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1、1.设复数z 满足z ，则z 在复平面内的对应点位于 2.若集合A x 0，B x 1 x 2，则A x 2 (12 5.2 1，3已知双曲线 2 y A.1 B.1 C.1 D.x2 1 4.在 ABC 中，BD DC ，则AD A.AB AC B.AB AC C.AB AC D.AB AC 则下列判断中 的是 司 1 的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数g x A.函数g x 的图象关于点 ，0 对称 B.函数g x 的周期是 C.函数g x 在 0，上单调递增 D.数g x 在 0，上最大值是1 函 7.已知椭圆 2 F F P B.C.D.务，E 合肥市2019 届高三
2、第二次教学质量检测 数学试题 理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第卷 一、选择题：本大题共 小题，每小题 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 4i 1 i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B x 1 A.2，B.1，C.(-1 1)D.(-1 2)x2 y2 a b2 1(a 0，b 0)的一条渐近线方程为 2 x，且经过点P(6，4)，则双 曲线的方程是 x2 y2 x2 y2 x2 y2 y2 4 32 3 4 2 8 4 1 2 1 3 2 1 1 2 1 2 4 4 3 3 3 3 3 3 5.下表是某电器销售公司 2018 年度
3、各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：营业收入占比 净利润占比 空调类 90.10%95.80%冰箱类 4.98%-0.48%小家电类 3.82%3.82%其它类 1.10%0.86%不正确 A.该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B.该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C.该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 6.将函数 f x 2sin x 1 6 2 的图象，则下列说法正确的是 12 2 6 6 x2 y2 a b2 1(a b 0)的左右焦点分别为，F，右顶点
4、为A，上顶点为B，以线段F A 1 2 1 为直径的圆交线段 B 的延长线于点，若F B/AP，则该椭圆离心率是 1 2 A.3 3 2 3 2 3 2 2 8.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任要求是：任务A 必须排在前三项执行且执行任 务 A 之后需立即执行任务，任务B、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有 A.36 种 B.44 种 C.48 种 D.54 种 9.函数 f x x 2 x sinx 的图象大致为 1 上一层单价的 若这堆货物总价是 200 万元，则n 的值为 9 9 n()在 中.某 1 1 1 b e 1 14.若sin ，则cos2 cos _.a b 2
5、的最小值为_.第.答.4 5.2 B a.10.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直 的有 A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 11.“垛积术”隙积术 是由北宋科学家沈括梦溪笔谈 首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有 茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等 仓库中部分货物堆放成如图所示 的“茭草垛”：自上而下，第一 件，以后每一层比上一层多件，最 后一层是n 件已知第一层货物单价万元，从第二层起，货物的单价是 100 10 10 A.7 B.8 C.9 D.10 12.函数 f x ex e1 x b 2x
6、 1 在(0，1)内有两个零点，则实数的取值 范围是 A.e，1 e e 1，e B.1 e，0 0，1 C.e，0 0，e 1 D.1 e，e e，e 1 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共小题，每小题 分.把答案填在答题卡上的相应位置 13.设等差数列a 的前n 项和为S，若a 3，S 16，则数列a 的公差d _.n n 2 4 n 1 3 15.若 a b 0，则a2 b2 1 16.已知半径为 4 的球面上有两点A，AB 4 2，球心为O，若球面上的动点C 满
7、足二面角 C AB O 的大小为60o，则四面体OABC 的外接球的半径为_.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分12 分)在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为，b，c，sin 2 A sin 2 B sin A sin B 2c sin C，ABC 的 面积S abc.()求角C；()求 ABC 周长的取值范围 18.(本小题满分12 分)如图，三棱台ABC EFG 的底面是正三角形，平面ABC 平面 BCGF，CB 2GF，BF CF.()求证：AB CG；()若 BC CF，求直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值 2 2 买 2修 4修 2
