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1、 专题 04 立体几何 一、单选题 1.【江苏省南通市 2020-2021 学年高三上学期 12 月月考模拟】在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，23BAC，3AP，2 3AB，Q 是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为3，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A50 B55 C57 D108 2.【江苏省南通市 2020-2021 学年高三上学期期中】把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量.设(,)eA B是直线l的一个方向向量，那么(,)nB A 就是直线l的一个法向量.借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离.已知 P 是直线l外一点，n是直线l的一个法向
2、量，在直线l上任取一点 Q，那么PQ在法向量n上的投影向量为cosnPQn(为向量n与PQ的夹角），其模就是点P到直线l的距离d，即PQ ndn.据此，请解决下面的问题：已知点 A(-4，0)，B(2，-1)，C(-1，3)，则点 A 到直线 BC 的距离是（）A215 B7 C275 D8 3.【江苏省南通市 2021 届高三下学期 3 月模拟】一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是 A3 34 B33 C34 D312 4.【江苏省南通市海安高级中学 2020-2021 学年高
3、三上学期 12 月测试】三棱锥ABCD中，60ABCCBDDBA，2BCBD，ACD的面积为11，则此三棱锥外接球的体积为（）A16 B4 C163 D323 5.【江苏省南通市海安市实验中学 2020-2021 学年高三上学期第三次学情检测】如图所示，在正方体1111ABCDA BC D中，E，F 分别是11ABBC，的中点，则异面直线 EF 与1C D所成的角为（）A30 B45 C60 D90 6.【江苏省南通市如皋市 2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】在三棱锥PABC中，PA 面 ABC，ABC是边长为 2 的正三角形，且3PA，则二面角PBCA的大小为（）A3
4、0 B45 C60 D无法确定 7.【江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期教学质量调研（三）】直三棱柱111ABCA BC中，侧棱14BB，2AB，3ACBC，则点 C 到平面11A BC的距离为（）A22211 B42211 C62211 D122211 8.【江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期期中】正三棱锥SABC中，2SA，2 2AB，则该棱锥外接球的表面积为（）A4 3 B4 C12 D6 9.【江苏省南通市如皋市 2021 届高三下学期 4 月第二次适应性考试】如图，在边长为 2 的正方形ABCD中，点MN分别是边CDBC的中点，将ADM沿AM翻
5、折到PAM，在ADM翻折到PAM的过程中，tanPND的最大值为（）A54 B2 55 C55 D23 10.【江苏省南通市通州区、启东市 2020-2021 学年高三上学期期末】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A33sin B33cos C12sin D12cos 11.【江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】正三棱锥SABC中，2SA，2
6、 2AB，则该棱锥外接球的表面积为（）A4 3 B4 C12 D6 12.【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学 2020-2021 学年高三上学期 12 月三校联考】棱长为6 的正四面体ABCD与正三棱锥EBCD的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥EBCD的体积为（）A9 2 B24 2 C36 2 D72 2 二、多选题 1.【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市 2021 届高三下学期 2 月第一次调研】已知 m，n 是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则（）A若/m，/n，则/m n B若/m，m，则 C若/，m，n，
7、则/m n D若，/m，n/，则mn 2.【江苏省南通市 2020-2021 学年高三上学期 12 月月考模拟】已知边长为 2 的等边ABC，点D、E分别是边AC、AB上的点，满足/DE BC且ADAC（0,1），将ADE沿直线DE折到A DE的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（）A在边A E上存在点F，使得在翻折过程中，满足/BF平面ACD B存在102,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC平面BCDE C若12，当二面角ADEB等于 60时，72A B D在翻折过程中，四棱锥ABCDE体积的最大值记为 f，f的最大值为2 39 3.【江苏省南通市 2020-2021 学年高三
