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1、第二章 应力强度因子的计算 K-应力、位移场的度量K的计算很重要,计算K值的几种方法:1.数学分析法:复变函数法、积分变换；2.近似计算法：边界配置法、有限元法；3.实验标定法：柔度标定法；4.实验应力分析法：光弹性法.2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算 一、无限大板型裂纹应力强度因子的计算 0lim2KZ计算K的基本公式，适用于、型裂纹.1.在“无限大”平板中具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，距离xb 处各作用一对集中力p.ReImxZyZ ReImyZyZ RexyyZ 选取复变解析函数：22222()pz abZzb 边界条件：a.,0 xyxyz.b.,za出去zb 处裂纹为自
2、由表面上0,0yxy。c.如切出xy坐标系内的第一象限的薄平板，在x轴所在截面上内力总和为p。p p p p a a b x y y 以新坐标表示：22222()()(2)paabZaba 2202lim2()()p aKZab 2.在无限大平板中,具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，在距离1xa 的范围内受均布载荷q作用.利用叠加原理:微段集中力qdx222()q adKdxax 2202()aq aKdxax 令22coscosxaaxa,cosdxad 111sin()10cos22sin()cosaaaaaaaKqdqa 当整个表面受均布载荷时,1aa.12sin()aaaKqqa
3、3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在x轴上有一系列长度为2a,间距为2b的裂纹.q q x y 21a y 边界条件是周期的:a.,yxz.b.在所有裂纹内部应力为零.0,22yaxaabxab 在区间内0,0yx y c.所有裂纹前端y 单个裂纹时 22zZza 又Z应为2b的周期函数 22sin2(sin)(sin)22zbZzabb 采用新坐标:za 22sin()2()(sin)(sin)22abZaabb 当0时,sin,cos1222bbb sin()sincoscossin22222aaabbbbb x a a y b b b cossin222aabbb 2222sin()(
4、)cos2cossin(sin)2222222aaaaabbbbbbb 22sin()(sin)2cossin22222aaaabbbbb 0sin22cossin222abZaabbb 0sin2lim22 tan21cossin222aabKZbbaabbb 2tan2baaab 取2tan2wbaMab-修正系数,大于 1,表示其他裂纹存在对K的影响.若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多(2125ab)可不考虑相互作用,按单个裂纹计算.二、无限大平板、型裂纹问题应力强度因子的计算 1.型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):0lim()2KZ 2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远
5、的边界上处于平板面内的纯剪切力作用.x a a y b b b 22sin2()(sin)(sin)22zbZ zzabb 22sin()2()sin()(sin)22abZaabb 02lim2()tan2baKZaab 3.型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):0lim2()KZ 4.周期性裂纹:2tan2baKaab 2-2 深埋裂纹的应力强度因子的计算 1950年，格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变，得到椭圆表面上任意点,沿y方向的张开位移为:1222022(1)xzyyac 其中:202(1)ayE.为第二类椭圆积分.有 2222201sincad
