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1、 1 平面向量的概念及其性质应用 平面向量的概念 一、知识清单 1.向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB的大小叫做向量的长度(或模)，记作AB.注：向量可以用有向线段来表示。（2）特殊向量 零向量：长度为0 的向量，记作0。零向量的方向是任意的，它与任意非零向量都共线。单位向量：长度等于1个单位长度的向量，长记作e.与任意向量a共线的单位向量是aa。平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，且规定0 向量与任一非零向量平行。向量平行不具有传递性。相等向量：长度相等且方向相同的两个向量，记作a=b.向量的相等具有传递性。相反向量：长度相等且方向相反的两个
2、向量，记作a=-b.任意向量的相反向量是自身。2.向量的线性运算和向量共线定理（1）向量的加法运算 三角形法则的特点：首尾相连 平行四边形法则的特点：共起点 三角形不等式：bababa 运算性质：交换律：abba；aaa00；结合律：cbacba。坐标运算：设11,yxa，22,yxb，则2121,yyxxba （2）向量的减法运算 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 坐标运算：设11,yxa，22,yxb，则2121,yyxxba 设 A、B 两点的坐标分别为11,yx，22,yx，则1212,yyxxAB （3）向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，
3、记作a .aa；.当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a 2 运算律：aa；aaa；abab 坐标运算：设,ax y，则,ax yxy （4）向量共线定理 向量0a a 与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba 设11,ax y，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210 x yx y时，向量a、0b b 共线 推论：三点A,B,C共线ACAB,共线；向量PCPBPA,中三终点A,B,C共线存在实数，使得PCPBPA，且+=1.（5）平面向量的坐标运算 平面向量基本定理：如果1e、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只
4、有一对实数1、2，使1 122aee（不共线的向量1e、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）分点坐标公式：设点是线段12 上的一点，1、2的坐标分别是11,x y，22,x y，当12 时，点的坐标是1212,11xxyy 【针对训练】1.已知向量).3,(),1,0(),1,3(kcba若向量a-2b 与 c 共线，则k=_ 2.已知O是ABC所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且02OCOBOA，那么ODAO;ODAO2;ODAO3;ODAO 2正确的是 3.若OEF，是不共线的任意三点，则 EFOFOE EFOFOE EFOFOE EFOFOE 成立的是 4.若非零向量，ab满足a
5、bb，则2 aab;22aab;2bab;22bab成立的是 3 5.在四面体OABC中，OAOBOCD ，abc为BC的中点，E为AD的中点，则OE （用，abc表示）6.ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB，若=a,=b,=1，=2,则=_ 7.已知和点M 满足.若存在实使得AMmACAB成立，则=_ 8.已知向量a（2，1），b（1，m），c（1，2）若（ab）c，则m.9.已知向量，满足，与的夹角为60，则 10.已知平面向量a=，b=，则向量和 y 轴 _ 11.已知向量，若向量满足，则_ 12.已知向量，如果那么 时与_(同向或反向)13.若向量a=（1，1），b=（-
6、1,1），c=（4，2），则用a,b 表示c=_ 14.已知向量,23,23,23ba，若ba/，则的值为_ 15.已知向量若与平行，则实数的值是 16.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC,AD BC,已知点A(2，0)，B（6，8），C(8,6),则 D 点的坐标为_.17.设向量，若向量与向量共线，则 18.已知向量(2,2),(5,)abk，若ab不超过5，则k的取值范围是 19.在中，若点满足，则 20.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若，,则 22.在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则_ 21.如图1，D，E，F 分别是A
7、BC 的边AB，BC，CA 的中点，则 _ AB CD CB CA abCD ABC0MAMBMC mmab1a 2b abab,1x（）2,x x（）ab(1,2)a(2,3)bc()/cab()cabc(1,0),(0,1),(),abckab kR dab/cd1k cd(1,1),(2,),xaba+b4b2ax(12)(2 3)，abab(47)，cABCAB cAC bD2BDDCAD(2,4)AB (1,3)AC BD ABCDACBDOE，ODAECDFAC aBD bAF 0ADBECF 0BDCFDF 0ADCECF 0BDBEFC EFDCBA 4 22.已知向量（1）若
8、，求的值；（2）若求的值。23.在平面直角坐标系xOy 中，点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。（1）求以线段AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t 满足()=0，求t 的值。(sin,cos2sin),(1,2).ab/abtan|,0,abOCtAB OC 5 平面向量的数量积及应用 一、知识清单 1.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a 与 b，我们把数量cosba 叫做a 与 b 的数量积（或内积），记作ab，即：a b=cosba。规定：零向量与任何一向量的数量积为0.2.平面向量数量积的几何意义 向量的投影：cosa叫做向量a 在 b 方向上的投影
