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1、 1 第一章：集合与常用逻辑用语 集合的概念及运算 一、知识清单 1.集合的含义与表示（1）集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。（2）常用的集合表示法：列举法；描述法；数轴或图像表示法；venn 图法 2.集合的特性 3.常用的集合 常见数集的记法：特 性 理 解 应 用 确定性 要么属于该集合，要么不属于，二者必居其一；判断涉及的总体是否构成集合 互异性 集合中的任意两个元素都是不同的；1.判断集合表示是否正确；2.求集合中的元素 无序性 集合的不同与元素的排列无关；通常用该性质判断两个集合的关系 集合 0|xfx 0|xfx xfyx|
2、xfyy|xfyyx|,xfy 集合的意义 方程 0 xf的解集 不等式 0 xf的解集 函数 xfy的定义域 函数xfy的值域 函数xfy图像上的点集 一个元素 例子 0|xx 0|xx xyx|xyy|xyyx|,xy 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实属集 复数集 符号 N N*或 N+Z Q R C 2 4.集合间的基本关系 （1）集合间的关系 文字描述 符号表示 子 集 集合 A 中任意元素都是集合 B 中元素 真子集 A 是 B 的子集，但 B 中至少有一个元素不在 A 中 相 等 集合 A、集合 B 中元素完全相同 （2）有限集合中子集的个数 有限集合 A 中有 n
3、个元素 集合 A 的子集个数 2n 集合 A 的非空子集个数 2n-1 集合 A 的真子集个数 2n-1 集合 A 的非空真子集个数 2n-2 【提醒】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。符号表示为：5.集合的运算 运算类型 交集 并集 补集 定义 设 A，B 是两个集合，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与集合 B 的交集，记作 AB。若 A 和 B 是集合，则 A 和B 并集是有所有 A 的元素和所有 B 的元素，而没有其他元素的集合。A 和 B的并集通常写作 AB，读作“A 并 B”，用符号语言表示:AB=x|xA,或 xB 相对补集：若 A
4、 和 B 是集合，则 A 在 B 中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B 但不属于 A，B-A=x|xB 但x A。绝对补集：若给定全集 S，有 A S，则 A 在 S 中的相对补集称为 A 的绝对补集（或简称补集），写作 CSA。韦恩图示 性质 ABBA AAA ABA BBA A ABBA AAA ABA BBA AA ACAU UACAU De Morgan定律:BACBCACUUU BACBCACUUU 3 二、高考常见题型及解题方法 1.解决集合问题的常用方法 方 法 步 骤 列 举 法 定元素 定运算 定结果 数形结合法 画图形 定区域 求结果 特 值 法 辨差异 定特殊 验排除
5、 定结果 2.集合问题常见题型（1）元素与集合间关系问题（2）集合与集合间关系问题（3）集合的基本运算：有限集（数集）间集合的运算；无限集间集合的运算：数轴（坐标系）画图、定域、求解；用德摩根公式法求解集合间的运算。【针对训练】例 1.已知集合 A=0,1,2，则集合 B=x-y|xA，yA中元素的个数是（）A.1 B.3 C.5 D.9 例 2.设集合RxxxPRxxxyyM,42|,12|2，则集合 M 与 P 之间的关系式为（）A.PM B.PM C.PM D.MPPM且 例 3.设集合0,0|,00|,yxyxPxyyxyxM且，则集合 M 与 P 之间的关系式为（）A.PM B.PM
6、 C.PM D.MPPM且 例 4.满足4,20210，且，MM的集合 M 有（）个 A.1 B.2 C.3 D.4 例 5.设 a、bR，集合bababa,0,1，则 b-a=（）A.1 B.-1 C.2 D.-2 例 6.已知集合 A=（x，y）|x，y 为实数，且 x2+y2=1，B=（x，y）|x，y 为实数，且x+y=1，则 AB 的元素个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1 例 7.已知 A，B 均为集合 U=1,3,5,7,9的子集，且 AB=3，CUBA=9，则 A=（）A、1,3 B、3,7,9 C、3,5,9 D、3,9 例 8.设集合 A=x|-1x2，B=x|xa，若
7、 AB，则 a 的取值范围是（）4 A.-1a2 B.a2 C.a-1 D.a-1 例 9.集合 A=0,2，a，B=1，a2，若 AB=0,1,2,4,16，则 a 的值为（）A.0 B.1 C.2 D.4 例 10.已知集合 M=（x，y）|y=-x+1，N=（x，y）|y=x-1那么 MN 为（）A.1,0 B.（1,0）C.（1,0）D.三、实战训练 1.满足 M 4321,aaaa，且 M321,aaa=21,aa的集合 M 的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4 2.若以集合RcbacbaS,中三个元素的边可构成三角形，那么此三角形不可能是（）A.锐角三角形 B.等腰三角形 C
8、.钝角三角形 D.直角三角形 3.设集合032|,034|2xxBxxxA，则 AB=（）A.233，B.233，C.231，D.323，4.设集合21,|,2|2xxyyBRxxxA，则BACR（）A.R B.，02,C.，21,D.5.已知集合21|,12|xyyNxxM，则NM（）A.2(，B.10(，C.20，D.10，6.设集合045|,033|22xxxBaxaxxA，若集合 AB 中所有元素之和为 8，则实数 a 的取值集合为（）A.0 B.0,3 C.1,3,4 D.0,1,3,4 7.设集合RxxxBRxaxxA,51|,1|，若BA，则实数 a 的取值范围是（）A.a|0a