6、a (于仁东书)1222220sin()cosadc (王铎书)1962年,Irwin利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子 z x y 2c 2a x z x z c c a a r p O 原裂纹面 11cos,sinzx 又 222222221111221xzc xa za cac 2222sincosacca 假设:椭圆形裂纹扩展时,其失径的增值r与成正比.rf (f 远小于 1)2222sincosrrfcaac 边缘上任一点(,)p x z,有:1()sin(1)sin(1)xrff x 1()cos(1)zrf z 11(,),(,)p x zp x z均在0y 的平面内.2
7、22242222(1)c xa zfa ca c 新的裂纹面仍为椭圆.长轴(1)cf c,短轴(1)af a.y向位移 22002(1)2(1)(1)(1)af ayf yEE 原有裂纹面:222220()1xzyacy 扩展后裂纹面:222220()1xzyacy 以1xx,1zz,代入原有裂纹面的边缘y向位移y,有 2222211112222222011(1)(1)xzxzyyacfafc 2222221111112222221(12)(12)12()xzxzxzfffacacac 2 f 2222200022(1)2yfyffyfy 又2222sincosrfcaac 22222202s
8、incosryycaac 设各边缘的法向平面为平面应变,有:3(21)sinsin4222KrvkG 其中34k 当时 24(1)2rvKE 2222222202216(1)sincos2IryrcaKacE 2222222021E()sincos4 1IKycaac 又 202(1)ayE 14122222()(sincos)IaKcac 在椭圆的短轴方向上，即2，有IImaxKK 危险部位 椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子 当ac时圆片状裂纹，22IKa 2-3 半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算 一、表面浅裂纹的应力强度因子 当aB（板厚）线裂纹可以忽略后自由表面对 A 点应力强度的影响 欧
9、文假设：半椭圆片状表面线裂纹IK与深埋椭圆裂纹的IK之比等于边裂纹平板与中心裂纹平板的IK值之比。IIIIKKKK表边埋中 又有：1220.1sin(1)tanIIAKWAKW边中 其中：A-裂纹长度；W-板宽度 当1AW时22sinAAWW，tanAAWW 1.21.1IIKK边中 1.1IIKK表埋 1.1 61.1IIaKK埋表 椭 圆 片 状 表 面 裂 纹A 处 的IK值 二、表面深裂纹的应力强度因子 深裂纹：引入前后二个自由表面使裂纹尖端的弹性约束减少裂纹容易扩展IK增大()IIKMe K表面（埋藏）其中：Me弹性修正系数，应大于1，由实验确定 2c x z y A a 一般情况下
10、12MeMM 其中：1M前自由表面的修正系数 2M后自由表面的修正系数 关于Me表达式两种形式的论述 1.巴里斯和薛 a0ac时接近于单边切口试样11.12M b1ac时接近于半圆形的表面裂纹11M 利用线性内插法11 0.12(1)aMc 利用中心穿透裂纹弹性件的厚度校正系数 1222(tan)2BaMaB B板厚 a裂纹深度 c裂纹长度 当aB时21M 浅裂纹不考后自由表面的影响 2.柯巴亚希.沙.莫斯 211 0.12(1)2aMc 1222(tan)2BaMaB 表面裂纹的应力强度因子（应为最深点处）：IaKMe 2-4 其他问题应力强度因子的计算 一、.型复合问题应力强度因子的计算
11、复变数：iyxz，iyxz 取复变解析函数：()x zpiq，11()zpiq 取应力函数：2()()()()zzzx zzx z或Re()()zzx z满足双调和方程 分析第一应力不变量：22224Re()xyx zxy（推导过程略）对于.型复合裂纹 型：ReImxIIZyZ，ReImyIIZyZ|0|0|0()2Re2Re2IxyIIKZ 型：2ImRexIIIIZyZ ReyIIyZ 000()|2Im|2Im|2xyKZ、型复合裂纹在裂纹前端处的不变量.000()|2Re|2Im|22xyKK 012Re()|2KiK 取复数形式的应力强度因子.KKiK 00()|2Re()|2xyK
