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1、.1.函数211yx的一组数据：求分段线性插值函数,并计算1.5f的近似值.计算题 1.答案 1.解 0,1x,1010.51 0.50 11 0 xxL xx 1,2x,210.50.20.30.81 22 1xxL xx 所以分段线性插值函数为 10.50,10.80.31,2xxL xxx 1.50.80.3 1.50.35L 4.写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分1011dxx.计算题 4.答案 4 解 梯形公式 2babaf x dxf af b 应用梯形公式得1011110.7512 1 01 1dxx 辛卜生公式为 4()62babaabf x dxf aff b .应
2、用辛卜生公式得 1011 01 004()1 162dxfffx 1111416 101 112 2536 四、证明题此题 10 分 确定如下求积公式中的待定系数,并证明确定后的求积公式具有 3 次代数准确度 1010hhf x dxA fhA fA f h 证明题答案 证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,AA A,将 21,f xx x分别代入求积公式,并令其左右相等,得 1011123112()02()3AAAhh AAhAAh 得1113AAh,043hA.所求公式至少有两次代数准确度.又由于 3334443333hhhhhhx dxhhhhx dxhh 故 40333hhhhf
3、 x dxfhff h具有三次代数准确度.1设 3201219(),1,44f xxxxx 1试求 f x在 1 9,4 4上的三次 Hermite 插值多项式 x使满足 11()(),0,1,2,.()()jjH xf xjH xfx x以升幂形式给出.2写出余项()()()R xf xH x的表达式 计算题 1.答案 1、1 3214263233122545045025xxxx 2 5221 9191 9()(1)(),()(,)4!16444 4R xxxxx 3 试确定常数 A,B,C 和 a,使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度.试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为 Ga
4、uss 型的？计算题 3.答案 3、101612,995ACBa,该数值 求积公式具有 5 次代数准确度,它是 Gauss 型的 4 推导常微分方程的初值问题 00(,)()yf x yy xy的数值解公式：1111(4)3nnnnnhyyyyy 提示：利用 Simpson 求积公式.计算题 4.答案 4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程()yf x在区间 11,nnxx上积分,得1111()()(,()nnxnnxy xy xf x y x dx,记步长为 h,对积分 11(,()nnxxf x y x dx用 Simpson 求积公式得 1111112(,()()4()()(4)63n
5、nxnnnnnnxhhf x y x dxf xf xf xyyy 所以得数值解公式：1111(4)3nnnnnhyyyyy .15 分用二次拉格朗日插值多项式2()sin0.34Lx 计算的值.插值节点和相应的函数值是0,0,.计算题 1.答案 10201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()=0.333336xxxxxxxxxxxxL xfffxxxxxxxxxxxx 4.15 分求系数123,A AA和使求积公式 1123111()(1)()()233f x dxA fA fA f对于次数的一切多项式都精确成立.计算题 4.答案 4123
6、12312312311112203399313022AAAAAAAAAAAA.三、计算题70 分 1.10 分f 1,f,f,求过这三点的 二次插值基函数 l1=,4,3,0f=,插值多项式P2=,用三点式求得)4(f.计算题 1.答案 11777203(4),1(3),31215126x xxx x由插值公式可求得它们分别为：和 3.15 分确定求积公式 )5.0()()5.0()(111CfxBfAfdxxf 的待定参数,使其代数精度尽量高,并确定其代数精度.计算题 3.答案 2312131141()1,20.50.5020.250.2530.1250.125042,33 1 ()4(0.
