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1、空间简单几何体 一.技能要求：1.了解柱、锥、台、球的定义、结构特征、性质及它们之间的关系.(直棱柱:侧棱与底面垂直的棱柱.正棱柱:底面是正多边形的直棱柱.正棱锥:底面是正多边形,棱锥的顶点在底面的射影是正多边形的中心,各侧面是全等的等腰三角形.)2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.3.掌握球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.二.知识点梳理:1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征(1).棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面
2、休叫做棱柱.(2).棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.(3).用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间部分,这样的多面体叫做棱台.2.空间几何体的表面积(1).棱柱、棱锥、棱台表面积的计算:棱柱、棱锥、棱台是由若干个平面图形围成的几何体,，它们的表面积就是各表面的面积之和 (2).圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱:圆柱的侧面展开图是一个矩形,如果圆柱的底面半径为r,母线长为l,则圆柱的表面积为222Srlr.圆锥:圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l,则圆锥的表面积为21(2)2Sr lr.圆台:圆台的
3、侧面展开图是一个扇环.如果圆台的上、下底面半径为12rr，,母线长为l,则圆台的表面积为22(22)2rrSrrl 3.柱体、锥体、台体的体积(1).柱体的体积公式:VSh（S为底面面积,h为高）(2).锥体的体积公式:13VSh（S为底面面积,h为高）(3).台体的体积公式:1()3VSSSS h（SS，分别为上下底面面积,h为高）(4).柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系:柱体 台体 锥体 011()33S SSVShVSSSShVS h 4.球的表面积和体积:(1).球的体积公式:343VR;(2).球的表面积公式:24SR(R为球的半径).5.三视图 正视图(主视图):与实物等长等高
4、;侧视图(左视图):与实物等宽等高;俯视图:与实物等长等宽.6.直观图(斜二测画法)的步骤:(1).将平面直角坐标系中x轴与y轴的夹角由90变成45,其中x轴不变,只变y轴;(2).与x轴平行的直线长度不变,与y轴平行的直线长度变成原来的一半.三.例题分析:例 1.画出下列几何体的三视图：小结:(1)三视图的画法规则:正侧俯(2)三视图的摆放规则:正侧一样高,正俯一样长,俯侧一样宽.例 2.(2011 广东 9)如图,某几何体的正视图,侧视图和俯视图分别是等边三角形等腰三 角形和菱形,则该几何体体积为(C)A.34 B.4 C.32 D.2 变式:1.（山东卷 6）右图是一个几何体的三视图,根
5、据图中数据,可得该几何体的表面积是（D）A.9 B.10 C.11 D.12 2.一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径为 1的圆,那么这个几何体的全面积为(A)A.32 B.2 C.3 D.4 3.一个所有边长和棱长都是 2 的正三棱锥的表面积和体积分别是2 24 3,3.4.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为 m），则该棱锥的体积是433m.正视图 侧视图 俯视图 5.如右图为一个几何体的三视图,其中府视图为正三角形,A1B1=2,AA1=4，则该几何体的表面积为(C)A.6+3 B.24+3 C.24+23 D.32 6.(2012 广一模理 9)如
6、图 2 是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为4 33 7.(2012 广东理 6)某几何体的三视图如上图 1 所示，它的体积为(C)A.12 B.45 C.57 D.81 8.(2013 广东理 5)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是(B)A.4 B.143 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2 A B A1 B1 C C1 正视图 侧视图 俯视图 图 2 俯视图 2 2 正(主)视图 2 2 2 侧(左)视图 2 2 2 1 22 22222222侧视图正视图222222C.163 D.6【解析】B；由三视图可知,该四棱台的 上下底面边长分别为1和2的正方形,