12、 又()4Re()xyx Z 0lim 2 2()Kx Z 若采用z坐标:2 2lim()zaZaKZax Z 选择()x z满足具体问题的应力边界条件.这种方法利用普遍形式函数求解应力强度因子.1144()()()()fF ZF ZZF ZZF Z (14(),()F ZF Z为解析函数)-复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式(或复变应力函数为普遍形式).利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿透裂纹问题.二、有限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算 实际情况:应看成有限宽计算.必须考虑的自由边界对裂纹尖端应力场和位移场的影响.在理论上得不到完全解.通过近似的简化或数值计算方法数值解.方法:
13、边界配置法,有限单元法等.针对有限宽板问题:寻找一个满足双调和方程和边界条件的应力函数或复变解析应力函数.边界配置法:将应力函数用无穷级数表达,使其满足双调和方程和边界条件,但不是满足所有的边界条件,而是在有限宽板的边界上,选足够多的点,用以确定应力函数,然后再由这样符合边界条件的应力函数确定K值.边界配置法:计算平面问题的单边裂纹问题,只限于讨论直边界问题.以三点弯曲试样为例进行说明.(1)威廉氏(Williams)应力函数和应力公式 Williams应力函数:121(1)2(,)cos(1)cos(1)2212jjjjjjjrCrj 满足双调和方程4(,)0r.边界条件:裂纹上、下表面(2
14、),y和xy均为零.上式满足.在边界上的边界条件的满足如下确定:在有限宽板的边界上选取足够的点,如图,使这一点的边界条件满足jC (1)2s 2s 2p 2p p W a (2)为了计算方便引入无量纲量:2jjjDC BWp 其中：B试件厚度,W-试件宽度.121(1)2(,)cos(1)cos(1)2212jjjjjpWrjjrDjBW 221(,)yjjjpD A rxBW 122(1)cos(1)(1)cos(3)22222jjjrjjjjjAW 221(,)xjjjpD B ryBW 21(,)xyjjjpD E rx yBW (2)K的计算 针对型裂纹:3cos(1 sinsin)2
15、222xKr 3cos(1 sinsin)2222yKr 当0时.2yxKr (0r)00lim2|yrKr 又因为当0时,cos1,当j=1 时在乘2 r后与r无关,而当a 2p 2s 2,3,4j 时在乘2 r后与r有关,当0r 时都为零.1210111lim()(2 1)1(1)1222rprKDBWW 12pDB W 应利用边界条件确定1D,边界条件只个边界各点的应力,可利用不同的边界条件,a.应力.b.,n（n为法向）.c.n,(为切向)（3）借用无裂纹体内的边界条件求系数jD 取含裂纹三点弯曲试样的左半段的受力状态和不含裂纹的悬臂梁受力是一样的.取m个点分析,以2m有限级数代替无限
16、级数精度足够.对于不同的点有:2111myjjyjpD ABW 12111mxyjjxyjpD EBW 其中1jE已知,1xy由材料力学计算.()paKFBWW 1357922222()11.6()18.4()87.2()150.4()154.8()aaaaaaFWWWWWW 其中4sW标准试件,此式为美国 SEM-E399规范 2-5 确定应力强度因子的有限元法 不同裂纹体在不同的开裂方式的应力强度因子是不同的.一些实验方法、解析方法都有各自的局限性,而有限元等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力和位移场,而应力和位移场与K密切相关,所以,可以通过有限元方法进行应力强度因子的计算.一、位移法
17、求应力强度因子 型:3(,)(21)coscos4222Kru rkG 3(,)(21)sinsin4222Krv rkG 有限元法裂纹尖端位移22(,)1GKv rkr，这种方法为外推法 二、应力法求应力强度因子 型:(,)()2iyiyKrfr 有限元法(,0)2yyrKr Kr的关系曲线外推K的准确值.应力法与位移法比较:利用刚度法求应力时,应力场比位移场的精度低(因应力是位移对坐标的偏导数).三、间接法求应力强度因子(应变能释放率法)KGE 利用有限元法确定GK.四、J积分法 r K K :围绕裂纹尖端的闭合曲线.T:积分边界上的力.u:边界上的位移.J积分为:uJWdyTdsx 其中
