等差数列定稿.pdf

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1、-1-2.2.1 等差数列 (一)教学目标 1知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;体会等差数列与一次函数的关系 2.过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象出等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题,进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究 3情态与价值观:观察、归纳的能力,培养学生的应用意识(二)教学重、难点 重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数

2、列的通项公式;会用公式解决一些简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系 难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法(三)学法与教学用具 学法:引导学生首先从三个现实问题(人口增长、教育贷款、存款利息)强调数列的重要性然后以五组数列让学生概括抽象出等差数列的概念;接着就等差数列的特点,推导出等差数列的通项公式;用多种方法对等差数列的通项公式进行推导(四)前置性作业 1 阅读教材36 页至38 页,了解等差数列 公差 等差中项 等差数列的通项公式及表示方法并作简短记录;2 先填空再观察上面的数列有什么共同特点:并将你发现的规律写下来 0 ,5 ,_,15 ,_ 21,2112 ,_,22

3、12 ,_,2312,_,2412 10,_,6 ,_,2 ,_,-2 81.5,81,_,80,79.5,_,78.5 2 ,_,2 ,_,2 ,3 比较中相同常数的正负并观察数列是怎么变化的?-2-比较中同一常数的正负并观察数列是怎么变化的?比较中同一常数的正负并观察数列是怎么变化的?你能把发现的规律写出来吗?4 从上面的数列中任意选取一个数并观察这个数与其前后的两个数在数量上有什么关系?并将观察到的规律写下来 5 写出上面的数列的第n 项 【小组活动】6 在学完等差数列的推导方法后,小方发现除了教材中的证明等差数列通项公式的方法以外,他自己还有一种方法:若等差数列an的首项是a1,公差是

4、d,则据其定义可得:(n 1)个等式a2 a1 da3 a2 da4 a3 d an an1 d 若将这n 1 个等式左右两边分别相加,则可得:an a1(n 1)d 即:an a1(n 1)d 当 n 1 时,等式两边均为a1,即上述等式均成立,则对于一切n N*时上述公式都成立,所以它可作为数列an的通项公式.你认为小方的证明方法对吗?你能仿照小方对等差数列通项公式的证明方法证明下列问题吗?已知3,011nnaaa,求na 若在数列 na中,31a,nann1a,求通项na -3-(五)教学过程 创设情景 上节课我们学习了数列在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触

5、得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决今天我们就先学习一类特殊的数列-等差数列 探索研究 等差数列的概念 我们先看前置性作业的第二题 2 先填空再观察上面的数列有什么共同特点:并将你发现的规律写下来 0 ,5 ,_,15 ,_ 21,2112 ,_,2212 ,_,2312,_,2412 10,_,6 ,_,2 ,_,-2 81.5,81,_,80,79.5,_,78.5 2 ,_,2 ,_,2 ,等差数列:一般地,如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示那么对于以上五组等差数

6、列,它们的公差依次是5,0.5,-2,-0.5,0.公差d 的正负对等差数列单调性的影响 3 比较中相同常数的正负并观察数列是怎么变化的?比较中同一常数的正负并观察数列是怎么变化的?比较中同一常数的正负并观察数列是怎么变化的?你能把发现的规律写出来吗?等差数列的中项 4 从上面的数列中任意选取一个数并观察这个数与其前后的两个数在数量上有什么关系?并将观察到的规律写下来 由学生回答:因为a,A,b 组成了一个等差数列,那么由定义可以知道:A-a=b-A 所以就有 2baA -4-由三个数a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A 叫做a 与 b 的等差中项 不难发现,在一个等差

7、数列中,从第2 项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列:1,3,5,7,9,11,13中5 是3 和7 的等差中项,1 和9 的等差中项9 是7和 11 的等差中项,5 和 13 的等差中项看来,73645142,aaaaaaaa 从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q 则 qpnmaaaa 等差数列的通项公式 对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?、我们是通过研究数列na的第n 项与序号n 之间的关系去写出数列的通项公式的下面由同学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式 由学生经过分析写出通项公式:这个数列的第一项是5,第

8、2 项是10(=5+5),第3 项是15(=5+5+5),第4 项是20(=5+5+5+5),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是nan5 这个数列的第一项是21,第 2 项是2121(=21121),第 3 项是22(=21+521),第4 项 是22 21(=21+21 3),由 此 可 以 猜 想 得 到 这 个 数 列 的 通 项 公 式 是)1(2121nan 这个数列的第一项是110,第2 项是8(=10-2),第3 项是6(=10-2 2),第4 项是 4(=10-2 3),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(210nan 这个数列的第一项是81.5,第2 项是81(=81