9、6 B.a|a2,或 a4 C.a|a0,或 a6 D.a|2a4 8.已知全集0128|,5,3,2,80|2xxxNMxZxU，则集合1,4,7为（）A.NCMU B.NMCU C.NMCU D.MCNU 9.设全集9,7,5,3,2,1,100|BCAxNxBAUU，则 B 的非空真子集的个数为（）5 A.5 B.30 C.31 D.32 10.在“高一数学课本中的难题；大于等于 1，且小于等于 100 的所有整数；方程x2+2=0 的实数解；的近似值的全体；平面几何中所有的难证明的题目；著名的数学家；在实数中，比负数大的所有数的全体；一元二次方程 x2+bx-1=0 的根；a2，a2+
10、1，a2+2；”能够表示成集合的是 。11.设集合0,2222yxyxQxyyxyxP，若 P=Q，求 x，y 的值 。12.已知集合ZkkxxBZkkxxA,21|,21|，则 A B 13.已知BaAaxyyxBxyyxA,3|,12|,，求：a=。14.若ZnnxxCZnnxxBZnnxxA,18|,34|,14|，则集合 A、B、C 之间的关系是 。15.若集合012|2xaxxM只含一个元素，则 a=。16.设集合aaBaA2,1,21，若BA,则 a=.17.设ABaxaxBxxA,32|,62|，则 a=.18.设ABRxaxaxxBxxxA,0112|,04|222，则a=.1
11、9.设 xffxxBxfxxAqpxxxf|,|,2：（1）求证：;BA （2）若果31，A，求 B.6 常用逻辑用语 一、知识清单 1.命题定义：用语言、符号或式子表达的、可以判断正误的陈述语句，叫做命题。其中，判断为真的即为真命题，为假的即为假命题。2.命题的判断以及命题真假的判断（1）命题的判断：判断该语句是否是陈述句；能否判断真假。（2）命题真假的判断：首先，分清条件与结论，其次，再判断命题真假。3.一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用p 和q 表示 p 与 q 的否定，即如下：（四种命题的关系）4.充分条件和必要条件（1）充分条件：如果 A 成立，那么 B 成立，则
12、条件 A 是 B 成立的充分条件。（2）必要条件：如果 A 成立，那么 B 成立，这时 B 是 A 的必然结果，则条件 B 是 A 成立的必要条件。（3）充要条件：如果 A 既是 B 成立的充分条件，又是 B 成立的必要条件，则 A 是 B 成立的充要条件，与此同时，B 也一定是 A 成立的重要条件，所以此时，A、B 互为充要条件。【注意】充分条件与必要条件是完全等价的，是同一逻辑关系“AB”的不同表达方法。5.逻辑联结词（1）不含逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题，它们有以下几种形式：p 或 q（pq）；p 且 q（pq）；非 p（p）。
13、（2）逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解 在集合中学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切。6.量词与命题（1）全称量词和存在量词表示 命 题 表述形式 原命题 若 p 则 q 逆命题 若 q 则 p 否命题 若p 则q 逆否命题 若q 则p 7 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 存在量词 存在一个、至少有一个、某个、有些、某些等 （2）全称命题与特称命题 命题 全称命题“xpMx,”特称命题“00,xpMx”定义 短语“对所有的”“对任意一个”等，在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示。含有全称量词的命
14、题叫做全称命题 短语“存在一个”“至少有一个”等，在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题 实质 全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题 存在性命题就是陈述某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题 表述方法 所有的 xpMx,成立；对一切 xpMx,成立；对每一个 xpMx,成立；任选一个 xpMx,成立；凡 xpMx,成立。存在 00,xpMx使成立；至少有一个 00,xpMx使成立；对有些 00,xpMx使成立；对某个 00,xpMx使成立；有一个 00,xpMx使成立。7.命题的否定：其与否命题不是同一概念，否命题与原命题无真假关系（1）
15、含一个量词的命题（全称命题与特称命题）的否定 全称命题的否定为特称命题 特称命题的否定为全称命题 （2）复合命题的否定“p”的否定是“p”；“pq”的否定是“pq”；“pq”的否定是“pq”二、高考常见题型及解题方法 1.命题类题型考法与思路（1）命题及命题真假的判断方法 一般地，陈述句、反义疑问句是命题，而感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，含有变量的语句叫开语句，不能判断真假的开语句也不是命题；判断命题是否为真，也可先写出命题，分清条件和结论，然后直接判断；也可从其与逆否命题等价角度判断；（2）判断四种命题之间的关系时，要注意分清命题的条件和结论，再比较 p、q 之间的关系；命 题 命题的否
16、定)(xpMx，)(px00 xM，)(px00 xM，)(xpMx，8（3）当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提；对于有并列条件组成的命题时，要将其中一个（或 n 个）作为大前提。（4）一些词语及其否定如下表所示：2.命题四种形式判断的考法与解法（1）命题判断法 设“若 p，则 q”为原命题，那么：原命题为真 原命题为假 逆命题为真 P 为 q 的充要条件 必要不充分条件 逆命题为假 充分不必要条件 既不充分也不必要条件 命题判断（定义法）a.分清条件与结论（p 与 q）；b.找推式：即判断 p=q 及 q=p 的真假；c.下结论：根据上表。（2）集合判断法 从集合的观点