8、上学期期中】如图，四棱锥PABCD中，平面PAD 底面ABCD，PAD是等边三角形，底面ABCD是菱形，且60BAD，M为棱PD的中点，N为菱形ABCD的中心，下列结论正确的有（）A直线PB与平面AMC平行 B直线PB与直线AD垂直 C线段AM与线段CM长度相等 DPB与AM所成角的余弦值为24 4.【江苏省南通市 2021 届高三下学期 3 月模拟】已知菱形 ABCD 中，BAD=60，AC 与 BD 相交于点 O将ABD 沿 BD 折起，使顶点 A 至点 M，在折起的过程中，下列结论正确的是（）ABDCM B存在一个位置，使CDM 为等边三角形 CDM 与 BC 不可能垂直 D直线 DM
9、与平面 BCD 所成的角的最大值为 60 5.【江苏省南通市海安市 2020-2021 学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图所示，在长方体1111ABCDA BC D，若ABBC，E、F分别是1AB、1BC的中点，则下列结论中成立的是（）AEF与1BB垂直 BEF 平面11BDD B CEF与1C D所成的角为45 D/EF平面1111DCBA 6.【江苏省南通市海安市 2020-2021 学年高三上学期期末】在棱长为 2 的正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，DA的中点，则（）A/AC平面EFG B过点E，F，G的截面的面积为12 CAD与BC的公垂线段的长为2 DCD与平
10、面GBC所成角的大小小于二面角GBCD的大小 7.【江苏省南通市启东市 2020-2021 学年高三上学期期中】已知正方体1111ABCDA BC D的棱长为 4，点M，N分别是棱11AD，CD的中点，点P在四边形ABCD内，点Q在线段BN上，若2 5PM，则（）A点P的轨迹的长度为2 B线段MP的轨迹与平面11ADC B的交线为圆弧 CPQ长度的最小值为6 5105 DPQ长度的最大值为2 52 8.【江苏省南通市如东县 2020-2021 学年高三上学期期末】如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDA BC D中，P 为线段11B D上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（）A三棱锥
11、1PABD的体积为定值13 B过点 P 平行于平面1ABD的平面被正方体1111ABCDA BC D截得的多边形的面积为32 C直线1PA与平面1ABD所成角的正弦值的范围为36,33 D当点 P 与1B重合时，三棱锥1PABD的外接球的体积为32 9.【江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期 10 月第一次教学质量调研】设，是两个相交平面，则下列说法正确的是（）A若直线m，则在平面内一定存在无数条直线与直线 m 垂直 B若直线m，则在平面内一定不存在与直线 m 平行的直线 C若直线m，则在平面内一定存在与直线 m 垂直的直线 D若直线m，则在平面内一定不存在与直线 m 平行的
12、直线 10.【江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期期末】如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 M 是边 CD 的中点，将ADM沿 AM 翻折到PAM，连结 PB，PC，在ADM翻折到PAM的过程中，下列说法正确的是（）A四棱锥PABCM的体积的最大值为2 55 B当面PAM 平面ABCM时，二面角PABC的正切值为54 C存在某一翻折位置，使得AMPB D棱 PB 的中点为 N，则 CN 的长为定值 11.【江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期期中】在正方体1111ABCDA BC D中，若E，F分别为1B B，11BC的中点，则（）A直线1/AE
13、平面1ACD B直线1B D 平面1ACD C平面1/AEF平面1ACD D平面11A BCD 平面1ACD 12.【江苏省南通市如皋市 2021 届高三下学期 4 月第二次适应性考试】在四面体ABCD中，ABC是边长为 2 的正三角形.60ADB，二面角DABC的大小为60，则下列说法正确的是（）AABCD B四面体ABCD的体积V的最大值为32 C棱CD的长的最小值为3 D四面体ABCD的体积最大时，四面体ABCD的外接球的表面积为529 13.【江苏省镇江市、南通市如皋 2020-2021 学年高三上学期教学质量调研（二）】在正方体1111ABCDA BC D中，若E，F分别为1B B，
14、11BC的中点，则（）A直线1/AE平面1ACD B直线1B D 平面1ACD C平面1/AEF平面1ACD D平面11A BCD 平面1ACD 14.【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学 2020-2021 学年高三上学期 12 月三校联考】如图，正方体1111ABCDA BC D的棱长为 1，E 为1BA的中点（）A直线1EC与直线AD是异面直线 B在直线11AC上存在点 F，使EF 平面1ACD C直线1BA与平面1ACD所成角是6 D点B 到平面1ACD的距离是22 15.【江苏省南通市学科基地 2020-2021 学年高三上学期第一次联考】如图，在半圆柱中，AB 为上底面直径
