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1、第一讲 数系扩张-有理数（一）一、【典型例题解析】：1、若abO,则旦凹_空 的值等于多少?a b ab 2、如果 m 是大于 1 的有理数，那么 m 定小于它的（）A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数 a、b互为相反数，c、d互为倒数，x 的绝对值是 2,求 x2（a+b+c）d X（a2）06 X-C 的值。1 1 J a o b 4、如果在数轴上表示 a、b两上实数点的位置，如下图所 示，那么|a b|a b|化简的结果等于（A.2a B.-2 a C.0 D.2b 5、已知（a-3）2|b-2|=0，求 ab 的值是（）A.2 B.3 C.9 D.6 6、有 3 个
2、有理数 a,b,c，两两不等，那么 口，口，口 中有几个负数？b c c a a b 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为 1，a b,a的形式式，又可表示为 0，-，b的 a 2006 2007 形式，求a b。8.三个有理数a,b,c的积为负数，和为正数，且X=-c J-ab|J-ac|则|a|b|c|ab bc ac ax3 bx2 cx 1的值是多少?9、若 a,b,c为整数，且|a-b|2007|c-a|2007=1，试求|c-a|a-b|b-c|的值 三、课堂备用练习题。1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+2005+2006 2、计算：1 X 2+2X 3+3X 4+n(n
3、+1)3、计算:5 9 17 33 65 129 r r -r -十-j -2 4 8 16 32 64-13 4、已知a,b为非负整数，且满足|a-b|，ab=1,求a,b的所有可能值。5、若三个有理数a,b,c 满足回.也.，求 d a b c abc 第二讲数系扩张-有理数(二)、【典型例题解析】：1、(1)若-2 乞a 乞 0，化简|a 2|2|(2)若 xY：0，化简|x|-2x|x-3|-|x|2、设a YO，且x乞旦，试化简|x1|x2|a|3、a、b是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件?(1)|a b|=|a|b|;(2)|ab|=|a|b|;(4)若|a|=b 则
4、a=b(5)若|a|Yb|，则 aY：b 4、若|x 5|x-2|=7，求 x 的取值范围 5、不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为 A、B、C，如果|a-b|b-c|=|a-c|，那么 B 点在 A、C 的什么位置？6、设 aYbYcYd，求|x-a|x-b|x-c|，|x-d|的最小值。7、abcde 是 一个五位数，aYbY,cYdYe，求|a-b|b-c|c-d|d-e|的最大值。8、设 ai,a2,a3,lH,a2006 都是有理数，令 M 二 a?a?川a2 5)(a?%印 a2 6),N 二 a?a3川 a2006)3 爲 川 a2 5),试比较 M N 的大小。三、【
5、课堂备用练习题】：1、已知 f(x)=|x-1|x-2|x-3|I|x-2002|求 f(x)的最小值(3)|ab 冃b a|;(6)若 ab，则|ah|b|2、若|a b 1|与(a-b 1)2互为相反数，求3a 21的值 3、如果abc=0，求色！凹LSJ的值。a b c 4、x 是什么样的有理数时，下列等式成立?(1)|(x2)(x4)|=|x2|x-4|5、化简下式：|x-|x|x 第三讲数系扩张-有理数 2 3 7 9 7 1、计算：0.7 1 6.6 2.2 0.7 3.3:11 7 3 11 8(2)|(7x 6)(3x-5)|=(7x 6)(3x-5)3、计算：一22 (-2)
6、2-|3.14-二|3一|一3.14|(1)5-3山-2 4-3(-2)2-(-4)亠(-1)3-7：1 1 1 4、化简：(x y)(2x y)(3x y)丨l(9x y)并求当 x=2,y=9时的值。1汉2 2汉3 8汉9 32 1 42 1 n2 1 id汩川詔 2、川1 1 一丄)(111 初 1996 2 3 4 1997 2 3 丄)(1-J 1997 2 3 4 1996 6、比较2 4 8 16川与2的大小。7、计算:.13 47 3,1、3 1 1 2 3、3 2002（8T63）25 4）H（52-1-44r：（.45）（2而）（一1）8、已知 a、b是有理数，且aYb，含
7、c=2b,x=2c 3 3 从小到大的顺序排列。c 2b 3 请将a,b,c,x,y按 三、【备用练习题】：1111 1 1、计算（1）4 28 7 13 208 总总川為 1 1 1 1 11 2、计算：2007 2006 2005 2004 1一-2 3 2 3 2 3 111 1 3、计算：匕）（匕）（-14|（“2006）5、若a、b互为相反数c、d互为倒数，m的绝对值为2,求Cb2.2）的值 2、代数式的求值：（1）已知 经辿=5，求代数式2（2a 一13）3（a b）的值 a+b a+b 2a b（2）已知 x 2y2 5 的值是 7，求代数式 3x 6y2 4 的值(3)已知 a
