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1、 四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列-等差数列基础（1）温馨提示：该文档包含本课程的讲义和课后测试题，课后测试题即每一部分内容对应的“课后练习”。等差数列的认识、通项公式的使用 1.熟悉等差数列通项公式 2.应用等差数列通项公式计算 例题 1：判断下面哪些是等差数列？1、0、1、0、1、0 2、8、14、20、26 1、2、2、3、4、5 95、90、85、80、75 例题 2：一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高 4 厘米。第一次跳了 10 厘米，它一共跳了 100 次，问它第 100 次跳多高？例题 3：一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高
2、 2 厘米。第 5次跳了 10 厘米，它一共跳了 60 次，问它第 60 次跳多高？例 4：一个等差数列共 13 项。每一项都比它的前一项大 7，并且末项为 125。求首项是多少?（即使该课程的课后测试）练习 1：判断下面哪些是等差数列，是的画，不是的画。（1）4、8、12、16、20、24 （）（2）1、2、3、5、8、13 （）（3）3、3、3、3、3、3、3 （）（4）40、38、37、36、34、32 （）练习 2：在等差数列中 4、10、16、22、中，第 48 项是多少？练习 3：求等差数列 2、5、8、11的第 100 项？练习 4：求 1、5、9、13、这个等差数列的第 30
3、项？练习 5：一个等差数列共 20 项。每一项都比它的前一项大 3，并且末项为 125。求首项是多少？练习 1：判断下面哪些是等差数列是的画，不是的画。（1）4、8、12、16、20、24 （）公差为 4 （2）1、2、3、5、8、13 （）相邻两项分别差 1、1、2、3、5（3）3、3、3、3、3、3、3 （）公差为 0（4）40、38、37、36、34、32 （）相邻两项分别差 2、1、1、2、2 练习 2：在等差数列中 4、10、16、22、中，第 48 项是多少？分析：1(1)naand 481(48 1)64476286aa 练习 3：求等差数列 2、5、8、11的第 100 项？分
4、析：1(1)naand 1001(1001)3299 3299aa 练习 4：求 1、5、9、13、这个等差数列的第 30 项？分析：1(1)naand 301(301)41294117aa 练习 5：一个等差数列共 20 项。每一项都比它的前一项大 3，并且末项为 125。求首项是多少？分析：1(1)naand 120(201)3125 19 368aa 四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列-等差数列基础（2）掌握等差数列的项数和公差公式 1.熟悉等差数列项数公式、公差公式 2.应用等差数列项数公差公式计算 例题 1：有一公差 6 的等差数列，a1=12，an=84，求 n 的值
5、？例题 2：体育课上老师指挥大家排成一排，乐乐站排头，哈哈站排尾，从排头到排尾报数。如果乐乐报 3，哈哈报 25，每位同学报的数都比前一位多 2，那么队伍里一共有多少人？如果乐乐报 17，哈哈报 150，每位同学报的数都比前一位多 7，那么队伍里一共有多少人？例题 3：艳艳老师在黑板上写了一个等差数列，刚写完，老顽童奥大叔就擦去了其中的大部分，只留下第四个数 31 和第十个数 73。能找出这个等差数列的公差吗？例 4：在124和245之间插入10个数以后，使它成为一个等差数列。这10个数中，最小的是几？最大的是几？（即使该课程的课后测试）练习 1：在数列 3、6、9、201 中，共有多少数？如
6、果继续写下去，第 201 个数是多少？练习 2：在等差数列中 4、10、16、22、中，508 是这个数列的第几项？练习 3：一个等差数列首项是 11，末项是 91，共 9 项，公差是多少？练习 4：一个等差数列的第 5 项是 46，第 16 项是 167，公差是多少？练习 5：在 27 和 76 之间插入 6 个数，使它成为一个等差数列，这 6 个数中最大是多少，最小是多少？练习 1：在数列 3、6、9、201 中，共有多少数？如果继续写下去，第 201 个数是多少？分析：项数=（201-3）3+1=67 末项=3+（201-1）3=603 答：共有 67 项，第 201 个数是 603。练
7、习 2：在等差数列中 4、10、16、22、中，508 是这个数列的第几项？分析:项数=（508-4）6+1=85 答：508 是这个数列的第 85 项。练习 3：一个等差数列首项是 11，末项是 91，共 9 项，公差是多少？分析:公差=（末项-首项）（n-1）=（91-11）（9-1）=10 答：公差是 10。练习 4：一个等差数列的第 5 项是 46，第 16 项是 167，公差是多少？分析：165()(165)(16746)(165)121 1111daa 答：公差是 11。练习 5：在 27 和 76 之间插入 6 个数，使它成为一个等差数列，这 6 个数中最大是多少，最小是多少？分
