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1、 乘法公式（提高）责编：杜少波 【学习目标】1.掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2.学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】【高清课堂 乘法公式 知识要点】要点一、平方差公式 平方差公式：(a b)(a b)a2 b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a,b 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同
2、项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变 式有以下类型：（1）位置变化：如 (a b)(b a)利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 (3x 5 y)(3 x 5y)（3）指数变化：如 (m3 n2)(m3 n2)（4）符号变化：如 (a b)(a b)（5）增项变化：如(m n p)(m n p)（6）增因式变化：如(a b)(a b)(a2 b2)(a4 b4)要点二、完全平方公式 完全平方公式：a b 2 a2 2ab b2 (a b)2 a 2 2ab b 2 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或
3、差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍.以下是常见的变形：a2 b2 a 2 a 2 2ab b 2ab b a b 2 b 2 a 4ab 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 .要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查 添括号是否正确 .要点四、补充公式 (x p)(x q)x2(p q)x pq；(a b)(a2 mab b2)a3 b3；(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3；(a b c)2 a2 b2 c2 2ab
4、 2ac 2bc.【典型例题】类型一、平方差公式的应用 1、计算(2 1)(22 1)(24 1)(28 1)(216 1)(232 1)1 【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现 2 1 与 2 1，22 1与 22 1，24 1 与 24 1等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2 1），即可利用平方差公式逐步计算 .【答案与解析】解：原式(2 1)(2 1)(22 1)(24 1)(28 1)(216 1)(232 1)1 (22 1)(22 1)(24 1)(28 1)(216 1)(232 1)1 264 11 264 【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先
5、仔细观察，看是否有规律，然 后去解决，会事半功倍，提高解题能力 举一反三：【高清课堂 乘法公式 例 1（7）（8）】【变式 1】计算：(1)(x 3)(x2 9)(x 3)(2)(a b)(a b)(a2 b2)(a4 b4)【答案】解：(1)原式(x 3)(x 3)(x2 9)(x2 9)(x 2 9)x4 81 (2)原式(a b)(a b)(a2 b2)(a 4 b 4)(a2 b2)(a2 b2)(a4 b4)(a4 b4)(a4 b4)a8 b8 【变式 2】（2015?内江）（1）填空：（a b）（a+b）=；2 2）=；（a b）（a+ab+b 3 2 2 3 （a b）（a+a
6、 b+ab+b）=（2）猜想：（a b）（an 1+an 2b+ab n 2+bn 1）=（其中 n 为正整数，且 n2）（3）利用（2）猜想的结论计算：29 28+27+23 22+2 【答案】解：（1）（a b）（a+b）=a 2 b 2；2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 （a b）（a+ab+b）=a+a b+ab a b ab b=a b；（a b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3 a3b a2 b2 ab3 b4=a4 b4；故答案为：a2 b2，a3 b3，a4 b4；（2）由（1）的规律可得：n n 原式=a b，故答案为：an bn；（3）2
7、9 28+27+2 3 22+2=（2 1）（28+26+24+22+2）=342 2、（2016 春?户县期末）先化简，再求值已知|m 1|+（n+）2=0，求（m2n+1）（1 m2n）的值 【思路点拨】先根据非负数的性质，求出 m，n 的值，再根据平方差公式求代数式的和即可 【答案与解析】解：|m 1|+（n+）2=0，m 1=0，n+=0，m=1，n=，（m2n+1）（1 m2n）4 2=m n 1 =1 1 =【总结升华】本题考查了非负性的应用，解决本题的关键是熟记乘法公式，掌握公式的基本 形式，才能使问题更加简单化 举一反三：(x 3)(x 3)x(x 2)1,【变式】解不等式组：
8、5)(2x 5)4x(1 x).(2 x 【答案】(x 3)(x 3)x(x 2)1,解：5)(2x 5)4x(1 x).(2x 由得 x2 9 x2 2x 1，2x 10，x 5 由得 52(2 x)2 4x 4x2，25 4x2 4x 4x2，4x 25，x 6.25 不等式组的解集为 x 6.25 类型二、完全平方公式的应用 3、运用乘法公式计算：（1）(a 2b 3)2 ；（2）(a 2b 3c)(a 2b 3c)【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将 a 2b 3 化成 a (2 b 3)，看成 a 与(2b 3)和的平方再应用公式；（2）
9、是两个三项式相 乘，其中 a 与 a 完全相同，2b，3c 与 2b，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”【答案与解析】解：（1）原式 a (2b 3)2 a2 2a(2b 3)(2b 3)2 a2 4ab 6a 4b2 12b 9 a2 4b2 4ab 6a 12b 9 （2）原式 a (2b 3c)a (2b 3c)a2 (2 b 3c)2 a2 4b2 12bc 9c2 【总结升华】配成公式中的“a”“b”的形式再进行计算.举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)a b c a b c；(2)2x
10、 y 1 y 1 2x；(3)x y z 2(4)2a 3b 1 1 2a 3b ；【答案】解：(1)a b c a b c a(b c)a (b c)a2 b 2 a2 b2 2bc c2 c a2 b2 2bc c2 (2)2x y 1 y 1 2x 2 x (y 1)2 x (y 1)2x 2 y 1 2 y2 2 y 1 4x2 4x2 y2 2y 1 (3)x y z 2 x y 2 x 2 2 x y z z2 z y x2 2xy y2 2xz 2 yz z2 (4)2a 3b 1 1 2a 3b 2a 3b 2 1 (2 a3b)2 2(2 a 3b)12 (2 a)2 2 2
11、a 3b 3b 2 4a 6b 1 4a212ab 9b24a6b1 4、已知 ABC 的三边长 a、b、c 满足 a2 b2 c2 ab bc ac 0，试判断 ABC 的形状 【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系 【答案与解析】解：a2 b2 c2 ab bc ac 0，2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0，即(a2 2ab b2)(b2 2bc c2)(a2 2ac c2)0 即(a b)2(b c)2(a c)2 0 a b 0，b c 0，a c 0，即 a b c，ABC 为等边三角形 【总结升华】式子 a2 b2 c2 ab bc ac 0 体现了三角形三边长关系，从形式上看与 完全平方式相仿，但差着 2ab 中的 2 倍，故想到等式两边同时扩大 2 倍，从而得到结论 举一反三：【变式】多项式 x2 2xy 2 y2 2 y 5 的最小值是 _.【答案】4；提示：x2 2 xy 2 y2 2y 5 x 2 y 1 2 y 4，所以最小值为 4.