8、=2b；c=5a，求 6a 2bc 的值(c=0)a 4b+c(4)已知二3,求2a-加-ab的值。b a a-b+2ab 4、如果（a-1）2|b 20，求代数式(b-a)2(a b)2006 2ab(a b)2005 的值(5)已知：当x=1时，代数式 Px3 qx 1 的值为 2007,求当x=-1时，代数式 Px3 qx 1 的值。(6)已知等式(2A-7B)x (3A-8B)=8x 10对一切 x 都成立，求 A、B 的值。(7)已知(1 x)2(x a bx cx2 dx3，求 a b c d 的值。(8)当多项式m2 m-1=0时，求多项式m3 2m2 2006的值。3、找规律:
9、I.(1)(1 2)2-12-4(1 1);(2)(2 2)2-22=4(2 1)(3)(3 2)2-32=4(3 1)(4)(4 2)2-42=4(4 1)第 N 个式子呢？_ n.已知 2 2=2-;3 3=32-;4 42-3 3 8 8 15 15 若 10 a=102-(a、b 为正整数)，求 a b=?b b E.3.2.3 _3 _2.3 _3 _3 _2.3 _3 _3.3 小 2 乂士土口-3 亠 3 亠 3.3 丄 i 3 亠 m.1=1;1 2=3;1 2 3=6;1 2 3 4=10;猜想：1 2 3 4|l n=?三、【备用练习题】：1、若(m n)个人完成一项工程需
10、要 m 天，则 n 个人完成这项工程需要多少天?3 2、已知代数式 3y2-2y 6 的值为 8，求代数式2 y 1的值 3、某同学到集贸市场买苹果，买每千克 3 元的苹果用去所带钱数的一半，而余下的钱都 买了每千克 2 元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元？第四讲代数式(二)一、【典型例题解析】：1、已知多项式 2y 5x29xy2 3x 3nxy2my 7 经合并后，不含有y的项，求2m n的值。2、当 50-(2a 3b)2达到最大值时，求1-4a2-9b2的值 3、已知多项式2a3-a2 a-5与多项式 N 的 2 倍之和是4a3-2a2 2a-4，求N?4、若a,b,
11、c互异，且一x 匚二一一，求x y Z的值 ab bc ca 5、已知 m2 m T=0，求 m3 2m2 2005 的值。1、已知ab=1，比较 M N 的大小。M 丄丄 1 a 1 b 6、已知 m2 mn=15,mn n2-6，求 3m2 一 mn 2n2 的值。7、已知a,b均为正整数，且ab=1，求一？的值 a+1 b+1 8 求证 111、屮 1222 2 等于两个连续自然数的积。2006 个 1 2006 个 2 9、已知abc=1，求 a ab a 1 bc b 1 ac c 1 的值 10、一堆苹果，若干个人分，每人分 于 3 个，问多少人分苹果？4 个，剩下 9 个，若每人
12、分 6 个，最后一个人分到的少、【备用练习题】：2、已知x2-x-仁0，求x2x 1的值。3、已知 x二y二z二，求K的值 y+z x+z x+y 4、a=355,b=444,C=533 比较 a,b,c 的大小。5、已知 2a2-3a-5=0求4a4-12a3 9a2-10的值。第五讲发现规律 一、【典型例题解析】1、观察算式：1 3 5=,1 3 5 7,1 3 5 7 9=川，按 2 2 2 2 规律填空：1+3+5+99=_?,1+3+5+7+(2n-1)=_?2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第 n 个小房子用 了多少块石子？3、用黑、白两种颜色的正
13、六边形地面砖（如图 所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第 3 个图 案中有白色地面砖 块（2）第 n 个图案中有白 色地面砖 块 4、观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第 10 个图形中三角形的个数为多少?第 n 个图形中三角形的个数为 _ 5、观察右图，回答下列问题：（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有 1 个点，第二层有 3 个点，第三层有多少个点，第四层有 _ 点（2）如果要你继续画下去，那第五 层应该画 _ 点，第 n 层有多 _ 点（3）某一层上有 77 个点，这是 第 _ 几层（4）第一层与第二层的和是前三层的和 _ 前 4 层的和 _ 你有没有发现规律,根据你
14、的推测，前 12 层的和 是 _ 6、读一读：式子“1+2+3+4+5+100”表示从 1 开始的 100 个连续自然数的和，由于上述式 100 子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+100”表示为n，这 n d 里“v”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+99”（即从 1 开始的 100 以内的连续奇数的和）50 10 可表示为a（2n-1）;又如13 23 33 43 53 63 73 83 93 103”可表示为n3，同学们，n n T 通过以上材料的阅读，请解答下列问题：（1）2+4+6+8+10+100 用求和符号可表示为 _;5（2）计算：（n2-1