15、，DC 为下底面直径，AD，BC 为母线，ABAD2，点 F 在AB上，点 G 在DC上，BFDG1，P 为 DC的中点.则（）ABFPG B异面直线 AF 与 CG 所成角为 60 C三棱锥 PACG 的体积为32 D直线 AP 与平面 ADG 所成角的正弦值为1510 16.【江苏省南通市通州区 2020-2021 学年高三上学期第三次调研考试】下列命题中正确的是（）A,A B M N是空间中的四点，若,BA BM BN不能构成空间基底，则,A B M N共面 B已知,a b c为空间的一个基底，若mac，则,a b m也是空间的基底 C若直线l的方向向量为(1,0,3)e，平面的法向量为
16、2(2,0,)3n ，则直线/l D若直线l的方向向量为(1,0,3)e，平面的法向量为(2,0,2)n ，则直线l与平面所成角的正弦值为55 三、填空题 1.【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市 2021 届高三下学期 2 月第一次调研】已知在圆柱12OO内有一个球 O，该球与圆柱的上下底面及母线均相切.过直线12OO的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为 8.若 P 为圆柱底面圆弧CD的中点，则平面PAB与球 O 的交线长为 _.2.【江苏省南通市 2020-2021 学年高三上学期期中】如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，60BCD，现将ABD沿对角线BD折起，得
17、到三棱锥PBCD.则当二面角PBDC的大小为23时，三棱锥 PBCD的外接球的表面积为 _.3.【江苏省南通市海安高级中学 2020-2021 学年高三上学期 1 月调研】在三棱锥PABC中，ABC与PBC均为边长为 1 的等边三角形，,P A B C，四点在球O的球面上，当三棱锥PABC的体积最大时，则球O的表面积为_ 4.【江苏省南通市海安高级中学 2020-2021 学年高三上学期 12 月测试】九章算术 是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体PABC为鳖臑，PA 平面 ABC，ABBC，且1PAAB，2BC，则二
18、面角APCB的正弦值为_.5.【江苏省南通市海安高级中学 2020-2021 学年高三上学期期中】已知三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且1PAPBPC，以P为球心，22为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为_.6.【江苏省南通市海安市 2020-2021 学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图，某种螺帽是由一个半径为2 的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_ 7.【江苏省南通市海安市 2020-2021 学年高三上学期期末】已知某空心圆锥的母线长为5cm，高为4cm，记该圆锥内半径最大的球为球
19、O，则球O与圆锥侧面的交线的长为_cm.8.【江苏省南通市海安市实验中学 2020-2021 学年高三上学期第三次学情检测】某同学在参加 通用技术实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6 个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）若其中一个截面圆的周长为6，则该球的半径为_；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高如果球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积计算公式是2SRh.由此可知，该实心工艺品的表面积是_.9.【江苏省南通市启东市 2020-2021 学年高三
20、上学期期中】在我国古代数学名著九章算术中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱111ABCABC是一个“堑堵”，其中12ABBB，1BC，5AC，则这个“堑堵”的外接球的表面积为_.10.【江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期 10 月第一次教学质量调研】在梯形ABCD中，/AD BC，ABBC，222ADABBC，将ABC沿对角线 AC 翻折到AMC，连结 MD当三棱锥MACD的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为_ 11.【江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期教学质量调研（三）】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形