7、高 为2,故22221141122233V,故选 B 9.(2013 广一模理 5).某空间几何体的三视图及尺寸如图 1，则该几何体的体积是(A)A.2 B.1 C.32 D.31 10.(2014 广一模理 11)一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图 3 所示，则这个四棱锥的体积是_4_ 11.(2015 广一模理)已知某锥体的正视图和侧视图如图 2,其体积 为2 33，则该锥体的俯视图可以是(C)图 2 A.B.C D 例 3.一个球的外切正方体的全面积等于 6 cm2,则此球的体积为(C)A.334cm B.386cm C.361cm D.366cm 附:(1).球内切于正方体的各个面,
8、则 2R=a;(2).球外接于正方体的各个顶点,则 2R=a3;(3).球外接于长方体的各个顶点,则 2R=222hba;(4).球与正方体的12条棱相切,则 2R=a2.变式:1.(2009江西)体积为8的一个正方体,其全面积与球O的表面积相等,则球O的体积等于68.2.若两个球的表面积之比为1:4,则它的体积之比为(B)A.161 B.81 C.41 D.21 3.正方体的内切球与外接球半径之比为(C)A.1:3 B.2:3 C.3:3 D.3:2 4.一个正方体的顶点都在球面上,棱长为2,那么这个球的体积为34.1 1 正（主）视图 侧（左）视图 图 3 俯视图 4 5 2 2 5.球的
9、半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 8 倍.空间点、直线、平面之间的位置关系 一.技能要求:1.掌握平面的概念及点、直线、平面位置关系的表示方法.2.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,掌握异面直线所成角的求解方法;了解直线与平面所成角,平面与平面(二面角)所成角的求法.3.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直的证明方法;平行证明方法总结:垂直证明方法总结:1.证明直线与直线平行的方法：1.证明直线与直线垂直的方法:(1)三角形中位线 (1)转化为证明直线与平面垂直(2)平行四边形 (2)直角三角形(直角,勾股定理,直径 所对的圆周角)（证法：一组
10、对边平行且相等）(3)等腰三角形底边上的中线垂直底边 (4)菱形的对角线互相垂直 2.证明直线与平面平行的方法：2.证明直线与平面垂直的方法:(1)平面外一条直线与平面内的一条直线平行 (1)直线与平面内两条相交直线垂直(2)先证面面平行 (2)两个平面垂直,一个平面内垂直交 线的直线垂直另一个平面 3.证明平面与平面平行的方法：3.证明平面与平面垂直的方法:一个平面内的两条相交直线分别与另一 一个平面内有一条直线与另一个 平面平行 平面垂直 一.选择题:1.（2013 年高考浙江卷）设 m.n 是两条不同的直线,.是两个不同的平面(C)A.若 m,n,则 mn B.若 m,m,则 C.若 m
11、n,m,则 n D.若 m,则 m 2.（2013 广东）设l为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（B）A若/l,/l,则/B若l,l,则/C若l,/l,则/D若,/l,则l 3.【2012 高考浙江】设l是直线，a，是两个不同的平面(B)A.若la，l，则 a B.若la，l，则 a C.若 a，la，则l D.若 a,la，则l 4.(2014 辽宁 4)已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（B）A.若/,/,mn则/mn B.若m，n，则mn C.若m，mn，则/n D.若/m，mn，则n 二.解答题:1.已知空间四边形ABCD中,E,F 分别是 AB,AD
12、 的中点,求证:EF/平面 BCD.2.在四棱锥ABCDP 中，M、N 分别是 AB，PC 的中点，若四边形 ABCD 是平行四边形，求证：MN/平面 PAD 3.如图所示的几何体中,EA 平面 ABC,且AC=BC,M是AB的中点,求证:CMEM.1234122334141414145.2014,/,(D)./.l l l lll llllA llB llC llDll（广东文9)若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与 既不垂直也不平行与 的位置关系不确定 4.如右图所示,SA平面 ABC,90ABC,AESB且.AESBE AFSC且AFSCF,求证:(1).BC平面 SA
