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1、 -1-数 学 试 题（文）一、单选题（每小题5 分，共 60 分）1设集合2|log1Mxx，2|20Nx xx，则MN（）A(2,2)B 2,2)C(0,1 D(0,1)2已知等差数列 na,若210a,51a,则 na的前 7 项的和是()A112 B51 C28 D18 3中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵是（）A174 斤 B184 斤 C191 斤 D201 斤 4在A
2、BC中，sincosAB是ABC为锐角三角形的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5等比数列 na中，142,16aa，则345aaa（）A28 B56 C84 D102 6已知等比数列 na的前 n 项和为nS，且55S，1030S，则15S=（）.A90 B125 C155 D180 7已知1cos63，则sin 26（）A79 B79 C89 D89 8下列有关命题的说法正确的是()A命题“若21x，则1x”的否命题为：“若21x，则1x”B若pq为真命题，则,p q均为真命题.C命题“存在Rx，使得210 xx”的否定是：“对任意Rx，均有210
3、 xx”D命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题 -1-9将函数 2sin 3fxx(0)图象向右平移8个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x对称，则函数 fx在,88 上的值域是（）A1,2 B3,2 C2,12 D2,2 10设函数()f x的定义域为R，满足(1)2()f xf x，且当(0,1x时，()(1)f xx x.若对任意(,xm，都有8()9f x ，则 m 的取值范围是 A9,4 B7,3 C5,2 D8,3 11已知数列 na的通项公式是6nnaf，其中 sin()0|2f xx，的部分图像如图所示，nS为数列 na的前 n项和，则2020S的值为（）A1
4、 B0 C12 D32 12已知函数sin1,0()2log,0axxf xxx(0a 且1a)的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A50,5 B5,15 C30,3 D3,13 二、填空题（每小题5 分，共 20 分）13若2|228,|log1xAxRBxRx，则AB _ 14若特称命题：“0 xR，使得0344020 mxmx成立”是假命题，则实数m的取值范围是_.-1-15已知定义在R上的奇函数()f x满足(1)(1)f xfx，且当0,1x时，()2xf xm，则(2019)f_ 16设定义域为R的函数 f x满足 fxf x，则不等式 121xef xfx
5、的解集为_ 三、解答题 17已知函数()3sin22sincos()2f xxxx.（1）求函数()f x在0,2x时的取值范围；（2）若32122f，是第二象限角，求cos 23的值.18若数列 na的前n项和为nS，且21nnSa，*nN.（1）求数列 na的通项公式；（2）设121nnnba，求数列 nb的前n项和nT.19在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，sin3sinAB且bc.（1）求角A的大小；（2）若2 3a，角B的平分线交AC于点D，求ABD的面积.20已知等差数列 na的前n项和为nS，315S ，且1241,1,1aaa成等比数列,公比 -1-不为1（1
6、）求数列 na的通项公式；（2）设1nnbS，数列 nb的前n项和nT 21在三棱柱111ABCABC中，侧面11AAC C 底面ABC，112AAACACABBC，且点O为AC中点.（1）证明：1AO 平面ABC；（2）求三棱锥1CABC的体积.22设函数()sincos,0,2f xaxxx x（1）当1a 时，求证：()0f x；（2）如果()0f x 恒成立，求实数a的最小值 -1-答案 1B【解析】【分析】利用对数的定义以及单调性求出集合M，解一元二次不等式求出集合N，再根据集合的并运算即可求解.【详解】2|log102Mxxxx，2|2021021Nx xxx xxxx，所以MN
7、2,2).故选：B【点睛】本题考查了集合的基本运算，同时考查了一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性解不等式，属于基础题.2C【解析】【分析】利用等差数列通项公式可得21511041aadaad,解出1a和d,再由等差数列的求和公式求解即可【详解】由题,21511041aadaad,解得1133ad,则71767282Sad,故选：C【点睛】本题考查等差数列通项公式的应用,考查等差数列求和公式的应用 3B【解析】-1-用128,a aa表示 8 个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列128,a aa是公差为 17 的等差数列，且这 8 项的和为 996，18 78179962a，解得1
8、65a 8657 17184a 选 B 4B【解析】若 B为钝角，A为锐角，则 sinA0，cosBcosB，但ABC为锐角三角形不成立，充分性不成立；若ABC为锐角三角形，则A BA B，都是锐角，即2AB,即,02 22ABBA,则()2cosBcosA，即cosBsinA，必要性成立；故“sinAcosB”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.本题选择 B选项.5B【解析】【分析】直接利用等比数列公式计算得到答案.【详解】等比数列中3341216aa qq，解得2q，2343451()56aaaa qqq.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列通项公式，属于简单题.6C【解析】【分析】