8、1.记.C C F l A x.n ln n 1 n 1 ，T a a a a (n N)，求证：ln n 2 T 1 .y sin .2B.x C 3 C.19.(本小题满分12 分)某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保 维修优惠方案：方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维 次，超过 2 次每次收取维修费 2000 元；方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维 次，超过 4 次每次收取维修费 1000 元.某医院准备一次性购买台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理 了 50 台这种
9、机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这 50 台机器维修次数的频率代替台机器维修次数发生的概率 X 表示这 2 台机器超过质保期后 延保的两年内共需维修的次数()求 X 的分布列；()以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？20.(本小题满分12 分)已知抛物线:x2 2 py(p 0)上一点M(m，9)到其焦点F 的距离为10.()求抛物线 的方程；()设过焦点 的直线 与抛物线C 交于 A，B 两点，且抛物线在，B 两点处的切线分别交轴于 P，Q 两点，求AP BQ 的取值范围 21.(本小题满
10、分12 分)已知函数f x a x 1ln x 1 x 2ax(a 0)是减函数()试确定a 的值；()已知数列 a，a n n 1 2 3 n n n 2 .请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题 目计分，作答时，请用 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑 22.(本小题满分10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲 线C 的参数方程为 x 2cos (为参数).在以原点O 为极点，轴正半轴 1 为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为 2 4 sin .2()写出曲线C 和C 的直角坐标方程；1 2()若 P，
11、Q 分别为曲线，C 上的动点，求PQ 的最大值 1 2 23.(本小题满分10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知 f x 3x 2.()求 f x 1 的解集；a.(理()若 f x2 a x 恒成立，求实数 的最大值 合肥市2019 届高三第二次教学质量检测数学试题 科)3 12 5 4 5 15.2 16.解：()由 S abc ab sin C 可知2c sin C，由余弦定理得cos C ，C .分 1 2 a 2 3 4 sin A cos A sin A 2 2 2 4 sin A cos A 2 2 2 4 sin A .A 0，A ，sin A ，3 2 ，ABC 的周长的取
12、值范围为 .12 分 4 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 60 分.题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 B 6 C 7 D 8 B 9 A 10 C 11 D 12 D 二、填空题：本大题共小题，每小题 分，共 20 分.13.2 14.4 9 4 6 3 三、解答题：17.(本小题满分12 分)1 2 sin 2 A sin 2 B sin A sin B sin 2 C.由正弦定理得 2 b2 ab c2.5 2 3()由()知 2c sin C，2a sin A，2b sin B.ABC 的周长为a b c 1 sinA sin B sin C
13、 2 1 3 sin A sin A 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 2 3 4 3 3 33 2 3 2 1 3 2 3 18.(本小题满分12 分)解：()取 BC 的中点为D，连结DF.由 ABC EFG 是三棱台得，平面ABC 平面EFG，从而BC/FG.5 D CB 2GF，CD/GF，四边形CDFG 为平行四边形，CG/DF.BF CF，D 为 BC 的中点，DF BC，CG BC.平 面 ABC 平 面 BCGF，且交线 为 BC，CG 平 面 BCGF，CG 平面ABC，而AB 平面 ABC，CG AB.分()连结AD.由 ABC 是正三角形，且 为中点得，AD BC.
14、由()知，CG 平面ABC，CG/DF，4.z D 设 BC 2，则 A(0，0，3)，E(，3，AE ，3，2 2 ，BG 2，3，0 ，BE ，3，2 2 BG n 0 由 可得，3.BE n 0 x 3 y z 0 n z 2 1 n P X 0 ，P X 1 2 ，P X 2 2 ，P X 3 2 2 ，P X 4 2 ，P X 5 2 ，P X 6 ，12 0 5 Y EY 17 7000 9000 11000 13000 15000 10720(元).100 50 25 25 100 Y EY 67 10000 11000 12000 10420(元).100 25 100.12