15、）=_ （填写最后的计算结果）。n=1 7、观察下列各式，你会发现什么规律？第 1 第2牛 第了亍 3X 5=15，而 15=屁 1 5 X 7=35,而 35=g-1 11 X 13=143,而 143=12-1 .将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 _ L3 一 1 23 2 4 3 6 4 5 8 请你从右表归纳出计算 13+23+33+n3的分式，并算出 6 9 12 13+23+33+1003 的值。-I3 -1 S 12 16 二、【跟踪训练题】1 1、有一列数 a2,a3,aan,其中：=6X2+1,a2=6X 3+2,&=6X4+3,a4=6X5+4；贝U 第 n 个数
16、 an=_，当 an=2001 时，n=_。2、将正偶数按下表排成 5 列 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列 第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 r 22 24:28 26 根据上面的规律，则 2006 应在 _ 行 _ 列 3、已知一个数列 2,5,9,14,20,x,35则 x 的值应为：（）4、在以下两个数串中：1,3,5,7,，1991,1993,1995,1997,1999 和 1,4,7,10,，1990,1993,1996,1999,同时出现在这两个数串中的数的个数共有（）个。A.333 B.334 C.335 D
17、.336 A /5、学校阅览室有能坐 4 人的方桌，如果多于 4 人，就把方 A 桌拼成一行，2 张方桌拼成一行能坐 6 人（如右图所示）按 照这种规定填写下表的空格:拼成一行的桌子数 1 2 3 n 人数 4 6 6、给出下列算式：3 2-1 2 8 1 2 2 5-3=8 2 7 2-5 2=8 3 9 2 7 2=8 4 观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律：_ 7、通过计算探索规律:2 15 2=225 可写成 100X 1X(1+1)+25 25 2=625 可写成 100X 2X(2+1)+25 35 2=1225 可写成 100X 3X(3+1)+25 45 2
18、=2025 可写成 100X 4X(4+1)+25 75 2=5625 可写成 归猜想得：（10n+5）2=根据猜想计算：19952=8、已知 12 22 32 n2 二丄 n n 1 2n 1，计算:6 1 12+122+132+192=_ ;9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当 n 是自 然数时，代数式 n2+n+41 所表示的是质数。请验证一下，当 n=40 时，n2+n+41 的值是什么？这位学者结论正确吗？第六讲 综合练习（一）1、若4=5，求土空宝的值 x y 2x 2y 3x-3y 2、已知|X y_9|与(2xy 3)2互为相反数，求 y
19、x 3、已知|x2|x2=0，求 x 的范围。4、判断代数式上凶的正负 x 5、若戲凹一i，求回+回+回的值 abcd a b c d 11 1 1 6、若|abV(bd。，求 (T)%.2007)(b 2007)7、已知-2YXY3，化简|x，2|-|x-3|8 已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，m 的绝对值等于 2,P 是数轴上的表示原点的数，求 1000,a b 2/P-cd m的值 abed 9、问中应填入什么数时，才能使|2006 J 一2006|=2006 10、a,b,c在数轴上的位置如图所示，.b a o c i x 化简：|a b|b 一1|ac|一|1 c|2b 一3|
20、11、若a 0,b Y0，求使|x-a|x-b|=|a-b|成立的 x 的取值范围 2 4 o 16 12、计算：(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)、算:232-1 13、已知 a=2004 汉2004-2004 b=2005 汉 2005-2005 c=2006 汉 2006-2006、2003 2003 2003，2004 2004 2004，2005 2005 2005求 abc o 14、已知P=99,q=巧，求P、q的大小关系 9 9 15、有理数a，b，c均不为0，且。设暑十土 4/，求代数式 X19-99x 2008 的值。初一数学寒假专题规律探索【典型例题】题型
21、一 关于图形排列的规律性问题 例 2观察下列图形：*第 1 牛圏堆 第 2 个田堆 第 4 个田琨 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 20 个图形共有 _.例 3.如图所示，在锐角/AOB 内部，画 1 条射线，可得 3 个锐角；画 2 条不同射线，可 得 6 个锐角；画 3 条不同射线，可得 10 个锐角；照此规律，画 10 条不同射线，可得锐 角 .和本例类似的题目：(1)在一条直线上取 n 个不同的点可以组成多少条线段，如图所示.例 1观察下列图形，根据变化规律推测第 100 个与第 _ 图形位置相同.B O (2)在联欢会上，到场的 n 个人每两人握一次手，共握手多少次?题型二
