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1、精品 期望与方差的相关公式-、数学期望的来由 早在 17 世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得 100 法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这 100 法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为 1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75 法郎，乙的期望所得值为 25 法郎。这个故事里出现了“期望”
2、这个词，数学期望由此而来。定义 1 若离散型随机变量可能取值为ia（i=1，2，3，），其分布列为ip（i=1，2，3，），则当iiipa1时，则称存在数学期望，并且数学期望为 E=1iiipa，如果iiipa1=，则数学期望不存在。1 定义 2 期望：若离散型随机变量，当=xi的概率为P（=xi）=Pi（i=1，2，n，），则称E=xi pi为的数学期望，反映了的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E由的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C是常数，则 E(C)=C。（2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)。（3）)E(X)E(X )XE(X2121。三、方差的定
3、义 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的精品 平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。定义 3 方差：称D=（xiE）2pi为随机变量的均方差，简称方差.D叫标准差，反映了的离散程度.定义 4 设随机变量 X 的数学期望)(XE存在，若)(2XEXE存在，则称)(2XEXE 为随机变量 X 的方差，记作)(XD，即)()(2XEXEXD。方差的算术平方根)(XD称为随机变量 X 的标准差，记作)(X，即)()(XDX 由于)(X与 X 具有相同的度量单位
4、，故在实际问题中经常使用。D表示对E的平均偏离程度，D越大表示平均偏离程度越大，说明的取值越分散.方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若 X 的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若 X 的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。若方差)(XD=0，则随机变量 X 以概率 1 取常数值。由定义 4 知，方差是随机变量 X 的函数2)()(XEXXg的数学期望，故 连续时当离散时当XdxxfXExpXExXDkkkk ,)()(X ,)()(212 当 X 离散时,X 的概率函数为,2 ,1 ,)()(kPxXPxPKKk；当 X 连续时，X 的密度函数为)(xf。求证方
5、差的一个简单公式：公式 1：22)()()(XEXEXD 证明一：22222)()()()(2)()(XEXExEXXEXEXEXEXD 精品 证明二：21()niiiDxEp 22122111222222()2()2()()()niiiinnniiiiiiiixx EEpx pEx pEpEEEEE 22()DEE 可以用此公式计算常见分布的方差 四、方差的性质（1）设C是常数,则D(C)=0。（2）若C是常数,则)()(2XDCCXD。（3）若X与Y 独立，则 公式 2：)()()(YDXDYXD。证 由数学期望的性质及求方差的公式得 )()()()()()()()(2)()()()(2)
6、()()()(2)()()(2222222222222YDXDYEYEXEXEYEXEYEXEYEXEYEXEYExEXYYXEYXEYXEYXD 可推广为：若1X,2X，nX相互独立，则 niiniiXDXD11)(niiiniiiXDCXCD121)(（4）D(X)=0 P(X=C)=1，这里C=E(X)。五、常见的期望和方差公式的推导过程（一）离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明 精品 1由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：（1）pi0，i1，2，；（2）p1p21。2离散型随机变量期望和方差的性质：E(ab)aEb，D(ab)a2 D。（1
7、）公式 3：E（a+b）=aE+b，证明：令ab ,a b为常数 也为随机变量 ()()iiP axbPx 1,2,3.i 所以 的分布列为 1axb 2axb naxb p 1p 2p np 1122()().()nnEaxb paxb paxb p=112212(.)(.)nnna x px px pb ppp E=aEb()E abaEb说明随机变量的线性函数ab的期望等于随机变量期望的线性函数（2）公式 4：D（a+b）=a2D（a、b为常数）.证法一：因为 21()niiiDxEp 22122111222222()2()2()()()niiiinnniiiiiiiixx EEpx p
8、Ex pEpEEEEE 精品 22()DEE 所以有：222211()()()nniiiiiiD abaxbaEbpaxEpa D 证毕 证法二：D=222221111()2()()nnnniiiiiiiiiiixEpx pEx pEpEE.E(ab)aEb，D(a+b)=a2D 222211()()()nniiiiiiD abaxbaEbpaxEpa D （二）二项分布公式列举及证明 1 二项分布定义：若随机变量的分布列为：P(k)Cnk pk qn-k。（k0，1，2，n，0p1，q1p，则称服从二项分布，记作B(n，p)，其中 n、p为参数，并记 Cnk pk qn-k=b(k；n，p)