21、，三角形PAD为正三角形，且平面PAD 平面ABCD，则四棱锥PABCD外接球的表面积为 _.12.【江苏省南通市通州高级中学 2020-2021 学年高三上学期第五次阶段性测试】我国古代九章算术中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童ABCDEFGH有外接球，且 2 6,2 2,15,5ABADEHEF，平面EFGH与平面ABCD的距离为 1 则，该刍童外接球的体积为_.13.【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学 2020-2021 学年高三上学期 12 月三校联考】如图，三棱锥PABC中，1BC，2AC，3PC，PAAB，PAAC，PBBC.点 Q 在棱PB上且1BQ，
22、则直线CQ与平面ABC所成的角是_.14.【江苏省南通市学科基地 2020-2021 学年高三上学期第一次联考】某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为 2m 的正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中.若水晶球最高点到底座底面的距离为(21)m，则水晶球的表面积为_m2.15.【江苏省南通市通州区 2020-2021 学年高三上学期第三次调研考试】正方体1111ABCDA BC D的棱长为1，E，F分别为BC，1CC的中点 则平面AEF截正方体所得的截面面积为_；以点E为球心，以104为半径的球面与对角面11ACC A的交线
23、长为_ 四、解答题 1.【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市 2021 届高三下学期 2 月第一次调研】如图，在正六边形ABCDEF中，将ABF沿直线BF翻折至A BF，使得平面A BF平面BCDEF，O，H 分别为BF和AC的中点.（1）证明：/OH平面A EF；（2）求平面A BC与平面A DE所成锐二面角的余弦值.2.【江苏省南通市 2020-2021 学年高三上学期 12 月月考模拟】如图，在四棱锥PABCD中，PD 底面ABCD，/AD BC，90ABC，45BCD，2BCAD.（1）求证：BDPC；（2）若PCBC，求平面PAD和平面PBC所成的角（锐角）的余弦
24、值.3.【江苏省南通市 2020-2021 学年高三上学期期末模拟】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，2 3,AD 3,AB 3,AP/ADBC，AD 平面 PAB，90APB，点 E 满足2133PEPAPB.（1）证明：PEDC；（2）求二面角 A-PD-E 的余弦值.4.【江苏省南通市 2020-2021 学年高三上学期期中】已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为菱形，PDPB，H为 PC 上的点，过 AH 的平面分别交 PB，PD 于点 M，N，且 BD平面 AMHN.（1）证明：MNPC；（2）当 H 为 PC 的中点，PAPC3AB，PA 与平面 ABCD 所成的角为 60，求
25、 AD 与平面 AMHN 所成角的正弦值.5.【江苏省南通市海安高级中学 2020-2021 学年高三上学期 1 月调研】如图，平面ABCD 平面DBNM，且菱形ABCD与菱形DBNM全等，且MDBDAB，G为MC中点.（1）求证：平面/GBD平面AMN.（2）求直线AD与平面AMN的所成角的正弦值.6.【江苏省南通市海安高级中学 2020-2021 学年高三上学期 12 月测试】如图，在三棱锥PABC中，2ABBC，2PAPBPCAC.（1）证明：平面PAC 平面 ABC；（2）点 M 在棱 BC 上，且 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为34，求 BM.7.【江苏省南通市海安高级中学
26、2020-2021 学年高三上学期期中】如图，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，/AB CD，ADCD，1ABAD，2CD，PD 平面ABCD.（1）求证：BC 平面PBD；（2）已知2PD，点E为棱PB的中点，求直线AE与平面DCE所成角的正弦值.8.【江苏省南通市海安市 2020-2021 学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FAFC，且60DABDBF.（1）求证：AC 平面BDEF；（2）求直线AD与平面AEF所成角的正弦值.9.【江苏省南通市海安市 2020-2021 学年高三上学期期末】如图，在四棱锥ABCDE中，/BCDE，22BCDE，BC
27、CD，F为AB的中点，BCEF.（1）求证：ACBC；（2）若ADCD，2AC，求直线AE与平面BDE所成角的正弦值的最大值.10.【江苏省南通市海安市实验中学 2020-2021 学年高三上学期第三次学情检测】如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FAFC，2AB，且60DABDBF （1）求证：ACBF；（2）求二面角EAFB的余弦值 11.【江苏省南通市启东市 2020-2021 学年高三上学期期中】如图，在正三棱柱111ABCA BC中，2 33AB，12A A，D，E，F分别为线段AC，1A A，1C B的中点.（1）证明：/EF平面ABC；（2）求直线1C B与平面BDE所成角的