22、有理数的规律性问题 例 4.有一组数：1,2,5,10,17,26,，请观察这组数的构成规律，用你发现的规 律确定第 8 个数为 _.(2)_ 已知 an=(1)+1,当 n=1 时，ai=0;当 n=2 时，a2=2；当 n=3 时，a3=0;.则 ai+a2+a3+a4+a5+a6 的值为.例 5.观察下图中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是 例 6.符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：(1)f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,1111(2)f(2)=2,f(3)=3,f(4)=4,f(5)=5,-来源:Z#X#X#K 利用以上规律计
23、算：f(2008)f(2008)=_.【模拟试题】.选择题 1.用 M,N,P,Q 各代表四种简单几何图形(线段、正三角形、正方形、圆)中的一种.图 1图 4 是由 M,N,P,Q 中的两种图形组合而成的(组合用“&”表示).那么，下列组合图形中，表示 P&Q 的是()M&Q 图4 来源:学 科网)5.23,33和 43分别可以按如图所示方式“分裂”成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和，63也 能按此规律进行“分裂”，则 63“分裂”出的奇数中最大的是（）y13-15+-17 19 3.观察下面给出的四个点阵，规律，猜想第 n 个点阵中的点的个数 s 为（）C.4n+1 s 表示每个点阵中
24、的点的个数，按照图形中的点的个数变化 A.3n 2 B.3n 1 D.4n 3 第 2 个 s=4 4.有 30 张分别标示 130 号的纸牌.纸牌中，拿掉号码数为 2 的倍数的纸牌.第5 张纸牌的号码为（）A.7 B.11 第 1个 第 3 个 s=7 先将号码数为 3 的倍数的纸牌拿掉，然后从剩下的 若将最后剩下的纸牌，依号码数由小到大排列，则 第 4个 s=C.13 D.17 2 33-9 亠5 M1 A B C D 2.观察下列图形，并按照此规律从左向右第 2007 个图形是（）A.41 B.39 C.31 D.29.填空题来源:学.科.网 1.根据下列图形的排列规律，第 2008 个
25、图形是福娃 _（填写福娃名称即可）2.观察下列图形的排列规律（其中，口，分别表示五角星、正方形、圆）.若第一个图形是圆，则第 2008 个图形是 _（填名称）.3._ 如图，观察下列图案，它们都是由边长为 1cm 的小正方形按一定规律拼接而成的，依此 规律，则第 16 个图案中的小正方形有 .增雄逹丑 誓娠屋雄福娃W虬 福kt咼航 梧蛛欢救 搞硅理迎 希硅如陀 4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑 色瓷砖 _ ，第 n 个图形中需要黑色瓷砖 _ （用含 n 的代数式表示）*5.如图所示，中多边形（边数为 12）是由正三角形“扩展”而来的，中多边形是由
26、 正方形“扩展”而来的，依此类推，则由正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数为 _.5如图 10，已知/AOB=90，/BOC=30，OE 平分/AOC，OF 平分/BOC,（1）求/EOF 的度数.（2）如果/AOBa，/BOC 节，（B为锐角），其他条件不变，求/EOF 的度数.（3）从上面的结果中你可以观察出什么样的规律？6、如图 11 所示，点 C 在线段 AB 上，线段 AC=8cm,BC=6cm,点 M，N 分别是 AC，BC 的中点，求（1）线段 MN 的长度；A M C N B 图 11 图案 i fl 图案 2 图案 3 n 图案 4 盘 （2）根据中的计算过程和结果，设 A
27、C+BC=m,其它条件不变，你能猜测 MN 的长度 吗？说明理由;（3）若题中的条件改变为 点 C 在直线 AB 上”，其它条件不变，结果会有变化吗？若有变化,请求出结果 相交线，平行线.【中考试题分析】1.如图，已知直线 AB/CD,.C=125 2.图（二）中有四条互相不平行的直线 Li、L2、L3、L4所截出的七个角。关于这七个角的度数关系，下列何 者正确？A.2=4+7 B。3=1+6 C.1+4+6=180 D。2+3+5=360 3.如图 2，已知直线 a/b,Z 1=40:/2=60,则/3 等于 【竞赛试题分析】1.已知：如图，AB/EF/CD，EG 平分/BEF，/B+/BE
