一、选择题 1、下列命题正确的个数是（）（）若直线上有无数个点不在平面内，则平行这个平面；（）若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的所有直线都平行；（）两条平行线中的一条与一个平面平行，则另一条也和这个平面平行；（）若一条直线与一个平面内的无穷多条直线都平行，则这条直线与这个平面平行、个；、个；、个；、个、2、直线在平面外指的是（）、直线与平面没有公共点；、直线与平面相交；、直线与平面平行；、直线与平面最多只有一个公共点 3、设有如下三个命题：甲：相交两直线、都在平面内，并且都不在平面内 乙：
19、、之中至少有一条与平面相交 丙：和相交 当甲成立时 、乙是丙的充分而不必要条件；、乙是丙的必要而不充分条件；、乙是丙的充分且必要条件；、乙既不是丙的充分条件又不是必要条件 4、一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则两角的关系是（）A、相等 B、互补 C、互余 D、不能确定 5、空间四边形 ABCD 中，M，N 分别是 AB，CD 的中点，设1)(21 ADBC，那么（）、B、C、D、与的大小关系不能确定 6、在正方体的棱所在的条直线中，取定一条，那么，其它的条直线可与它构成异 .-可修编.面直线的共有 A、条 B、条 C、条 D、条 7、下面四个条件中能得出b 的是（）A、,cba且和 c，
20、b 和 c 均无公共点 B、和 b 无公共点 C、和 b 与 c 成等角 D、cbca,8、过平面内一点及平面外一点的直线与平面内的任一条直线的位置关系是（）A、相交 B、平行 C、异面 D、相交或异面 9、已知 a,b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b（）A、定是异面直线 B、定是相交直线 C、不可能是平行直线 D、不可能相交直线 10、四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有 （）A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 11、A,B,C,D 是空间四点,AB 与 CD 是异面直线,则必有()A、AC 与 BD 异面,AD 与 BC 共面 B、AC 与
21、BD 共面,AD 与 BC 异面 C、AC 与 BD 异面,AD 与 BC 异面 D、AC 与 BD 共面,AD 与 BC 共面 二、填空题 12、若 E、F、G、H 顺次为空间四边形 ABCD 四条边 AB、BC、CD、DA 的中点，且 EG=3，FH=4，则 AC2+BD2=.13、已知BbAa,，且，不重合，则ba,位置关系是_ 14、平面和相交，在，内各取两点，这四点都不在交线上，则这四个点能确定_平面。三、解答题 15、试证明：过两条异面直线中的一条直线有且只有一个平面与另一条直线平面、答案：一、选择题 1、A；2、D；3、C；4、D；5、B；6、A；7、A；8、D；9、C；10、A
22、；11、C .-可修编.二、填空题 12、50 13、平行，异面或相交 14、1 或 4 三、解答题 15、证明：证存在一个平面与另一条直线平行（存在性）、设a、b为异面直线，A为a上任一点，过b与A作一平面，在内过A作直线cb，则由a、c确定的平面b、存在一个平面与b平行、再证有唯一一个平面与另一条直线平行（唯一性）、假设还有过a且不与重合的平面b，=d、三个平面两两相交，且a、c交于A，其三条交线 交于一点，即点A，而db，cd、即过A存在两条 直线c、d都与b平行，这与平行公理相矛盾、故只有唯一一个平面与另一条直线平行、空间中直线与平面之间的位置关系 一、选择题 1直线 l 与平面 不平
23、行，则()Al 与 相交 Bl Cl 与 相交或 l D以上结论都不对【解析】若 l 与 不平行，则 l 与 相交或 l.【答案】C 2直线 a 在平面 外，则()Aa Ba 与 至少有一个公共点 CaA Da 与 至多有一个公共点【解析】直线 a 在平面 外，其包括直线 a 与平面 r 相交或平行两层含义，故 a 与r 至多有一个公共点【答案】D 3 在长方体 ABCDA1B1C1D1 的六个表面与六个对角面(面 AA1C1C、面 ABC1D1、面 ADC1B1、面 BB1D1D、面 A1BCD1 及面 A1B1CD)所在的平面中，与棱 AA1 平行的平面共有()A2 个 B3 个 C4 个
24、 D5 个 【解析】如图所示，结合图形可知 AA1平面 BC1，AA1平面 DC1，AA1平面BB1D1D.a A c b .-可修编.【答案】B 4下列说法中正确的是()A如果两个平面、只有一条公共直线 a，就说平面、相交，并记作 a B两平面、有一个公共点 A，就说、相交于过 A 点的任意一条直线 C两平面、有一个公共点 A，就说、相交于 A 点，并记作 A D两平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC【解析】B 不正确，若 A，则，相交于过 A 点的一条直线；同理 C 不正确；D 不正确，两个平面相交，其交线为直线而非线段【答案】A 5如果空间的三个平面两两相交，那么()A不可能只有两
25、条交线 B必相交于一点 C必相交于一条直线 D必相交于三条平行线【解析】空间三个平面两两相交，可能相交于一点，也可能相交于一条直线，还可能相交于三条平行线，故选 A.【答案】A 二、填空题 6已知平面 平面，直线 a，则直线 a 与平面 的位置关系为_【解析】，与 无公共点，a，a 与 无公共点，a.【答案】a 7过平面外两点作该平面的平行平面，可以作平面的个数是_【解析】当这两点的连线不与平面平行时，过这两点不存在与已知平面平行的平面 当这两点的连线与已知平面平行时，能作一个平面与已知平面平行，故填 0 或 1.【答案】0 或 1 8(2012XX 高一评估)过三棱柱 ABCA1B1C1 的
26、任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1 平行的直线共有_条【解析】如图所示，与平面 ABB1A1 平行的直线有 6 条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.【答案】6 三、解答题 9已知直线 l平面 A，直线 m，画图表示直线 l 和 m 的位置关系【解】直线 l 和 m 的位置关系有异面和相交两种情况，l 和 m 异面，如图 a 所示；l和 m 相交，如图 b 所示 .-可修编.10如图 2120，平面、满足，a，b，判断 a 与 b、a与 的关系并证明你的结论 图 2120【解】由 a 知 a 且 a，由 b 知 b 且 b，a，b，a、b 无公共点 又a 且 b，a
27、b.，与 无公共点 又 a，a 与 无公共点，a.11试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？【解】三个平面可把空间分成 4(如图)、6(如图)、7(如图)或 8(如图)个部分 12、已知=l,a 且 a,b 且 b,又 ab=P.求证：a 与 相交,b 与 相交.证明：如图 10,ab=P,.-可修编.图 10 Pa,Pb.又 b,P.a 与 有公共点 P,即 a 与 相交.同理可证,b 与 相交.13、过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？解：(1)如图 11,CD与 BD 是异面直线，可以过 P 点作一个平面与两异面直线 CD、BD 都平行.如图 12,图 11 图 12 图 13