8、析：8 个数形成等差数列，首项为 27，末项为 76，则：公差=（76-27）（8-1）=497=7 最小数=27+7=34 最大数=76-7=69 答：这 6 个数中最大是 69，最小是 34。四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列-等差数列求和 掌握等差数列求和公式 1.熟悉等差数列求和公式 2.应用等差数列求和公式计算 例题 1：(2468102000)(135791999)例题 2：134679101213+99100 例题 3：求 1 至 100 内被 3 整除数的和？例题 4：求 1 到 100 不能被 3 整除数的和？例题 5：求 100 以内能被 2 或 3 整除数的
9、和？（即使该课程的课后测试）练习 1：计算（1+3+5+1991）（2+4+6+1990）练习 2：计算 5+10+15+20+190+195+200 的和。练习 3：求自然数中被 10 除余 1 的所有两位数的和？练习 4：求不超过 500 的所有不能被 11 整除的自然数的和？练习 5：求 297294291963 的和。练习 1：计算（1+3+5+1991）（2+4+6+1990）分析：被减数的项数=(1991-1)2+1=996 所以被减数的总和=(1+1991)9962=992016 减数的项数=(1990-2)2+1=995 所以减数的总和=(2+1990)9952=991020
10、所以原式=992016-991020=996 练习 2：计算 5+10+15+20+190+195+200 的和。分析：首项=5，末项=200，公差=5 项数=(200-5)5+1=40 5+10+15+20+190+195+200 =(5+200)402=4100 练习 3：求自然数中被 10 除余 1 的所有两位数的和？分析：在两位数中，被 10 除余 1 最小的是 11，最大的是 91。从题意可知，本题是求等差数列 11、21、31、91 的和。它的项数是 9，我们可以根据求和公式来计算。11+21+31+91=（11+91）92=459 练习 4：求不超过 500 的所有不能被 11
11、整除的自然数的和？分析：用 1 到 500 的和减去能被 11 整除数的和。能被 11 整除最小的数是11，最大的是 495，共 45 项。（1+500）5002（11+495）452=125250-11385=113865 练习 5：求 297294291963 的和。分析：297294291963369291294297，对于重新排列的这列数，首项3，末项297，公差 d3 项数 n（2973）3198199 S=（3297）992=300992=15099=14850 四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列-等差数列提高 掌握等差数列中项定理 1.熟练掌握等差数列中项定理公式
12、2.灵活应用等差中项定理进行计算 例题 1：(2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011)2008 例题 2：把 1988 表示成 28 个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少？例题 3：已知一个等差数列的前 15 项之和为 450，前 20 项之和为 750，问这个数列的公差是多少？首项是多少？例题 4：乐乐和哈哈同时开始工作。乐乐第一个月得到 1000 元工资。以后每月多得60 元；哈哈第一个月得到 500 元工资，以后每月多得 45 元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？（即使该课程的课后测试）练习 1：从小到大连续 11 个偶数的和为 594，求
13、第三个偶数是多少？练习 2：一个等差数列一共有 13 项，公差为 11，若已知这个等差数列的和为 3926，求在这个数列中最小的数为多少？练习 3：从小到大连续 12 个奇数的和为 600，求第三个奇数是多少？练习 4：小王看一本书，第一天看了 20 页，以后每天都比前一天多看 2 页，最后一天看了 78 页正好看完。这本书共有多少页？练习 5：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示)，求这堆钢管一共有多少根？练习 1：从小到大连续 11 个偶数的和为 594，求第三个偶数是多少？分析：（中项定理）59411=54 得中间数，即第 6 项为 54。54-23=48 答：第三个偶数是 48。练习 2：
14、一个等差数列一共有 13 项，公差为 11，若已知这个等差数列的和为 3926，求在这个数列中最小的数为多少？分析：根据中项定理得：7a=392613302 最小的为：302-（7-1）11=236 答：在这个数列中最小的数为 236。练习 3：从小到大连续 12 个奇数的和为 600，求第三个奇数是多少？分析：因为是连续的奇数，形成公差为 2 的等差数列。中间两项的和为：600122=100；第六项：（100-2）2=49；第三项：49-2（6-3）=43 答：第三个奇数是 43。练习 4：小王看一本书第一天看了 20 页，以后每天都比前一天多看 2 页，最后一天看了 78 页正好看完。这本