9、由等比数列的性质，232,nnnnnSSSSS成等比数列，即可求得1510SS，再得出答案.【详解】-1-因为等比数列 na的前n项和为nS，根据性质所以51051510,SSSSS成等比数列，因为5105,30SS，所以105151025,25 5125SSSS，故1512530155.S 故选 C 7B【解析】【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得sin 26的值.【详解】2sin 2sin 2cos 21 2cos66266 2171 239 .故选：B.8D【详解】试题分析：A利用否命题的定义即可判断出；B利用“或”命题的定义可知：若 pq 为真命题，则 p 与 q 至少有一个
10、为真命题；C利用命题的否定即可判断出；D 由于命题“若 x=y，则 sinx=siny”为真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，即可判断出 解：对于 A命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为“若 x21，则 x1”，因此不正确；对于 B若 pq 为真命题，则 p 与 q 至少有一个为真命题，因此不正确；对于 C“存在 xR，使得 x2+x+10”的否定是：“对任意 xR，均有 x2+x+10”，因此不正确 对于 D由于命题“若 x=y，则 sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确 故选 D 考点：命题的真假判断与应用 9D -1-【分析】由题意利用函数sinyAx 的图象
11、变换规律，三角函数的图象的对称性，正弦函数的值域，求得结果.【详解】解：把函数 2sin 3fxx(0)图象向右平移8个单位长度后，可得32sin 38yx的图象；再根据得到函数的图象关于直线3x对称，33382k，kZ，由于0，78，函数 72sin 38f xx.在,88 上，753,824x，2sin 3,182x，故 2sin 32,28f xx，即 fx的值域是2,2，故选：D.10B【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决【详解】(0,1x时，()=(1)f xx x，(+1)=()f x2 f x，()
12、2(1)f xf x，即()f x右移 1 个单位，图像变为原来的 2 倍 如图所示：当23x时，()=4(2)=4(2)(3)f xf xxx，令84(2)(3)9xx，整理得：2945560 xx，1278(37)(38)0,33xxxx（舍），(,xm 时，8()9f x 成立，即73m，7,3m，故选 B -1-11D【解析】【分析】根据图像得到 sin(2)3f xx，sin33nna，6nnaa，计算每个周期和为 0，故20201234Saaaa，计算得到答案.【详解】741234T，故T，故2，sin(2)f xx，2sin()033f，故2,3kkZ，故2,3kkZ 当1k 时
13、满足条件，故3，所以 sin(2)3f xx sin633nnnaf，66sin33nnana，所以数列 na是以 6 为周期的周期数列.132a，20a，332a ，432a ，50a，632a，每个周期和为 0，故2020123432Saaaa.故选：D.12A【分析】-1-先求出与函数 fx在,0上关于 y轴对称的 g x，设 logah xx，转化条件为函数 g x、h x的图象至少有三个交点，数形结合即可得解.【详解】因为当0 x时，sin12fxx，所以函数 sin1sin1,022g xxxx 的图象与函数 fx在,0上的图象关于 y轴对称，设 logah xx，若要使函数()f
14、 x的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则函数 g x、h x的图象至少有三个交点，在同一直角坐标系中，画出函数 g x、h x的图象，如图，由图象可得，若要使两函数的图象有至少三个交点，则01a且 55hg，即015log 5sin122aa ，解得50,5a.故选：A.132,3【分析】-1-分别解出集合,A B，再根据交集的定义求解.【详解】228x即13222x 13x.2log1x 122x (2,)B 2,3AB.14(3,0【解析】【分析】由全称命题：“x R，24430mxmx 成立”是真命题，将问题转化为不等式24430mxmx 恒成立，再分情况讨论即可.【详解】此题等价为全
15、称命题：“x R，24430mxmx 成立”是真命题.当0m 时，原不等式化为“30”，x R显然成立；当0m时，只需0,0,m 即20,30,mmm解得30m.综合，得30m.故答案为：(3,0.151【解析】【分析】根据定义在R上的奇函数：(0)0f，解出1m,由(1)(1)f xfx知道函数()f x关于1x 对称，结合奇函数得到函数()f x为以4T 为周期的周期函数.利用周期性化简解出(2019)f.-1-【详解】因为()f x为定义在R上的奇函数.所以(0)1=01fmm,即()21xf x，1(1)211f 又(1)(1)f xfx，即函数()f x关于1x 对称,又关于原点对称