15、DF AD，DF BC，DB，DF，DA 两两垂直以 DB，DF，DA 分别为x，y，轴，建立如图所示的空间直角坐标系 xyz.1 3 2 2 )，B(1，0，0)，G(-1，3，0)，1 3 3 3 .设平面BEG 的一个法向量为 x，y，.2x 3 y 0，3 2 2 令 x 3，则 y 2，z 1，n 3，.设 AE 与平面BEG 所成角为，则 sin cos AE，AE n AE n 6 4.分 19.(本小题满分12 分)解：()X 所有可能的取值为，1，2，3，4，5，6.1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 10 10 100 10 5 25 5 5 5 10 25 1 3
16、 1 2 11 2 2 3 1 7 10 10 5 5 50 5 5 10 5 25 2 3 6 3 3 9 5 10 25 10 10 100 X 的分布列为 X P 0 1 2 3 4 5 6 1 1 3 11 7 6 9 100 25 25 50 25 25 100 分 ()选择延保方案一，所需费用元的分布列为：1 Y 1 P 7000 17 100 9000 11 50 11000 7 25 13000 6 25 15000 9 100 11 7 6 9 1 选择延保方案二，所需费用元的分布列为：2 Y 2 P 10000 67 100 11000 6 25 12000 9 100 6
17、 9 2 EY EY，该医院选择延保方案二较合算 1 2 5 分 抛物线的准线为y ，9 10，9 x 5 l k 设 A(x，1 )，B(x ，2 )，由 4 x2 4 y 由于抛物线C 也是函数y x2 的图象，且y x，则PA:y 1 x x x .4 2 4 2 1 令 y 0，解得x x ，P x，0 ，从而 AP 2 2 1 同理可得，BQ x2 4 x2 ，4 x x 2 4 x2 4 x2 1 x x 2 16 4 x2 x2 x x 2 2 1 k 2.16 16 1 2 1 2 2 x 1 2 ，由a 0 知，1 1，g x 当x 1，1 时，g x 0；当x 1，时，g
18、x 0，g x 在 1，1 上单调递增，在 1，上单调递减，g x 在 x 1 时取得最大值.1 0，解得a 2.5分 x .2 a 2 x g g f ，即a 2 n 1 n 1 2 n1 2 2 1 1 所以ln n 2 T ln n 2 n1 n 1 2 下面证2ln n 2 ln n 1 n1 ln2 1 0 2 ：2 1 1 20.(本小题满分12 分)解：()已知M(m，)到焦点F 的距离为10，则点M 到其准线的距离为 10.p p 2 2 解得，p 2，抛物线的方程为2 4 y.分()由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为F(0，1)，则l:y kx 1.1 2 x 2 x
19、 2 y kx 1 消去 y 得，x2 4kx 4 0，x x 4k，x x 4.1 2 1 2 1 1 x 2 1 1 1 1 AP BQ 1 1 2 1 2 1 2 k 2 0，AP BQ 的取值范围为2,.12 分 21.(本小题满分12 分)解：()f x 的定义域为1，f x a ln x 1 2x.由 f x 是减函数得，对任意的 1，都有f x a ln x 1 2x 0 恒成立 设 g x a ln x 1 2x.a a x 1 2 a a 2 a 2 a 2 又g 0 0，对任意的 1，g x g 0恒成立，即 x 的最大值为 0.a 2()由 f x 是减函数，且 0 0
20、可得，当x 0 时，f x 0，f n 0，即2 n 1 ln 1 n n 22 n.两边同除以 n 12得，ln n 1 1 n n 2 n 1 2 n 1 n 1 n 1 n n 2 .从而T a a a n 1 2 3 a n 1 1 2 3 n 3 4 5 n 1 n 2n 2 3 4 n 1 2 3 4 n 2 n ，2 2ln n ln n n ln2.n n 6 记 h x 2ln x 2 ln x 1 x 1ln 2 1，x 1，.ln 2 ln 2 ，x 2 3 2 y x 在2，上单调递增，h x 在2，上单调递减，而h 2 ln 2 2 3ln 2 2 ln8 0，h 1
21、 2ln3 ln 2 2ln 2 ln ln e 0，x 1 1 综上可得，ln n 2T 1 .12 分 解：()曲线C 的直角坐标方程为 y2 1，4 x 5(当sin 时，PQ 10 所以，f x 1 的解集为1，.1 5 3.3 x .2 6 (当且仅当3 x ，即 x 时等号成立)，x 2 h x 2 1 1 x 1 1 1 ln 2 x 2 x 1 2 x2 3x 2 2 x 2 x 1 1 1 1 6 2 3 3 当x 2 时，h x 0 恒成立，h x 在2，上单调递减，即 2，h x h 2 2ln 4 ln3 3ln 2 ln 2 ln3 0，当n 2 时，h n 0.1
22、9 2 8 当n N*时，h n 0，即2ln n 2 ln n n1 ln2 n 2.n n 2 22.(本小题满分10 分)x2 1 曲线C 的直角坐标方程为2 y 2 4y 3，即x2 y 22 1.分 2()设 P 点的坐标为 2cos，sin ).PQ PC 1 4cos 2 sin 2 2 1 3sin 2 4sin 8 1 2 2 3 max=2 21 3 1.分 23.(本小题满分10 分)解：()由 f x 1 得|3x 2|1，所以1 3 x 2 1，解得1 x 1，3 分 3 ()f x2 a x 恒成立，即 x2 2 a x 恒成立 当 x 0 时，a R；当 x 0 时，a 3x2 2 2 x x 因为3 x 2 2 6 2 10 x x 3 所以a 2 6，即a 的最大值是 6.分 7