17、看，建立命题 p，q 相应的集合 p：A=x|p(x)成立，q：B=x|q(x)成立那么：若BA则 p 是 q 的充分条件；若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件；若AB 则 p 是 q 的必要条件；若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件；若BA且AB，即 A=B，则 p 是 q 的充要条件。（3）充分必要条件的判断应注意问题的设问方式“A 是 B 的充分不必要条件”是指：A=B 且 BA；“A 的充分不必要条件是 B”是指：B=A 且 AB；3.复合命题真假的判断 p q qp qp p 真 真 真 假 假 真 假 假 词语 是 都是 都不是 等于 大于 小于 至少有一个 至多有
18、一个 至少有n 个 至多有n 个 否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于 不小于 一个都没有 至少有两个 至多有n-1 个 至少有n+1 个 命题名称 真假 判断方法 1 判断方法 2 全称命题 真 所有对象命题真 否定为假 假 存在一个对象命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象命题真 否定为假 9 4.全（特）称命题真假的判断及其应用 5.全称命题与特称命题的否定形式、真假判断及求参数范围【针对训练】例 1.给出以下四个命题：“若 xy=0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若1q，则02qxx有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三内角相等”
19、的逆否命题。其中真命题是()A B C D 例 2.“ABC 中，若C=90，则A、B 都是锐角”的否命题为（）AABC 中，若C90，则A、B 都不是锐角 BABC 中，若C90，则A、B 不都是锐角 CABC 中，若C90，则A、B 都不一定是锐角 D以上都不对 例 3.给出 4 个命题：若0232 xx，则 x=1 或 x=2；若32x，则032xx；若 x=y=0，则022 yx；若Nyx,，xy 是奇数，则 x，y 中一个是奇数，一个是偶数。那么（）A的逆命题为真 B的否命题为真 C的逆否命题为假 D的逆命题为假 例 4.直线1 kxy的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是（）Ak0
20、Bk1 Ck1 Dk2 例 5.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A（p）（q）Bp（q）C（p）（q）Dpq 例 6.已知 a0,则0 x满足关于 x 的方程 ax=b 的充要条件是（）A.02022121,bxaxbxaxRx B.02022121,bxaxbxaxRx C.02022121,bxaxbxaxRx D.02022121,bxaxbxaxRx 例 7.命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为()A.对任意 xR，都有 x20 B.不存在 xR，都有
21、x20 C.存在 x0R，使得 x020 D.存在 x0R，使得 x020 例 8.若 p 是真命题，q 是假命题，则（）A.pq 是真命题 B.pq 是假命题 C.p 是真命题 D.q 是真命题 例 9.设Zx，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集。若命题BxAxp2,:，则（）A.BxAxp2,:B.BxAxp2,:假 所有对象命题假 否定为真 1 0 C.BxAxp2,:D.BxAxp2,:三、高考真题训练 1.（15北京）设，是两个不同的平面，m 是直线且”“/.mm 是”“/的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2.（15 年新课标
22、1）设命题 p：nN，则P 为（）A.nN,B.nN,C.nN,D.nN,=3.（15 年天津）设Rx，则“12 x”是“220 xx”的（）A.充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4（2015浙江卷）命题“nnfNnfNn且*,”的否定形式是()A nnfNnfNn且*,B nnfNnfNn或*,C 00*0*0,nnfNnfNn且 D 00*0*0,nnfNnfNn或 5.设Ryxyxp,211:22；Ryxyxyxyq,111:，则 p 是 q 的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.命题22:xp，
23、命题131:xq，则p是q成立的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.给定两个命题 p,q,p：若 x+y4 或 xy4，则 x2 或 y2；q：有一个偶数是质数，则“qp”为 命题（填“真”或“假”）。8.已知命题 p:方程0122 axx有两个大于-1 的实数根，命题 q：关于 x 的不等式012axax的解集为 R。若“qp”与“p”都是真命题，则实数 a 的取值范围：。9.已知命题 0,2,1:2axxp，命题022,:0200aaxxRxq，若命题“qp”是真命题，求实数 a 的取值范围 。10.已知命题024,:1mRmRxpxx，且命题p是假命题，则实数 m 的取值范围为 。11.若2,2x，不等式aaxx32恒成立，求 a 得取值范围 。2n2n2n2n2n2n2n2n2n2n 1 1 12.设集合3|,2|xxPxxM，则“Mx或Px”是“PMx”的 13.设p：实数x满足x24ax3a20.(1)若a1，且pq为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围。