9、.5-0.5),第3 项是80(=81.5-0.5 2),第4 项是79.5(=81.5-0.5 3)由此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(5.05.81nan 这 个 数 列 的 每 一 项 是2,由 此 可 以 猜 想 得 到 这 个 数 列 的 通 项 公 式 是)1(022nan -5-那么,如果任意给了一个等差数列的首项1a和公差d,它的通项公式是什么呢?引导学生根据等差数列的定义进行归纳:,12daa ,23daa ,34daa 所以 ,12daa ,23daa ,34daa 思考:那么通项公式到底如何表达呢?,12daa ,2)(123daddadaa ,3)2(134dad

10、dadaa 得出通项公式:由此我们可以猜想得出:以1a为首项,d 为公差的等差数列na的通项公式为:dnaan)1(1 也就是说,只要我们知道了等差数列的首项1a和公差d,那么这个等差数列的通项na就可以表示出来了 例题分析 例 1:求等差数列8,5,2,的第20 项.-401 是不是等差数列-5,-9,-13,的项?如果是,是第几项?分析:要求出第20 项,可以利用通项公式求出来首项知道了,还需要知道的是该等差数列的公差,由公差的定义可以求出公差;这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题要判断这个数是不是数列中(n-1)个等式 -6-的项,就是要看它是否满足该数列的通项公式,并且需要注意的

11、是,项数是否有意义 解:由1a=8,d=5-8=-3,n=20,得49)3()121(820a 由1a=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为,14)1(45nnan由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1 成立解这个关于n 的方程,得 n=100,即-401 是这个数列的第100 项 例 2:某市出租车的计价标准为1.2 元/km,起步价为10 元,即最初的4km(不含4 千米)计费10 元 如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km 时,每增加1km,

12、乘客需要支付1.2元.所以,我们可以建立一个等差数列na来计算车费.令1a=11.2,表示4km 处的车费,公差d=1.2那么当出租车行至14km 处时,n=11,此时需要支付车费)(2.232.1)111(2.1111元a 答:需要支付车费23.2 元 例3:已知数列na的通项公式为,qpnan其中p、q 为常数,且p 0,那么这个数列一定是等差数列吗?分析:判定na是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看1nnaa(n 1)是不是一个与n 无关的常数 解:取数列na中的任意相邻两项1nnaa 与(n 1),求差得 pqppnqpnqnpqpnaann()1)(1 它是一个与n无关的

13、数.所以na是等差数列 课本左边“旁注”:这个等差数列的首项与公差分别是多少?这 个 数 列 的 首 项pdqpa公差,1 由 此 我 们 可 以 知 道 对 于 通 项 公 式 是 形 如qpnan的数列,一定是等差数列,一次项系数p 就是这个等差数列的公差,首项是p+q.随堂练习 401 是不是等差数列5,9,13的项?如果是,是第几项?在等差数列an中,已知a5 10,a12 31,求首项a1与公差d.-7-在等差数列an中,已知a5 10,a15 25,求a25.已知等差数列an中,a15 33,a45 153,试问217 是否为此数列的项?若是说明是第几项;若不是,说明理由.已知数列

14、an为等差数列,a354,a734,求a15的值.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是多少?小组活动 6 在学完等差数列的推导方法后,小方发现除了教材中的证明等差数列通项公式的方法以外,他自己还有一种方法:若等差数列an的首项是a1,公差是d,则据其定义可得:(n 1)个等式a2 a1 da3 a2 da4 a3 d an an1 d 若将这n 1 个等式左右两边分别相加,则可得:an a1(n 1)d 即:an a1(n 1)d 当 n 1 时,等式两边均为a1,即上述等式均成立,则对于一切n N*时上述公式都成立,所以它可作为数列an的通项公式.你认为小方的证明方法对吗?你能仿照小方对等差数列通项公式的证明方法证明下列问题吗?已知3,011nnaaa,求na 若在数列 na中,31a,nann1a,求通项na 课堂小结 本节课主要学了哪些内容,你有什么收获?(六)课后作业 课本P39习题 1,2,3,4(七)课后反思

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