13、B(2).AE平面 SBC(3).SCEF 5.在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AD,BC 的中点,若 AC=BD=a,2,C=902EFaBD,求证:BD平面 ACD 立体几何（空间向量）知识点梳理：1.1 12 23 3a baba ba b,112233/,()abab ab abR,1 12 23 30ababa bab,2.模长公式:若123(,)aa a a,123(,)bb b b,则222123|aa aaaa,222123|bb bbbb 3.夹角公式:1 12 23 3222222123123cos|aba ba ba ba babaaabbb ABC 中0 A
14、CABA 为锐角0 ACABA 为钝角，钝角 3.两点间的距离公式：若111(,)A x y z,222(,)B xyz,则2222212121|()()()ABABxxyyzz,或222,212121()()()ABdxxyyzz 4.空间向量与立体几何:(1).线线平行两线的方向向量平行(2).线面平行线的方向向量与面的法向量垂直(3).面面平行两面的法向量平行(4).线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直(5).线面垂直线与面的法向量平行(6).面面垂直两面的法向量垂直 5.线面夹角90,0OO:求线面夹角的步骤:先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取
15、其补角;再求其余角,即是线面的夹角.nAP,cossin 6.面面夹角(二面角)180,0OO:若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量12,n n的 夹 角;法 向 量 同 进 同 出,则 二 面 角 等 于 法 向 量 的 夹 角 的 补角.12coscos,n n 7.点面距离h:求点00,P x y到平面的距离:在平面上去一点,Q x y,得向量PQ;计算平面的法向量n;PQ nhn 习题训练：1.如图 1 所示,四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PD 平面ABCD，2PDAB,E,F,G分别为PC、PD、BC的中点(1).求证:PAEF；(2).求二面角 DFGE 的余弦
16、值 （1）证法 1：PD 平面ABCD，CD 平面ABCD，CDPD 又ABCD为正方形，CDAD PDADD，CD 平面PAD PA 平面PAD，CDPA/EFCD，PAEF.证法 2：以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则(0,0,1)F,(0,1,1)E,(0,0,2)P,(2,0,0)A,(2,0,2)PA,(0,1,0)EF.2,0,20,1,00PAEF,PAEF.（2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则(0,0,0)D,(0,0,1)F,(1,2,0)G,(0,1,1)E,(0,0,1)DF,(0,1,0)EF,(1,2,1)FG.设平面 DFG
17、的法向量为111(,)x y zm,11110,0,20.0.zDFxyzFGmm 令11y，得2,1,0 m是平面DFG的一个法向量.设平面 EFG 的法向量为222(,)xyzn，22220,0,20.0.yEFxyzFGnn 令21z，得1,0,1n是平面EFG的一个法向量 2210cos,|55210 m nm nmn 设二面角DFGE的平面角为，则,m n 所以二面角DFGE的余弦值为105 2.如图,平面PAD平面ABCD,ABCD为正方形,90oPAD,且PA=AD,EF、分别是线段PACD、的中点(1).求证:PA 平面ABCD；(2).求异面直线EF与BD所成角的余弦值 (1
18、).证明:由于平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD.而90oPAD即PAAD，且PA 平面PAD.由面面垂直的性质定理得：PA平面ABCD.(2).解法一：取 BC 的中点 M，连结 EM、FM,则 FM/BD,EFM（或其补角）就是异面直线 EF 与 BD 所成的角.设PA2,则AD2DCCBBA,221()52AMABBC 222 2BDABAD,RtMAE 中,226EMEAAM,同理6EF,又122FMBD,MFE 中,由余弦定理 2223cos26EFFMMEEFMEF FM 图 1 A B C D E F G P x y z A B C D E F G P 解法二
19、：建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,设2AB,(0,0,0)A,(2,0,0)B,(2,2,0)C,(0,2,0)D,(0,0,2)P,(0,0,1)E,(1,2,0)F(1,2,1)EF，(2,2,0)BD ，3cos6|EF BDEFBD 3.(2014 广东理数 18)如图 4,四边形ABCD为正方形,PD 平面ABCD,030DPC,AFPC于点F,/FECD,交PD于点E.(1).证明:CFADF 平面(2).求二面角DAFE的余弦值.(1).证明:PD 平面ABCD,PDAD,又CDAD,PDCDD,AD平面PCD,ADPC,又AFPC,PC平面ADF,即CFADF 平面;(