18、12iyiyW 为应变能密度.线弹性问题:KJGE.利用有限样方法计算回路积分K.2-6 叠加原理及其应用 x y u n T 一、K的叠加原理及其应用 1.K的叠加 线弹性叠加原理:当n个载荷同时作用于某一弹性体上时，载荷组在某一点上引起的应力和位移等于单个载荷在该点引起的应力和位移分量之总和.叠加原理适用于K 证明:00lim2|yrKr 设在1T载荷作用下,有:(1)(1)(1)000,|lim2|yyrKr 设在2T载荷作用下,有:(2)(2)(2)000,|lim2|yyrKr 由叠加原理有:(1)(2)000|yyy(1)(2)KKK 满足叠加原理 计算复杂载荷下应力强度因子的方法
19、:将复杂载荷分解成简单载荷,简单载荷可查K手册.2.实例:铆钉孔边双耳裂纹的K值 叠加原理:()()()()()()()1()2abcdabcKKKKKKK 其中:()()2baKaD D为圆孔直径,可查应力强度因子手册.板有宽度:()secaaFWW -板宽的修正.这里:2fDaa 即有效裂纹长度.W a a pW a a a a p a a p=+-()a()b()c()d()()2()sec2bDaaKaDW 确定()cK:无限板宽中心贯穿裂纹受集中力p作用.pKa a为有效裂纹长度 1(2)2faDa 1(2)2pKDa 有限板宽:(2)()sec2aDaFWW()(2)(2)secs
20、ec22()()22cpaDWDaKWWDDaa()(2)sec()22()22aDaaWKaDWDa 二、应力场叠加原理及其应用 1.应力场叠加原理 0T:无裂纹时外边界约束在裂纹所处位置产生的内应力场.叠加原理:()()()()abccKKKK 应力场叠加原理:在复杂的外界约束作用下,裂纹前端的应力强度因子等于没有外界约束,但在裂纹表面上反向作用着无裂纹时外界约束在裂纹出产生的内应力0T所致的应力强度因子.0T 0T=+()a()b()c 如图 2.实例:旋转叶轮(或轴)内孔端裂纹的K 以等角速度运转的叶轮,在内孔面有一长为2a的贯穿裂纹,求裂纹前段的应力强度因子.(1)求解无裂纹时,旋转
21、体在无裂纹部位的内应力.有弹性力学有：22222112222223(1)8rRRrfRRrR 222221122222231 3(1)83RRrfRRrR 其中：f为叶轮密度,为角速度,1R为叶轮内径,2R为叶轮外径,r为计算点的位置,为泊松比.(平面应力)1(平面应变)一般情况下:12111050RR 212()1RR T 0u a A B 2R 1R A B 0T a b a比较小:22()1rR.22210223(1)8RTfRr(2)根据类比原则:比较()d与()b:内孔半径一致,裂纹大小及组态一样,裂纹面上下受力一致,外边界无约束,唯一不同的是一个是有限体,一个是无限体,由于边界是自
22、由的()dKK(b)(3).根据叠加原理 带中心孔的无限大板,受双向拉应力220238fR时,孔边附近的应力(注意无裂纹时),由弹性力学知:21002(1)RTr A B()c 0 A B 0T()d()dKK(c)()01()caKKa fR(a)2.7 实际裂纹的近似处理 利用断裂力学进行安全评价时,首先确定缺陷的大小,部位和形状,偏于安全考虑:夹杂、空洞、气孔、夹杂性裂纹裂纹应针对实际问题进行分析.一、缺陷群的相互作用 1.垂直外应力的并列裂纹 并列裂纹的作用使K下降工程上偏安全考虑(1)并列裂纹作为单个裂纹考虑;(2)对于密集的缺陷群,假定它们在空间规则排列,并可把空间裂纹简化成平面裂
23、纹.2.与外应力垂直的面内共线裂纹 如裂纹中心间距大于缺陷尺寸五倍以上,可做为单个裂纹处理,否则必须考虑修正:WM.二、裂纹形状的影响 通过探伤手段缺陷的”当量尺寸”及其部位,而缺陷的具体形状及实际尺寸难以确定裂纹形状的影响.1.探伤结果是面积 当缺陷的面积相同时,12ac的椭圆裂纹K最大以12ac的椭圆裂纹分析是偏于安全的.2.探伤的结果是最大线尺寸(1)当最大直径相同时,圆裂纹的K比椭圆裂纹大以圆裂纹估算偏于安全.(2)当缺陷长度一样时,贯穿裂纹K比其它裂纹的K大以贯穿裂纹估算偏于安全.2.8 塑性区及其修正 小范围屈服:屈服区较小时(远远小于裂纹尺寸).线弹性断裂力学仍可用.一、塑性区的