28、正弦值.12.【江苏省南通市启东市 2020-2021 学年高三上学期期中】如图所示的某种容器的体积为318 dm，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为dmr，圆柱的高为dmh.已知顶部半球面的造价为3a元2/dm，圆柱的侧面造价为a元2/dm，圆柱底面的造价为23a元2/dm.（1）将圆柱的高h表示为底面半径r的函数，并求出定义域；（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r为多少？13.【江苏省南通市如东县 2020-2021 学年高三上学期期末】如图，几何体为圆柱的一半，四边形ABCD 为圆柱的轴截面，点E为圆弧AB上异于A，B的点，点F为线段ED上的动点.（1）求
29、证：BEAF；（2）若2AB，1AD，30ABE，且直线CA与平面ABF所成角的正弦值为1510，求EFED的值.14.【江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期 10 月第一次教学质量调研】如图，在六面体1111ABCDA BC D中，11/AA CC，底面 ABCD 是菱形，且1AD 平面1AAC （1）求证：平面1ABC 平面1ADB；（2）求证：11/BBDD 15.【江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期教学质量调研（三）】如图，已知五面体ABCDEF中，CDEF为正方形，且平面CDEF 平面ABCD，120ADCBCD.（1）证明：ABCD为等腰梯形；
30、（2）若ADDE，求二面角FBDC的余弦值.16.【江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期期末】如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，AC，BD相交于点N，2DNNB，已知3PAACAD，3 3BD，30ADB.（1）求证：AC 平面PAD；（2）设棱PD的中点为M，求平面PAB与平面MAC所成二面角的正弦值.17.【江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期期中】如图，在三棱柱111ABCA BC中，底面ABC是边长为2正三角形，侧面11ACC A是菱形，且平面11ACC A 平面ABC，E，F分别是棱11AC，BC的中点，12CGGC.（1）证明：/E
31、F平面11ABB A；（2）若三棱锥1CABC的体积为1；1C C与底面所成的角为60；异面直线1BB与AE所成的角为30.请选择一个条件求平面EFG与平面11ACC A所成的二面角(锐角)的余弦值.18.【江苏省南通市如皋市 2021 届高三下学期 4 月第二次适应性考试】如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的的菱形，60BAD，四边形BDEF是矩形，平面BDEF 平面ABCD，3BF，G和H分别是CE和CF的中点 （）求证：平面/BDGH平面AEF；（）求二面角HBD C的大小 19.【江苏省南通市通州高级中学 2020-2021 学年高三上学期第五次阶段性测试】如图所示，
32、该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥PABCD组合而成，ADAF，2AEAD （）证明：平面PAD 平面ABFE；（）求正四棱锥PABCD的高h，使得二面角CAFP的余弦值是2 23 20.【江苏省南通市通州区、启东市 2020-2021 学年高三上学期期末】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA 平面ABCD，E 是PD上的点 （1）当 E 是PD的中点时，求证：/PB平面AEC；（2）设1PAAB，3PC，若直线PC与平面AEC所成角的正弦值为13，求PE的长 21.【江苏省南通市通州区 2020-2021 学年高三上学期第三次调研考试】如图，在四棱锥PABCD
33、中，四边形ABCD是等腰梯形，/,2,4ABDC BCCDABMN，分别是,AB AD的中点，且PDNC，平面PAD 平面ABCD （1）证明：PD 平面ABCD；（2）已知三棱锥DPAB的体积为23，求二面角CPNM的大小 22.【江苏省南通市学科基地 2020-2021 学年高三上学期第一次联考】如图，已知多面体 ABCDEF 的底面 ABCD是边长为 2 的正方体，FA底面 ABCD，AF2，且DEAF(01).（1）求证：CE平面 ABF；（2）若二面角 BCFE 的大小为56，求的值.23.【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学 2020-2021 学年高三上学期 12 月三校
34、联考】如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，四边形ABCD为梯形，/BCAD，ABAD，E为侧棱PA上一点，且2AEPE，3AP，2ABBC，4AD.（1）证明：/PC平面BDE.（2）求平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值.24.【江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】如图，在三棱柱111ABCA BC中，底面ABC是边长为2正三角形，侧面11ACC A是菱形，且平面11ACC A 平面ABC，E，F分别是棱11AC，BC的中点，12CGGC.（1）证明：/EF平面11ABB A；（2）若三棱锥1CABC的体积为1；1C C与底面所成的角为60；异面直线1BB与AE所成的角为30.请选择一个条件求平面EFG与平面11ACC A所成的二面角(锐角)的余弦值.