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1、打印版 打印版 高阶等差数列 一、基本知识 1.定义：对于一个给定的数列an，把它的连结两项 an+1与 an的差 an+1-an记为 bn，得到一个新数列 bn，把数列 bn称为原数列an的一阶差数列，如果 cn=bn+1-bn，则数列cn是an的二阶差数列。依此类推，可得出数列an的 p 阶差数列，其中 pN 2.如果某数列的 p 阶差数列是一非零常数列，则称此数列为 p 阶等差数列 3.高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称 4.高阶等差数列的性质：(1)如果数列an是 p 阶等差数列，则它的一阶差数列是 p-1 阶等差数列(2)数列an是 p 阶等差数列的充要条件是：数列an的通项
2、是关于 n 的 p 次多项式(3)如果数列an是 p 阶等差数列，则其前 n 项和 Sn是关于 n 的 p+1 次多项式 5.高阶等差数列中最重要也最常见的问题是求通项和前 n 项和，更深层次的问题是差分方程的求解，解决问题的基本方法有：(1)逐差法：其出发点是 an=a1+(2)待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项 an与前 n 项和 Sn是确定次数的多项式(关于 n 的)，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得(3)裂项相消法：其出发点是 an能写成 an=f(n+1)-f(n)(4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的 二
3、、例题精讲 例 1 数列an的二阶差数列的各项均为 16，且 a63=a89=10，求 a51 解法一：显然an的二阶差数列bn是公差为16的等差数列，设其首项为a,则bn=a+(n-1)16,于是 an=a1+=a1+(n-1)a+8(n-1)(n-2)这是一个关于 n 的二次多项式，其中 n2的系数为 8，由于 a63=a89=10,所以 an=8(n-63)(n-89)+10，从而 a51=8(51-63)(51-89)+10=3658 解法二：由题意，数列an是二阶等差数列，故其通项是 n 的二次多项式，又 a63=a89=10，打印版 打印版 故可设 an=A(n-63)(n-89)
4、+10 由于an是二阶差数列的各项均为 16，所以(a3-a2)-(a2-a1)=16 即 a3-2a2+a1=16，所以 A(3-63)(3-89)+10-2A(2-63)(2-89)+10+A(1-63)(1-89)+10=16 解得：A=8 an=8(n-63)(n-89)+10，从而 a51=8(51-63)(51-89)+10=3658 例 2 .一个三阶等差数列an的前 4 项依次为 30,72,140,240，求其通项公式 解：由性质(2)，an是 n 的三次多项式，可设 an=An3+Bn2+Cn+D 由 a1=30、a2=72、a3=140、a4=240 得 解得：所以 an
5、=n3+7n2+14n+8 例 3 求和：Sn=1322+2432+n(n+2)(n+1)2 解：Sn是是数列n(n+2)(n+1)2的前 n 项和，因为 an=n(n+2)(n+1)2是关于 n 的四次多项式，所以an是四阶等差数列，于是 Sn是关于 n 的五次多项式 k(k+2)(k+1)2=k(k+1)(k+2)(k+3)-2k(k+1)(k+2)，故求 Sn可转化为求 Kn=和 Tn=k(k+1)(k+2)(k+3)=k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)，所以 Kn=Tn=从而 Sn=Kn-2Tn=例 4 已知整数列an适合条件：打印版
6、 打印版(1)an+2=3an+1-3an+an-1,n=2,3,4,(2)2a2=a1+a3-2(3)a5-a4=9,a1=1 求数列an的前 n 项和 Sn 解：设 bn=an+1-an,Cn=bn+1-bn Cn=bn+1-bn=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an=(3an+1-3an+an-1)-2an+1+an=an+1-2an+an-1=Cn-1(n=2,3,4,)所以 Cn是常数列 由条件(2)得 C1=2,则an是二阶等差数列 因此 an=a1+由条件(3)知 b4=9，从而 b1=3，于是 an=n2 例 5 求证：二阶等差数列的通项公式为
7、 证明：设an的一阶差数列为bn，二阶差数列为cn，由于an是二阶等差数列，故cn为常数列 又 c1=b2-b1=a3-2a2+a1 所以 例 6 求数列 1,3+5+7,9+11+13+15+17,的通项 解：问题等价于：将正奇数 1,3,5,按照“第 n 个组含有 2n-1 个数”的规则分组：(1)、(3,5,7)、(9,11,13,15,17),然后求第 n 组中各数之和 an 依分组规则，第 n 组中的数恰好构成以 2 为公差的项数为 2n-1 的等差数列，因而确定打印版 打印版 了第 n 组中正中央这一项，然后乘以(2n-1)即得 an 将每一组的正中央一项依次写出得数列：1,5,1
8、3,25,这个数列恰为一个二阶等差数列，不难求其通项为 2n2-2n+1，故第 n 组正中央的那一项为 2n2-2n+1，从而 an=(2n-2n+1)(2n-1)例 7.数列an的二阶差数列是等比数列，且 a1=5,a2=6,a3=9,a4=16,求an的通项公式 解：易算出an的二阶差数列cn是以 2 为首项，2 为公比的等比数列,则 cn=2n,an的一阶差数列设为bn，则 b1=1 且 从而 例 8 设有边长为 1 米的正方形纸一张，若将这张纸剪成一边长为别为 1 厘米、3 厘米、(2n-1)厘米的正方形，愉好是 n 个而不剩余纸，这可能吗？解：原问题即是是否存在正整数 n，使得 12
9、+32+(2n-1)2=1002 由于12+32+(2n-1)2=12+22+(2n)2-22+42+(2n)2=随着n的增大而增大，当 n=19 时=912910000 故不存在 例 9 对于任一实数序列 A=a1,a2,a3,，定义 DA 为序列a2-a1,a3-a2,，它的第 n项为 an+1-an，假设序列 D(DA)的所有项均为 1，且 a19=a92=0,求 a1 解：设序列 DA 的首项为 d,则序列 DA 为d,d+1,d+2,它的第 n 项是 d+(n-1)，因此序列 A 的第 n 项 显然 an是关于 n 的二次多项式，首项等比数列为 由于 a19=a92=0，必有 所以 a1=819 打印版 打印版