20、2).设1AB,则Rt PDC中,1CD,又030DPC,2PC,3PD,由(1)知CFDF,32DF,2272AFADDF,2212CFACAF,又/FECD,14DECFPDPC,34DE,同理3344EFCD,如图所示,以 D 为原点，建立空间直角坐标系,则(0,0,1)A,3(,0,0)4E,3 3(,0)44F,(3,0,0)P,(0,1,0)C,设(,)mx y z是平面AEF的法向量,则mAEmEF,又3(,0,0)43(0,0)4AEEF,所以304304m AExzm EFy,令4x,得3z,(4,0,3)m,由(1)知平面ADF的一个 法向量(3,1,0)PC ,设二面角D
21、AFE的平面角为,可知为锐角,|cos|cos,|m PCm PCmPC4 32 5719192,即所求 4.在如图所示的多面体中,EF平面AEB,AEEB,/ADEF,/EFBC,24BCAD,3EF,2AEBE,G是BC的中点.(1).求证：BDEG；(2).求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值.(1).解法 1:证明:EF 平面AEB,AE 平面AEB，EFAE，又,AEEB EBEFE,EB EF 平面BCFE，AE 平面BCFE.过D作/DHAE交EF于H,则DH 平面BCFE.EG 平面BCFE,DHEG./,/ADEF DHAE,四边形AEHD平行四边形,2EHAD,2E
22、HBG,又/,EHBG EHBE,四边形BGHE为正方形,BHEG,又,BHDHH BH平面BHD，DH 平 面BHD,EG 平 面BHD.BD 平面BHD,BDEG.(2).AE 平面BCFE,AE 平面AEFD 平面AEFD平面BCFE,由（1）可知GHEF GH平面AEFD,DE 平面AEFD,GHDE.取DE的中点M,连结 MH,MG.四边形AEHD是正方形,MHDE,MHGHHMH 平面GHM,GH 平面GHM,DE平面GHM,DEMG,GMH是二面角GDEF的平面角,由计算得2,2,6GHMHMG,23cos36GMH 平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为33.ADFEBG
23、CBCFEDMHGAA B C DE Fp A B C D z 解法 2:EF 平面AEB,AE 平面AEB,BE 平面AEB,EFAE,EFBE,又AEEB,EB EF EA两两垂直.以点 E 为坐标原点，,EB EF EA分别为,x y z轴 建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得:A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,).(2,2,0)EG,(2,2,2)BD ,22220BD EG ,BDEG.(2).由已知得(2,0,0)EB 是平面DEF的法向量.设平面DEG的法向量为(,)nx y z，(0,2,2),(2,2,0)
24、EDEG，00ED nEG n,即00yzxy,令1x,得(1,1,1)n.设 平 面DEG与 平 面DEF所 成 锐 二 面 角 的 大 小 为，则|23cos|cos,|32 3|n EBn EBnEB 平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为33.5.如图,已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形,PA 平面ABCD,PAADAC,点F为PC的中点(1).求证:/PA平面BFD；(2).求二面角CBFD的正切值 (1).证明:连结AC,BD与AC交于点O,连结OF ABCD是菱形,O是AC的中点.点F为PC的中点,/OFPA.OF 平面,BFD PA 平面BFD,/PA平面BFD.(
25、)解法一:PA 平面ABCD,AC 平面ABCD,PAAC./OFPA,OFAC.ABCD是菱形,ACBD.OFBDO,AC 平面BDF.作OHBF,垂足为H,连接CH,则CHBF,所以OHC为二面角C BF D的平面角.PAADAC,13,22OFPA BOPA,22BFBOOFPA.在 RtFOB中,OH=43BFBOOFPA,12 32tan334PAOCOHCOHPA 二面角CBFD的正切值是2 33.解法二：如图,以点A为坐标原点,线段BC的垂直平分线所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,令1PAADAC,则3 10,0,0,0,0,1,022A