16、,所以函数()f x为以4T 为周期的周期函数.所以(2019)(5054 1)(1)(1)1ffff 故答案为:1.16(1,)【分析】根据条件构造函数 F（x）xf xe，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论【详解】设 F（x）xf xe，则 F（x）xfxf xe，fxf x，F（x）0，即函数 F（x）在定义域上单调递增 121xef xfx 2121xxfxfxee，即 F（x）F（2x1）x2x1，即 x1 不等式 121xef xfx的解为1,故答案为1,17（1）0,3；（2）73 516.【解析】-1-【分析】（1）先将函数化简得 2sin 216f xx，然后根据正弦
17、函数的性质可得出答案.(2)由条件可得 sin14，进一步得出 cos的值，再利用二倍角公式和余弦的和角公式得出答案.【详解】(1)f(x)3sin2x2cosx(cosx)3sin2x2cos2x3sin2xcos2x1 2sin26x1 又710,2,sin(2)1266626xxx，f x的取值范围为0,3.(2)212af2sin132，sin14.是第二象限角，cos154.sin2158，cos278.cos23acos2cos3sin2sin37812158 3273 516.18（1）12nna；（2）12362nnnT.【解析】【分析】（1）利用11,1,2nnnS naSS
18、n求得数列 na的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得nT.【详解】（1）当1n 时，111211aaa ，-1-当2n 时，21nnSa，1121nnSa，两式相减得122nnnaaa，即122nnaan，所以数列 na是首项为11a，公比为2的等比数列，所以1*2Nnnan.（2）由（1）得1212nnnb，所以 21135211222nnnT，2311352122222nnnT，两式相减得2111211 12222nnnnT 1111211212112 1122212nnnnnn 12212333222nnnnn.所以12362nnnT 19（1）23（2）332【解析】【分析】（1）
19、把已知条件中角的关系化为边的关系后可用余弦定理求角A；（2）在（1）基础上得6BC，从而由2 3a 可得AB，在ABD中应用正弦定理可求得AD，从而可得ABD面积【详解】（1）由sin3sinAB及正弦定理知3ab，又bc，由余弦定理得 222cos2bcaAbc22223122bbbb.0,A，23A.（2）由（1）知6BC，又2 3a，在ABC中，由正弦定理知：2AB，-1-在ABD中，由正弦定理sinsinABADDABD及12ABD，4D 解得31AD，故332ABDS.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解题时注意边角关系的互化 20（1）21nan；（2）311142
20、12nTnn 【解析】试题分析：（1）设数列 na的公差为d，由已知条件列出方程组，求解d，即可求得数列 na的通项公式；（2）由（1）知，11122nbnn，可利用裂项求和得出nT，验证1n，符合上式，即可得到数列的和 试题解析：（1）设数列 na的公差为d，则由已知条件得:2222251121aaadad,化简得220dd，若0d，则等比数列1241,1,1aaa的公比为1，不符合题意，于是2,21ndan （2）由（1）知，2nSn n,故11 11222nbn nnn ,当2n 时，111111111.2233452nTnn 13112212nn 2332124nnn,当1n 时，11
21、3nTb,经检验符合上式，综上，2332124nnTnn 考点：数列的通项公式；数列的求和 21（1）证明见解析；（2）1.-1-【解析】试题分析：（1）利用等腰三角形的性质可得1AOAC，利用面面垂直的性质可得1AO 平面ABC，根据线面垂直的性质可得结论；（2）先证明11|AC平面ABC，可得1C到平面ABC的距离等于1A到平面ABC的距离，利用等积变换及棱锥的体积公式可得11113CABCAABCABCVVSAO 11233132.试题解析：（1）11AAAC，且O为AC的中点.1AOAC.又平面11AAC C 平面ABC，平面11AAC C 平面ABCAC，且1AO 平面11AAC C
22、，1AO 平面ABC.BC 平面ABC，1AOBC.（2）11|AC AC，11AC 平面ABC，AC 平面ABC，11|AC平面ABC.即1C到平面ABC的距离等于1A到平面ABC的距离.由（1）知1AO 平面ABC且22113AOAAAO.三棱锥1CABC的体积：11113CABCAABCABCVVSAO 11233132.22（）见解析；（）1.【解析】【分析】（）求得 sinfxxx，利用导数证明 f x 在区间0,2上单调递增，从而可得 00f xf；（）讨论三种情况：当1a 时，由（）知符合题意；当1a 时，因 -1-为0,2x，先证明 f x在区间0,2上单调递增，可得 0f x
23、f符合题意；当1a 时，存在唯一00,2x使得 00g x，任意00,xx时，00f xf，不合题意，综合即可得结果.【详解】（）因为1a，所以 sincos,f xxxx sinfxxx.当0,2x时，0fx恒成立，所以 f x 在区间0,2上单调递增，所以 00f xf.（）因为 sincos,0,2fxaxxx x，所以 1 cossinfxaxxx.当1a 时，由（）知，0f x 对0,2x恒成立；当1a 时，因为0,2x，所以 0fx.因此 f x在区间0,2上单调递增，所以 00f xf对0,2x恒成立；当1a 时，令 g xfx，则 2sincosgxaxxx，因为0,2x，所以 0g x恒成立，因此 g x在区间0,2上单调递增，且 01 0022gag，-1-所以存在唯一00,2x使得 00g x，即 00fx.所以任意00,xx时，0fx，所以 f x在00,x上单调递减.所以 00f xf，不合题意.综上可知，a的最小值为 1.