24、形状和大小 1.屈服条件的一般形式 屈服条件:材料超过弹性阶段而进入塑性阶段的条件.a.简单情况:单向拉压:12 薄壁圆筒扭转:s.b.复杂情况:(,)xyzxyxzyzfc 用主应力表示123(,)fc 有：最大正应力条件，最大切应力条件，von.Mises屈服条件(变形能条件),Tresca屈服(切应力条件).2.根据屈服条件确定塑性区形状大小 a.利用米塞斯(von.mises)屈服条件.当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变能密度,材料屈服,即:2222122331()()()2s 对于型裂纹的应力公式:122()22xyxyxy 12cos1 sin222Kr
25、30(平面应力,薄板或厚板表面)2222cos1 3sin222sKr-平面应力下,型裂纹前端屈服区域的边界方程.当0时,201()2sKr 平面应变(厚板中心)312()z 22222cos(12)3sin222sKr-平面应变下,型裂纹前端屈服区的边界方程.当0时,210.16()(0.3)2sKr 221(12)()2sK b.利用 Tresca(屈雷斯加)屈服条件.在复杂受力下,当最大切应力等于材料弹性拉伸时的屈服切应力,材料即屈服.比较发现:平面应变塑性区尺寸小,平面应变处于三向拉伸状态不易屈服.平面应变的有效屈服应力ys比s高,塑性区中的最大应力1ys 平面应变13yss 考虑实际
26、情况32 2ys 平面应力1yss 3 应力松弛的影响 由于塑性变形引起应力松弛(应力松弛:应变量不变,应力随时间降低)应力松弛塑性区尺寸增大,依据:单位厚含裂纹平板,在外力作用下发生局部屈服后,其净截面的内力应当与外界平衡.虚线表示发生塑性变形前,0的平面内法向应力y的分布规律.a ysr o y y ys A r B C x D R y y E 0|2yKr (图中虚线所示)此曲线下的面积为 1()yFx dx=外力 应力松弛后:2yFdx=外力 屈服区内的最大应力称为有效屈服应力ys,2 2()()syss平面应变平面应力 ysr为0|yys时的r值,21()2ysysKr ()yyx
27、dxdx 又 BD 与 CE 下的面积应相等.FB 下的面积与 ABC下的面积相等.即:00()2ysysrrysyKx dxdxx 又201()2ysysKrr(平面应力)yss 2201()2()8ssKKRr 在平面应力条件下,考虑应力松弛,x轴的屈服区扩大 1 倍.平面应变条件下:2 2yss可得21()4 2yssKr 21()2 2sKR 注意:上述分析没有考虑材料强化。材料强化裂纹尖端塑性区的尺寸变小,对于设计是偏于安全的.二、有效裂纹尺寸(讨论塑性区尺寸对应力强度因子的影响)理论:线弹性理论.修正:有效裂纹尺寸.基本原理:设想裂纹的计算边界由o向右移到o(yoor)以便使弹性区
28、域内(即xR的区域)按线弹性理论所获得的应力0|y和实际应力曲线y基本符合.有效裂纹尺寸 yaar有效 根据上述基本原理有：0,|yyz r rys 222()ysyysyKKrRRRr 平面应力：2211(),()2yssyssKKRr 平面应变：2211(),2 2()2 24 2yssyssKKRr 2yRr 裂纹的计算边界正好在塑性区的中心.三、应力强度因子的计算 用a有效代替a,进行K的计算 1.K表达式简单的可用解析式 a.无限宽板中心穿透裂纹 线弹性:Ka 小范围屈服:()yKar 平面应力:21()2ysKr a yr o o y y ys A R r 1r B C x 平面应
29、变:21()4 2ysKr 21()ysKr 222()sKKa pKMK 其中211()psM -增大因子(塑性区修正因子).b.深埋裂纹(椭圆片状)平面应变:21()4 2ysKr 线弹性:aK 小范围屈服:1221()4 2sKKa 12220.18()saK c.表面浅裂纹 1.1aK 1221.11()4 2sKaKa 12221.10.212()saK 令2220.212sQ-形状因子 1.1aKQ d.表面深裂纹 12aKM M 122121()4 2sKKM Ma 121222122()()4 2sM MaKM M 2()s很小,令212()4 2M M=0.212 121212220.212()sM MaM MaKQ 2.K表达式复杂一般用图解法 实际有限尺寸的裂纹试样.121()aKWyW FWa 其中:(),()aaYFWW一般是aW的复杂函数.可用逐次逼近法,以a代入求Ka有效修正的K 当K（n-1）与K（n）之差满足一定的要求为止.可用图解法(参考清华大学.断裂损伤理论与应用).