7、5)2(0)4(0.5),(),32156f xx xxABCABxCABxCABxCACBf x dxffff xx 3.假设公式对精确成立则有解此方程组得 求积公式为当时 左边 右边 左3边右边 代数精度为。4.15 分设初值问题 101)0(23xyyxy.写出用 Euler 方法、步长 h 解上述初值问题数值解的公式；写出用改良的 Euler 法梯形法、步长 h 解上述初值问题数值解的公式,并求解21,yy,保存两位小数.计算题 4.答案 .4.1(1)0.1(32)0.31.2nnnnnnyyxyxy 1111120.20.2(2)(32)3(0.2)22 =0.1(6220.6)3
8、332440333 63331.575,2.5852402 40440nnnnnnnnnnnnnyyxyxyyxyyyyxyy迭达得 5.15 分取节点1,5.0,0210 xxx,求函数xey在区间 1,0上的二次插值多项式)(2xP,并估计误差.计算题 5.答案 5)5.0)(0(0105.015.01)0(05.01)(5.05.015.002xxeeexeexp =1+2)5.0()12(2)15.015.0 xxeexe )1)(5.0(!3)()(,1max,21,0 3 xxxfxpeyMeyxxx 时10 x,)1)(5.0(!31)(2xxxxpex .二、计算题 1、函数(
9、)yf x的相关数据 由牛顿插值公式求三次插值多项式3()P x,并计算13()2P的近似值.计算题 1.答案 解：差商表 由牛顿插值公式：323332348()()21,3314 118 13()()2()()1223 223 2p xN xxxxp 2、10 分利用尤拉公式求解初值问题,其中步长0.1h,1,(0,0.6)(0)1.yyxxy .计算题 2.答案 解：010(,)1,1,0.1,0.1(1),(0,1,2,3,)1,1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;1.056100;1.090490;1.131441.nnnnkf x yyxyhyyx
10、ynyy .3、15 分确定求积公式 012()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h.中待定参数iA的值(0,1,2)i,使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度.计算题 3.答案 解：分别将2()1,f xx x,代入求积公式,可得02114,33AAh Ah.令3()f xx时求积公式成立,而4()f xx时公式不成立,从而精度为 3.4、15 分一组试验数据如下：求它的拟合曲线直线.计算题 4.答案 解：设yabx如此可得515311555105.5abab 于是2.45,1.25ab,即2.451.25yx.1、10 分数据如下：求形如bxay1拟合函
11、数.计算题 1.答案 解：55552111111,9,17.8,16.971,35.9025916.971917.835.39022.05353.026512.05353.0265iiiiiiiiiabxzzabxyyxxzz xababyx 令则解此方程组得拟合曲线为 2、15 分用二次拉格朗日插值多项式2()L x计算sin0.34.插值节点和相应的函数值如下表.计算题 2.答案 解：过点001122(,),(,),(,)xfxfxf的二次拉格朗日插值多项式为 0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxL xff
12、fxxxxxxxxxxxx 代值并计算得 2sin0.34(0.34)0.33336L.3、15 分利用改良的尤拉方法求解初值问题,其中步长0.2h,(0,0.8)(0)1.yyxxy.计算题 3.答案 解：1111(),()(),2nnnnnnnnnnyyh yxhyyyxyx0(0,1,2,3,)1,ny1.000000;1.240000;1.576800;2.031696;2.630669;3.405416.ky 4、15 分012113,424xxx 推导以这三点为求积节点在0,1上的插值型求积公式 10120113()()()()424f x dxA fA fA f；指明求积公式所具
13、有的代数精度；用所求公式计算120 x dx.计算题 4.1答案 计算题 4.2&3答案 2所求的求积公式是插值型,故至少具有 2 次代数精度,再将34(),f xxx代入上述公式,可得 133330144440111132()()2(),43424111132()()2(),53424x dxx dx 故代数精度是 3 次.3由2可得：122220111312()()2()34243x dx.所求插值型的求积公式形如：10120113()()()()424f x dxA fA fA f111120000001021110211000101210122020213()()()()224();1
14、113()()3()()424413()()()()144();1113()()3()()2424()()()()(xxxxxxAlx dxdxdxxxxxxxxxxxAl x dxdxdxxxxxxxxxAlx dxxxx 1100111()()242;3131)3()()4442xxdxdxx 101113()2()()2()3424f x dxfff故.二、计算题 1.15 分设3201219(),1,44f xxxxx 1试求()f x在1 9,4 4上的三次 Hermite 插值多项式()H x使满足()(),0,1,2,.()()jjH xf xjHxfx,()H x以升幂形式给出
15、.2写出余项()()()R xf xH x的表达式 .132142632331()25545045025H xxxx 25221 9191 9()()(1)(),()(,)4!16444 4R xxxxx 3.确定如下求积公式中的待定参数,使其代数准确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数准确度 .计算题 3.答案 令2()1,f xx x代入公式准确成立,得122312023ABhhABxh ABxh；解得1131,322xh Bh Ah,得求积公式 1()()3()23hhhf x dxfhfh 对3()f xx；334140()()3()239hhhf x dxhfhh 故求积公式具有 2 次代数准确度.