9、，当 为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当 为直角时，它是0.a b 的几何意义：数量积a b 等于a 的长度a与 b 在 a 的方向上的投影cosb的乘积。3.向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角，则 eaae.abab 0 当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；特殊的，aa2a或aaa.babacos.|ab|a|b|.4.向量数量积的运算律 交换律：abba.分配律：(ab)cacbc.数乘结合律：(a)b(ab)a(b)注意：若a,b,c 是非零向量且a c=b c，则不能得到a=b；（ab）c a（b c）。即向量的数
10、量积不满足结合律。【针对训练】例 1.在矩形ABCD 中，变AB、AD 的长分别为2、1，若M、N 分别是边BC、CD 上的点，且满足CDCNBCBM，则ANAM 的取值范围是。例 2.已知向量 mba,3,3,1，若向量a,b,的夹角为6，则实数m=（）32.A3.B0.C3.D 6 二、高考常见题型与解题方法 已知非零向量2211,yxbyxa，为向量a、b的夹角 结论 几何表示 坐标表示 模 aaa 22yxa 数量积 cosbaba 2121yyxxba 夹角 babacos 222221212121cosyxyxyyxx ba 的充要条件 0ba 02121yyxx ba与ba 的关
11、系 baba 当且仅当两向量平行时等号成立 222221212121yxyxyyxx 例 3.平面向量 Rmbmacba，2,4,2,1，且 c 与 a 的夹角等于c 与 b 的夹角，则m=()A.-2 B.-1 C.1 D.2 例 4.已知向量xba,2,1-,1，若ab 1，则x=（）A.-1 B.21 D.21 D.1 例 5.在直角ABC中，点 D是斜边AB的中点，点 P为线段CD的中点，则222PCPBPA=()A.2 B.4 C.5 D.10 例 6.边长为2 的菱形ABCD，120BAD,E,F 分别在边BC,DC 上,DCDFBCBE,，1=AFAE,32CFCE,求+=()A
12、.21 B.32 C.65 D.127 例 7.在ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，且ac.已知31cosB2,=BCBA,b=3.求：（1）a 和 c 的值；（2）cos(B-C)的值。7 三、高考真题训练 1.2014辽宁卷设a，b，c是非零向量，已知命题p：若ab 0，bc 0，则ac 0，命题q：若a b，b c，则a c，则下列命题中真命题是()ApqBpqC)()(qp D)(qp 2.2014新课标全国卷 设向量a，b满足6,10baba，则ab()A 1 B 2 C 3 D 5 3.2014四川卷平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(m R)，且c与a
13、的夹角等于c与b的夹角，则m()A2 B1C 1 D 2 4.2014重庆卷已知向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a 3b)c，那么实数k()A.29B 0C 3 D.215 5.2014福建卷 在下列向量组中，可以把向量a(3，2)表示出来的是()A.2,10,021ee，B.2,52,121ee，C.10,65,321ee，D.3,23,221ee，6.2014浙江卷 记yxxyxyyxyxyyxxyx,min,max，设a，b为平面向量，则()Abababa,min,minBbababa,min,min C2222,maxbababaD2222,maxbababa 7.
14、2014天津卷 已知菱形ABCD的边长为2，BAD 120，点E，F分别在边BC，DC上，BE BC，DF DC.若231CFCEAFAE，则()A.21B.32C.65D.127 8.2014 四川卷 已知F为抛物线xy 2的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB 2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A 2 B 3 C.8217 D.10 9 2014 已知向量a，b满足 1,2,1ba，且 ab 0(R)，则|_ 10 2014 设向量 1,1,3,3ba若(a b)(a b)，则实数 _ 11 2014江西卷 已知单位向量1e与2e的夹角为，且31
15、cos，向量2123eea与213eeb的夹角为，则cos _ 12 2014 新课标全国卷已知A，B，C为圆O上的三点，若ACABAO21，则AB与AC的夹角为_ 132014山东卷 在ABC中，已知ABAC tan A，当6A时，ABC的面积为_ 14 2014陕西卷 设20，向量1,cos,cos,2sinba，若ab，则tan 8 _ 15 2014安徽卷 已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量54321,xxxxx和54321,yyyyy均由2 个a和 3 个b排列而成记5544332211yxyxyxyxyxS，minS表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是_(写出所有
16、正确命题的编号)S有 5 个不同的值若ab，则minS与|a|无关若ab，则minS与|b|无关 若|b|4|a|，则minS 0若|b|2|a|，2min8aS，则a与b的夹角为4 16 2014湖南卷 在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D满足|CD|1，则|OAOBOD|的最大值是_ 17 2014 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上(1)若PAPBPC 0，求|OP|；(2)设OPmABnAC(m，n R)，用x，y表示mn，并求mn的最大值 18 2014山东卷
17、 已知向量a(m，cos2x)，b(sin2x，n)，函数f(x)ab，且yf(x)的图像过点312，和点232，.(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图像向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图像，若yg(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间 四、综合能力提升 9 1.如图所示，已知四边形ABCD 中，M,N 分别是BC，AD 的中点，且DCAB.求证：MACN.2.四边形ABCD 中，DCAB，且3tan,DACAB，判断四边形ABCD 的形状。3.O是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足ACACABABOAOP,且，0,则点P 的轨迹一定通过ABC的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 4.已知G 是ABC的重心，点P 事GBC内一点，若ACABAP，则的范围是（）A.1,21 B.231，C.1,32 D.2,1