26、PC，31,0,0,1,022BD,3 1 1,44 2F 3 3 10,1,0,44 2BCBF.设平面BCF的一个法向量为n,x y z,由n,BCnBF,得03310442yxyz,032yzx,令1x,则32z,31,0,2n.PA 平面ABCD,AC 平面ABCD,PAAC./OFPA,OFAC.ABCD是菱形,ACBD.OFBDO，AC 平面BFD.AC是平面BFD的一个法向量,AC 3 1,022.z y x F P D C B A OCBHDPFAxzyADFEBGCEC1B1A1CBANMFDEC1B1A1CBAzyxEC1B1A1CBA3212cos,73114AC nAC
27、 nACn,2212 7sin,177AC n,27237tan,3217AC n.二面角CBFD的正切值是2 33.6.如图,在三棱拄111ABCABC中,AB 侧面11BB C C,已知11,2,BCBB 2AB,13BCC(1).求证：1C BABC 平面；(2).试在棱1CC(不包含端点1,)C C上确定一点E的位置,使得1EAEB；(3).在(2)的条件下,求二面角11AEBA的平面角的正切值.证:(1)因为AB 侧面11BB C C,故1ABBC.在1BC C中,111,2,BCCCBB 13BCC,由余弦定理有 2211112cos142 2 cos33BCBCCCBC CCBC
28、C 故有222111BCBCCCC BBC.而BCABB且,AB BC 平面ABC 1C BABC 平面.(2).由11,EAEB ABEB ABAEA AB AEABE 平面,从而1B EABE 平面,且BEABE 平面 故1BEB E 不 妨 设CEx,则12C Ex,则221BExx,又1123BC C,则2211B Exx,在1Rt BEB中有 22114xxxx ,从而1x （舍负）,故E为1CC的中点时,1EAEB.法 二：以B为 原 点1,BC BC BA为,x y z轴,设CEx,则11(0,0,0),(1),(1,3,0),(0,0,2)2BEx BA 由1EAEB得 10E
29、A EB 即 化简整理得 2320 xx 1x 或 2x,当2x 时E与1C重合不满足题意;当1x 时E为1CC的中点,故E为1CC的中点使1EAEB (3).取1EB的中点D,1AE的中点F,1BB的中点N,1AB的中点M,连DF则11/DFAB,连DN则/DNBE,连MN则11/MNAB,连MF则/MFBE,且MNDF为矩形,/MDAE,又1111,ABEB BEEB,故MDF为所求二面角的平面角在Rt DFM中,1112(22DFABBCE为正三角形）111222MFBECE 122tan222MDF 法二：由已知1111,EAEB B AEB,所以二面角11AEBA的平面角的大小为向量
30、11B A与EA的夹角因为11(0,0,2)B ABA,31(,2)22EA 故 111122costan23EA B AEAB A 7.如图,在四棱锥OABCD中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形,ABC=4,OA底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点.1313(1,2)(2,3,0)022221133(1)(2)302222xxxxxxxxxyzNMABDCOP(1).证明:直线 MN/平面 OCD;(2).求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；(3).求点 B 到平面 OCD 的距离。方法一：（1）证明：取 OB 中点 E,连接 ME,NE,MECD
31、MECD，AB,AB 又,NEOCMNEOCD平面平面 MNOCD平面（2）CDAB,MDC为异面直线AB与MD 所成的角（或其补角）,作 APCD 于 P,连接 MP 平面A BC D，OACDMP 2,42ADPDP=222MDMAAD,1cos,23DPMDPMDCMDPMD 所以 AB 与 MD 所成角的大小为3.（3）AB/平面 OCD,点 A 和点 B 到平面OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作 AQOP 于点 Q,APCD OACDCD平面 OAP,AQCD.又,AQOPAQ平面 OCD,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离 2222213 24 122OP
32、ODDPOAADDP.AP=DP=22,2222AQ33 32OA APOP,所以点 B 到平面 OCD 的距离为23.方法二(向量法)作 APCD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x,y,z 轴建立坐标系 22222A 0,0,0,1,0,0,(0,0),(,0),(0,0,2),(0,0,1),N 1,022244BPDOM (1)22222(1,1),(0,2),(,2)44222MNOPOD,设 平 面OCD的 法 向 量 为(,)nx y z,则0,0,n OPn OD即2202222022yzxyz取2z,解得(0,4,2)n.22(1,1)(0,4,2)04