15、书共有多少页？分析：先求共看多少天：n=（78-20）2+1=30（天）S=（20+78）302=98302=1470（页）答：这本书共有 1470 页。练习 5：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示)，求这堆钢管一共有多少根？分析：根据图可以知道，这是一个以 3 为首项，以 10 为末项，以 1 为公差的等差数列，求钢管一共有多少根，其实就是求 3+4+5+9+10 的和。项数=(10-3)1+1=8 3+4+5+9+10=(3+10)82=1382=52(根)。答：这堆钢管一共有 52 根。四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列-等差数列综合巩固 掌握等差数列通项公式、求项数公式、求
16、和公式、中项定理 1.熟练掌握根据各类公式进行计算 2.灵活应用等差数列求和公式和中项定理 例题 1：（2008 年第六届走美杯四年级初赛第 2 题）(1+2+3+2007+2008+2007+3+2+1)2008 例题 2：盒子中放着两个小球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，把它变成 4个小球后放回盒子，第二次又从盒子拿出两个球，将每个都变成 4 个球后放回盒子第十次从盒子中拿出 10 个球，将每个都变成 4 个球后放回盒子。这时盒子里有多少个小球？例题 3：已知数列：2、1、4、3、6、5、8、7、问 2009 是这个数列的第多少项？例题 4：已知数列：1、1、2、2、2、2、3、3、
17、3、3、3、3、4、，试问：（1）15 是这个数列中的第几个到第几个数？（2）这个数列中第 100 个数是几？（即使该课程的课后测试）练习 1：1+2+3+499+500+499+3+2+1 练习 2：在一次元旦晚会上，一共有 48 位同学和 5 位老师，每一位同学或老师都要和其他人握一次手。那么一共握了多少次手？练习 3：有 50 把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？练习 4：求下列方阵中所有数的和：1、2、3、4、49、50；2、3、4、5、50、51；3、4、5、6、51、52；49、50、51、52、97、98；50、51、52、53、98、99。练习 5：
18、用 3 根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形。如果这个大的等边三角形的底边能放 10 根火柴棒，那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒？练习 1：1+2+3+499+500+499+3+2+1 分析：根据 1+2+3+4+n+（n-1）+4+3+2+1=nn 1+2+3+499+500+499+3+2+1=500500=250000 练习 2：在一次元旦晚会上，一共有 48 位同学和 5 位老师，每一位同学或老师都要和其他人握一次手。那么一共握了多少次手？分析：根据题意，一共有 48+5=53（人）参加了这次晚会。所以，一共握手的次数为：
19、52+51+50+3+2+1=（52+1）522=1378（次）答：一共握了 1378 次手。练习 3：有 50 把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？分析：开第一把锁时，如果不凑巧，试了 49 把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试 49 次，同理，开第二把锁至多需要 48 次，开第三把锁至多需试 47 次，等打开第 49 把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和，即：49+48+47+2+1=(49+1)492=1225（次）答：至多要试 1225 次。练习 4：求下列方阵中所有各数的和：
20、1、2、3、4、49、50；2、3、4、5、50、51；3、4、5、6、51、52；49、50、51、52、97、98；50、51、52、53、98、99。分析：这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行（或竖行）数列之和，再求出这个方阵的和。每一横行数列之和：第一行：（1+50）502=1275 第二行：（2+51）502=1325 第三行：（3+52）502=1375 第四十九行：（49+98）502=3675 第五十行：（50+99）502=3725 方阵所有数之和：1275+1325+1375+3675+3725=（1275+3725）502=125000 练
21、习 5：用 3 根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形。如果这个大的等边三角形的底边能放 10 根火柴棒，那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒？分析：如果把图中最上端的一个三角形看做第一层，与第一层紧相连的 3个三角形（2 个向上的三角形，一个向下的三角形）看做第二层，那么这个图中一共有 10 层三角形。不难看出，这 10 层三角形每层所需火柴棒根数，自上而下依次为：3，6，9，310。它们成等差数列，且首项为 3，公差为 3，项数为 10。求火柴的总根数，也就是求这个等差数列各项的和。即:3+6+9+30=(3+30)102=335=165（根）答：这个大的等边三角形中一共要放 165 根火柴棒。