高等数学期末复习题与答案.pdf

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1、高等数学2期末复习题 一、填空题：1.函数)3ln(12222yxyxz的定义域是 1X2+Y23 .2.设,)1(yxz则yz (1)ln(1)yxx .3.函数22ln(1)zxy在点(1,2)的全微分(1,2)dz 1233dxdy 4设,),(22yxxyyxf则),(yxf .设22(,),yf xyxyx则),(yxf .5.设vezusin 而 xyu yxv 则 yz sin()cos()xyexxyxy 6函 数 22yxz 在 点 1,2 处 沿从 点 1,2 到点 2,32的方向导数是 12 3 7.改换积分次序2022),(yydxyxfdy ；21101(,)yydy

2、f x y dx .8若 L 是抛物线 xy 2上从点 A)1,1(到点 B)1,1(的一段弧,则Lxydx=9.微分方程22(1)0 xxedyye dx的通解为 .二、选择题：1 yxyyx)tan(lim)0,2(),(等于 上下求导 A2,B.21 D.不存在 2函数 yxz 的定义域是 D A0,0),(yxyx B.yxyx2),(C.yxyyx2,0),(Dyxyxyx2,0,0),(3.),(00|),(yxxyxf B A.xyxfyyxxfx),(),(lim00000 B.xyxfyxxfx),(),(lim00000 C.xyxxfyyxxfx),(),(lim0000

3、0 D.xyxxfx),(lim000 5.设)(22yxFz,且 F 具有导数,则yzxzD A.yx22；B.)()22(22yxFyx；C.)()22(22yxFyx；D.)()22(22yxFyx.6曲线 taxcos,taysin,amtz,在 4t处的切向量是 D A)2,1,1(B.)2,1,1(C.)2,1,1(m D.)2,1,1(m 7对于函数xyxyxf2),(,原点)0,0(A A是驻点但不是极值点 B.不是驻点 C.是极大值点 D.是极小值点 8设 I=dxdyyxD5221,其中 D 是圆环4122yx所确定的闭区域,则必有 AI 大于零 小于零 等于零 不等于零,

4、但符号不能确定;9.已知 L 是平面上不包含原点的任意闭曲线,若曲线积分 220Lxdxaydyxy,则 a 等于 .A -1 B 1 C 2 D -2 10若 L 为连接)0,1(及)1,0(两点的直线段,则曲线积分()Lxy ds=A0 C.2 11.设 D 为,222yyx则dxdyyxfD)(22 A.dxyxfdyyy)(2220202；B.rdrrfd)(21020；C.rdrrfd)(2sin200；D.dyyxfdx)(222011.12.微分方程()1xeyy的通解为 A.xyec；B.xyexc；C.()xyxc e；D.xycxe 13.是微分方程xyye在初始条件001

5、,1xxyy 下的特解.A.12xycc xe；B.xyxe；C.12xyxe；D.1xyxe.三、计算题：1.设33(sin,)xzf ey xy,求 zx及zy,其中 f 具有一阶连续偏导数.2设sinsinxyuvxvyu,求 xu,xv 3求旋转抛物面 122yxz在点)4,1,2(处的切平面及法线方程;4求函数322(,)339f x yxyxyx3的极值 5计算2Dxy dxdy,其中 D 是由圆周 422 yx 及y轴所围成的右 半闭区域.6计算2yDedxdy,其中 D 是以 O0,0,A1,1,B0,1 为顶点的三角 形闭区域.7.计算xdxdydz,其中是三个坐标面与平面

6、1zyx 所围成的区域.8.计算 Ldyyxdxyx)1353()42(,其中 L 为圆2522 yx 的正向边界;9.计算曲线积分 33()(),Lyx dyxy dx 其中 L 是从 O0,0 沿上半圆xyx222到A2,0.10.验证：在整个xoy面内,xdyyxdxyx2cos3cos3cos3sinsin4是某个函数的全微分,并求出这样的一个函数.11.求微分方程22(1)24xyxyx 的通解.12.求解微分方程的特解：22(3)20,(0)1yxdyxydxy 13.解微分方程 23()()0yyyy.四、应用题：1.用钢板制造一个容积为 V 的无盖长方形水池,应如何选择水池的长