9、。2对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。即：（1）P(k)Cnk pk qn-k0，k0，1，2，n；（2）nk 0P(k)nk 0Cnk pk qn-k(pq)n1。二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。3服从二项分布的随机变量的期望与方差公式：若B（n，p），则E=np，D=npq（q=1p）.（3）公式 5：求证：E=np 方法一：在独立重复实验中，某结果发生的概率均为p（不发生的概率为q，有1pq），那么在n次实验中该结果发生的次数的概率分布为 0 1 2 3.1n n P 0nnC q 11nnC pq 222nnC p q 333nnC p q.11nnn
10、Cpq nnnC p 精品 服从二项分布的随机变量的期望Enp.证明如下：预备公式 11kknnkcnc 100110220211(1)()11011111()(.)nnnnkknn knnnnnnnpqcp qcp qcp qcpqcpq 因为()(1),kkn kkkn knnpkc ppc p q 所以 001112220012.nnnkkn knnnnnnnEc p qc p qc p qkc p qnc p q =00110220211(1)()11011111(.)nnnkknn knnnnnnnnp cp qcp qcp qcpqcpq=1()nnp pqnp 所以 E=np 得
11、证 方法二：证明：若),(pnBX，则 X 表示n重贝努里试验中的“成功”次数，现在我们来求X的数学期望。若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi01 i=1,2，n 则12.nXXXX，因为 PXPi)1(，qPXPi1)0(所以ppqXEi10)(，则)(XEnpXEXEniinii11)(可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量 X 的数学期望是np。需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。公式 621212(1)kkknnnk CnCn nC 211kknnk CknC 1111111212(1)1(1)(1)knkknnkknnn kCnCn kCnCn nC 21212(1)
12、kkknnnk CnCn nC 求证：服从二项分布的随机变量的方差公式 7：D=npq（q=1p）.精品 方法一：证明：220niin iniEi C p q 111212221110122211212111221122(1)(1)()(1)()(1)nnniin iiin innniinnniin iniin innniinnnnnnC pqnCp qn nCp qnpqnpCpqnpCqn npCpqnpqnp pqnpqn nppqnpqnpnpqn npnpn p222222(1)npnppn pnpqn p 由公式 1 知22()DEE 222()npqn pnpnpq 方法二：设(
13、,)B n p,则 X 表示n重贝努里试验中的“成功”次数。若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi01 i=1,2，n 则1nii是n次试验中“成功”的次数，()01iEqpp，故 222()()()(1)iiiDEEpppp，1,2,in 由于12,.,n 相互独立，于是1()()niiDD=np(1-p)。（三）几何分布的期望与方差的公式列举及证明 1 定义 5：几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。定义 6：在第 n 次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。n次伯努利试验，前n-1 次皆失败，第n次才成功的概率。1()(1)kP Xkpp 若Pkqpk
14、()1，则（1）Ep1，（2）Dpp12。精品 求证：（1）几何分布的期望 公式 8：Ep1，若某射击手击中目标的概率为 P，求证：从射击开始到击中目标所需次数的期望Ep1 证明：依题意分布列为 1 2 3 K P P)1(PP 2)1(PP 1)1(KPP 由Pkqpk()1，知 2112(1)3(1).(1).KEPPPPPKPP 212123.(123.)kkEppqq pkqpqqkqp 下面用错位相减法求上式括号内的值。记21123.kkSqqkq 212.(1)kkkqSqqkqkq 两式相减，得21(1)1.kkkq Sqqqkq Sqqkqqkkk1112()由01p，知01q
15、，则0limkkq及0limkkkq（可用 LHospital 法则证明）故212211123.lim(1)kkkpqkqSqp，所以Ep1 求证：（2）()(,)pkg k p 几何分布的方差 公式 9：Dpp122qp 精品 证明：利用导数公式()xnxnn1，推导如下：21123.kxxkx 23 23()().().(.)kkxxxxxxxx ()()()()()xxxxxx1111122 上式中令xq，则得 212211123.(1)kqqkqqp（2）为简化运算，利用性质DEE22()来推导。22222123.kEpqpq pk qp 22221(123.)kpqqk q 对于上式括号中的式子，利用导数，关于 q 求导：k qkqkk21()，并用倍差法求和，有22221123.kqqk q 23(23.)kqqqkq()()()()()()qqqq qqqqqqpp112 11111122242433 则Eppppp23222()，因此DEEppppp22222211()()证明二:22111111()(1)kkkKkkEk pqpk kqkq 精品 =1()knkqpqE =322121(1)pqppppp DEEppppp22222211()()