28、D+/D=192/B-/D=24，求/GEF 的度数。NA=45那么N E的大小为（O(A)70(B)80 A.100 B.60 C.40 D.20 4.如图所示，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D，C 分别落在 D,C 的位置.若/EFB=65。，则/AED 等于 A.70 B.C.50 D.25 C G F 2.平面上 n 条直线两两相交且无 3 条或 3 条以上直线共点，有多少个不同交点?3.6 个不同的点，其中只有 3 点在同一条直线上，2 点确定一条直线，问能确定多少条直线?4.10 条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？1 1 2（推广：1.n 条直线两两相交，最多
29、将平面分成 2+2+3+4+n=1+n（n+1）=（n+n+2）块不同的区域 2 2 2 平面内 n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？）课堂演练：选择题 1.平面上有 5 个点，其中仅有 3 点在同一直线上，过每 2 点作一条直线，一共可以作直线（）条 A.6 B.7 C.8 D.9 2平面上三条直线相互间的交点个数是（）A.3 B.1 或 3 C.1 或 2 或 3 D.不一定是 1,2,3 3.平面上 6 条直线两两相交，其中仅有 3 条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）A.36 条 B.33 条 C.24 条 D.21 条 4.已知平面中有n个点A,B,C三个点在一条直线
30、上，代D,F,E四个点也在一条直线上，除些之外，再 没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，那么一共可以画出 38 条不同的直线，这时n等于（）6.如图，已知 FD/BE,则/1+Z 2-/3=()(A)9(B)10(C)11(D)12 5.若平行直线 AB、CD 与相交直线 EF、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（C.12 对 D.16 对 A.90 B.135 C.150 D.180 第 15 题 7._ 如图，已知 AB/CD，/仁/2,则/E 与/F 的大小关系 _&平面上有 5 个点，每两点都连一条直线，问除了原有的 5 点之外这些直线最多还有 _ 交点 9.平面上 3
31、 条直线最多可分平面为 _ 个部分。10.如图，已知 AB/CD/EF,PS_GH 于 P,Z FRG=110，则/PSQ=_ 11已知 A、B 是直线 L 外的两点，则线段 AB 的垂直平分线与直线的交点个数是 12.平面内有 4 条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 _ 个。14.已知：如图，AB/CD，求证：/B+/D+/F=/E+/G 13.已知：如图,DE/CB，求证：/AED=/A+/B 15.如图，已知 CBJB,CE 平分/BCD,DE 平分/CDA,/EDC+/ECD=90，求证：DA _AB A C -D B 16 沖 EPL-一心尼*,上朋 2 门序一应爱如 1
32、7、旦胃心口；-j(:.圧匸二=JiC爲氐.小疋勺虚蠹 队 已知AE平分ZCAD AE EC*求证ZB-ZCo心 19.平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点?20.平面上 5 个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域?21.一直线上 5 点与直线外 3 点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线?22.平面上有 8 条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于 23。23.平面上有 10 条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现 31 个交点，怎样安排才能办到？画出图形。清代 红顶商人”胡雪岩说：做生意顶要紧的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；看得到
33、天下，就能做天下的生意；看得到外国，就能做外国的生意。”可见，一个人的心胸和眼光，决定了他志向的短浅或高远；一个 人的希望和梦想，决定了他的人生暗淡或辉煌。人生能有几回搏，有生不搏待何时！所有的机遇和成功，都在充满阳光，充满希望的大道之上！我们走过了黑夜，就迎来了黎明；走过了荆棘，就迎来了花丛；走过了坎坷，就走出了泥泞；走过了失败，就走向了成 功！一个人只要心存希望，坚强坚韧，坚持不懈，勇往直前地去追寻，去探索，去拼搏，他总有一天会成功。正如郑板桥所具有的人格和精神：皎定青山不放松，立根原在破岩中。千磨万击还坚劲，任尔东南西北风。梦想在，希望在，人就有奔头；愿奋斗，勇拼搏，事就能成功。前行途中，无论我们面对怎样的生活，无论我们遭遇怎样的挫折，只要坚定执着地走在充满希望的路上，就能将逆境变为顺境，将梦想变为现实。实现人生的梦想，我们必须希望和拼搏同在，机遇和奋斗并存，要一如既往，永远走在充满希望的路上！1 4、已知 an 1 1(n=1,2,3,H1,2006)求当 a1-1 时，a-ia2 a2a H a2006a2007=?1 1 an