7、、宽、高才最省钢板.2.已知矩形的周长为 24cm,将它绕其一边旋转而构成一圆柱体,试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积.3.求抛物线242yxyx与曲线所围成的闭区域的面积.4.求抛物面226zxy与锥面22zxy所围成的立体的体积.高等数学 2 期末复习题答案 一、填空题：1、22(,)13x yxy 2、(1)ln(1)yxx 3、1233dxdy 4、22(1)2;1xyxyy 5、sin()cos()xyexxyxy 6、12 3 注：方向导数0,00000()(,)cos(,)cosxyx yffxyfxyl 7、402(,)xxdxf x y dy；201111000(,)(,)x

8、xdxf x y dydxf x y dy 8、45 注：01104()5Lxydxxx dxx xdx 9、22(1)xyeC 二、选择题：1、A;2.D;3.B;4.缺 5.D;6.D;7.A;8.A;9.A;11.C;三、计算题：1.解：令33sin,xuey vxy,则 2.解：两方程分别两边对x求偏导数,注意,u v是关于,x y的二元函数,得 1sincoscosuvxxvuvxvyuxx 即 1coscossinuvxxuvyuxvvxx 这是以,uvxx为未知量的二元线性方程组;当 11(coscos)0coscosJxvyuyuxv 时,有 111cossinsincosco

9、scosuxvvvxvxJxvyu,111sincoscossincoscosvvyuyuvxJxvyu 3.解：旋转抛物面 122yxz在点)4,1,2(处的切向量 于是,所求切平面方程为 4(2)2(1)(4)0 xyz,即 4260 xyz 法线方程为 214421xyz 4.解：解方程组223690360fxxxfyyy,得四个驻点1234(1,0),(1,2),(3,0),(3,2)PPPP.又 66,0,66xxxyyyfxffy.对21(1,0),0,PACB且0A,则1(1,0)P是函数的极小值点；对22(1,2),0PACB,则2(1,2)P不是极值点；对23(3,0),0P

10、ACB,则3(3,0)P 不是极值点；对24(3,2),0PACB,且0A,则4(3,2)P 是函数的极大值点.于是,函数有极小值(1,0)1 395f ,极大值(3,2)27827122731f .5.解：利用极坐标变换,令cos,sinxryr,则dxdyrdrd,且 D 可表示为：02,22r.于是 2253021164sin5315r.6.解：三角形区域 D 由直线,1yx y及y轴围成,选择先对x积分,22221111000011(1)22yyyyyDedxdydyedxyedyee.注：此题也可以参看课本 167 页例 2 的解法 7.解题过程见课本 124 页例 1.8.解：(,

11、)24,(,)3513P x yxyQ x yxy在 L 围成的圆域 D:2225xy上全在连续的偏导数,1,3PQyx,从而 4QPxy.于是由格林公式,得(24)(3513)44425100LDDxydxxydydxdydxdy.9.解：33(,),(,)P x yxyQ x yyx,有1PQyx 在整个xoy平面上恒成立,所以曲线积分与路径无关,故可取x轴上线段 OA 作为积分路径.OA 的方程为0y,且x从 0 变到 2,0dy,从而 3333()()()()LOAyx dyxy dxyx dyxy dx223400144x dxx.10.解：(,)4sinsin3 cos,(,)3c

12、os3 cos2P x yxyxQ x yyx,有 4sincos3cos36sin2 cos3Pxxyxyy,3cos32(sin2)6sin 2 cos3Qyxxyx,即 有PQyx在 整 个xoy平 面 上 恒 成 立,因 此 在 整 个xoy面内,xdyyxdxyx2cos3cos3cos3sinsin4是某个函数的全微分.取 ARB 为积分路径,其中各点坐标分别为(0,0),(,0),(,)AR xB x y,得 013cos2sin3sin3 cos23yxyyx .11.解法一：方程可改写为 2222411xxyyxx,这是一阶非齐次线性微分方程.先求对应的齐次线性方程的通解.由