33、4MN n MNOCD平面(2)设 AB 与 MD 所成的角为,22(1,0,0),(,1)22ABMD,1cos,23AB MDABMD即 AB 与 MD 所成角为3.(3)设点 B 到平面 OCD 的距离为d,则d为OB在向量(0,4,2)n 上的投影的绝对值,由(1,0,2)OB,得23OB ndn.所以点 B 到平面 OCD 的距离为23.8.已知四棱锥PABCD的底面是正方形,PA底面ABCD,且2PAAD,点M、N分别在侧棱PD、PC上,且PMMD (1).求证：AM平面PCD；(2).若12PNNC，求平面AMN与平面PAB的所成锐二面角的余弦值 解：(1).因为四棱锥 PABC
34、D 的底面是正方形,PA底面 ABCD,则 CD侧面 PAD .AMCD 又.,2PDAMADPA 又.,PCDAMDCDPD平面(2).建立如图所示的空间直角坐标系,xyzA又PA=AD=2,则有P(0,0,2),D(0,2,0).0,2,2(),1,1,0(CM(2,2,2).PC设MDACBPN1(,),2N x y zPNNC则有.32),2(210 xxx同理可得.34,32zy即得).34,32,32(N 由4480,.333PC ANPCAN(2,2,2).AMNPC平面的法向量为而平面 PAB 的法向量可为),0,2,0(AD 43cos,.3124PC ADPC ADPCAD
35、 9.在棱长 AB=AD=2,AA1=3 的长方体 AC1中,点 E 是平面 BCC1B1上动点,点 F 是 CD 的中点.(1).试确定 E 的位置,使 D1E平面 AB1F；(2).求二面角 B1AFB 的余弦值.解:(1).以 A 为原点,AB、AD、AA1所在直线 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,A(0,0,0),F(1,2,0),B1(2,0,3),D1(0,2,3),设 E(2,y,z),则)3,2,2(1zyED,)3,0,2(),0,2,1(1ABAF 由3510)3(340)2(22,001111zyzyABDEAFEDFABED即平面)35,1,2(E 为
36、所求.(2).当 D1E平面 AB1F 时,ED1=（2,1,)3,0,0(),341BB 又EDBB11 与分别是平面 BEF 与平面 B1EF 的法向量,则二面角 B1AFB 的平面角等于.,11EDBB.61614)34(123)34(3,cos2211EDBB 10.如图,在组合体中,1111DCBAABCD 是一个长方体,ABCDP是一个四棱锥,2AB,3BC,点DDCCP11平面且2 PCPD（）证明：PBCPD平面；（）求PA与平面ABCD所成的角的正切值；（）若aAA 1，当a为何值时，DABPC1/平面()证明：因为2 PCPD，2 ABCD，所以PCD为等腰直角三角形，所以
37、PCPD 因为1111DCBAABCD 是一个长方体,所以DDCCBC11面,而DDCCP11平面，所以DDCCPD11面，所以PDBC.因为PD垂 直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC,由线面垂直的判定定理,可得PBCPD平面.()解：过P点在平面DDCC11作CDPE 于E，连接AE.因为PCDABCD面面，所以ABCDPE面，所以PAE就是PA与平面ABCD所成的角 因为1PE,10AE,所以1010101tanAEPEPAE 所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为1010 ()解：当2a时,DABPC1/平面.当2a时,四 边 形DDCC11是 一 个 正 方 形,所 以0145
38、DCC,而045PDC,所 以0190PDC,所以PDDC1.而PDPC,DC1与PC在同一个平面内,所以 DCPC1/.而DCABDC111面,所 以DCABPC11/面,所以DABPC1/平面.方法二：()如图建立空间直角坐标系,设棱长aAA 1,则有),0,0(aD,)1,1,0(aP,),2,3(aB,),2,0(aC.于是(0,1,1)PD ,(3,1,1)PB,(0,1,1)PC,所以0PD PB,0PD PC.所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC,由线面垂直的判定定理,可得PBCPD平面.(),0,3(aA，所以(3,1,1)PA ，而平面ABCD的一个法向量为1(0,0,1)n.D1C1B1A1PDCBAz x y 所以1111cos,1111 1PD n.所以PA与平面ABCD所成的角的正弦值为1111.所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为1010.()0,2,3(1B,以)0,0,3(DA,),2,0(1aAB.设 平 面DAB1的 法 向 量 为),(2zyxn,有0203212azynABxnDA,2z,得 平 面DAB1的 一 个 法 向 量 为)2,0(2an.若要使得DABPC1/平面,要2nPC,022anPC,得2a.所以当2a时，DABPC1/平面