13、2201xyyx,分离变量,得221dyxdxyx,两边积分,解得 121Cyx.用常数变易法,将1C换成()C x.即2()1C xyx,22212()()1(1)xyC xC xxx.代入原方程,化简得 2()4C xx.故 34()3C xxC.于是方程的通解为 3214()1 3yxCx.解法二：方程可改写为 2222411xxyyxx.这是一阶非齐次线性微分方程,其中22224(),()11xxP xQ xxx.利用通解公式 2232221414(1)()111 3xxdxCxCxxx.12.课本 212 页第 8 题第 1 小题;解：原方程可写成 221 320 xx dxyy d

14、y.令xuy,即 xyu,有 dxduuydydy,则原方程成为 21 32()0duuu uydy,分离变量,得 221udyduuy.两边积分,得21uCy.代入xuy并整理,得通解 223xyCy.由初始条件0,1,xy得 1C .于是所求特解为 322yyx.13.解题过程见课本212 页例 5.四、应用题：1.解法一：设水池的长、宽、高分别是,x y z.已知 xyz=V,从而高Vzxy,水池表面的面积 S 的定义域(,)0,0Dx yxy .这个问题就是求二元函数 S 在区域 D 内的最小值.解 方 程 组2222122()0,122()0.SVyVyxxxSVxVxyyy 在 区

15、 域 D 内 解 得 唯 一 得 驻 点332,2VV.根据实际问题可知最小值在定义域内必存在,因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长,宽均为32V,高为322V时,水池所用材料最省.解法二：设水池的长、宽、高分别是,x y z.已知 xyz=V,水池表面的面积 S 的定义域0,0,0),(zyxzyxD.此题就是求函数)(2yzxzxyS在约束条件 xyz=V 下的最小值.构造拉格朗日函数 2()()LxyxzyzxyzV.解方程组 20,20(1)20,20(2)220,220(3)0.(4)LyzyzxyxzxyzxLxzxzxyyzxyzyLxyxyxzyzxyzzLxyzV即即即

16、比较 1,2,3 式,得 x=y=2z,代入 4 式中,有32xV,即32xV.于是,x,y,z 只有唯一一组解33322,2,2VVV.由问题的实际意义最小值在定义域内必存在.因此,函数 S 在其唯一驻点33322,2,2VVV处必取得最小值.故当长方形水池的长,宽,高分别是33322,2,2VVV时所用材料最省.2.解题过程见课本 98页例4.3.利用二重积分求闭区域的面积 解：所求区域的面积为 DAdxdy,其中 D 为抛物线242yxyx与曲线所围成的闭区域.两曲线交于两点 0,0,1,2.选择先对x积分,于是,222220041141(2)4433yyDAdxdydydxyydy.4

17、.利用三重积分计算立体的体积.解法一：所求立体的体积为 Vdxdydz,其中是抛物面226zxy与锥面22zxy所围成的立体.利用直角坐标计算.由226zxy与22zxy消去z,解得222xy,即在xoy面上的投影区域 D 为圆域224xy.于是 222222(,)6(),4x y zxyzxyxy.因此 22226()xyDxyVdxdydzdxdydz =22226()Dxyxydxdy 用极坐标 22222430001132(6)2(3)433drrrdrrrr.解法二：所求立体的体积为 Vdxdydz,其中是抛物面226zxy与锥面22zxy所围成的立体.利用柱面坐标计算.由226zxy与22zxy消去z,解得222xy,即在xoy面上的投影区域 D 为圆域224xy.于是,在柱面坐标变换下 2(,)6,02,02 rz rzrr.因此 222600rrVdxdydzddrrdz 2222430011322(6)2(3)433rrr drrrr.