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1、 专题 22 三等角相似模型 一、单选题 1如图，在矩形ABCD中，6BC，E是BC的中点，连接AE，3tan4BAE，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D处，当APD是直角三角形时，PD的值为（）A23或67 B83或247 C83或307 D103或187【答案】B【分析】根据矩形的性质得到AD=BC=6，BAD=D=B=90，根据勾股定理得到AE=2222435ABBE，设 PD=PD=x，则 AP=6-x，当APD是直角三角形时，当ADP=90时，当APD=90时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论【详解】解：在矩形 ABCD 中，AB=4，
2、BC=6，AD=BC=6，BAD=D=B=90，E是 BC的中点，BE=CE=3，AE=2222435ABBE，沿过点 P 的直线将矩形折叠，使点 D 落在 AE 上的点 D处，PD=PD，设 PD=PD=x，则 AP=6-x，当APD是直角三角形时，当ADP=90时，ADP=B=90，ADBC，PAD=AEB，ABEPDA，APPDAEAB，654xx，x=83，PD=83；当APD=90时，APD=B=90，PAE=AEB，APDEBA，APPDBEAB，634xx，x=247，PD=247，综上所述，当APD是直角三角形时，PD=83或247，故选：B【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题
3、），矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键 2 如图，正方形 ABCD边长为 4，边 BC上有一点 E，以 DE为边作矩形 EDFG，使 FG 过点 A，则矩形 EDFG的面积是（）A162 B82 C83 D16【答案】D【分析】先利用等角的余角证明ADFEDC，再根据相似三角形的判定方法证明ADFCDE，然后利用相似比计算 DF 与 DE的关系式，最后根据矩形的面积公式求得矩形的面积便可.【详解】解：四边形 ABCD为正方形，ADCD4，ADCC90，四边形 EDFG为矩形，EDFF90，ADF+ADE90，ADE+EDC90，ADFEDC，ADFCDE，AD DF
4、DE DC，即 44DFDE，DF16DE，矩形 EDFG的面积为：DEDFDE16DE16 故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，根据矩形的性质求面积是解题重要一步 3如图，在矩形ABCD中，4AB，5AD，E、F、G、H分别为矩形边上的点，HF过矩形的中心O，且HFADE为AB的中点，G为CD的中点，则四边形EFGF的周长为（）A3 5 B6 5 C8 3 D6 3【答案】B【分析】连接EG，证明四边形EHGF是矩形，再证明AEHDHG，求得AH与DH的长度，由勾股定理求得EH与HG，再由矩形的周长公式求得结果【详解】解：连接EG，四边形ABCD是矩形，ABCD，/AB CD，E
5、为AB的中点，G为CD的中点，AEDG，/AE DG，四边形AEGD是平行四边形，ADEG，矩形是中心对称图形，HF过矩形的中心O EG过点O，且OHOF，OEOG，四边形EHGF是平行四边形，HFADEG，四边形EHGF是矩形，90EHG，90AD，90AHEAEHAHEDHG ，AEHDHG，AEHDHG，AHAEDGDH，设AHx，则5DHx，122AEDGAB，225xx，解得，1x 或 4，1AH或 4，当1AH 时，4DH，则22145HEAHAE，2222422 5HGDHDG，四边形EFGH的周长2(2 55)6 5；同理，当4AH 时，四边形EFGH的周长2(2 55)6 5
6、；故选：B【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形EHGF是矩形 4如图，在反比例函数3yx的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足ACBC，当点A运动时，点C始终在函数kyx的图象上运动，若5ACAO，则k的值为（）A6 B12 C18 D24【答案】B【分析】连接OC，过点A作AEx轴于点E，过点C作CFy轴于点F，通过角的计算找出AOECOF，结合“AEO90，CFO90”可得出AOECOF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由5ACAO，得出12AOCO，可得出 CFOF的值，进而得到 k的值【详解
7、】如图，连接 OC，过点 A作 AEx 轴于点 E，过点 C作 CFy轴于点 F，由直线 AB与反比例函数3yx的对称性可知 A、B点关于 O 点对称，AOBO，又ACBC，COAB，AOEAOF90，AOFCOF90，AOECOF，又AEO90，CFO90，AOECOF，AEOEAOCFOFCO，5ACAO，12AOCO，CF2AE，OF2OE，又AEOE3，CFOF|k|4312，k12，点 C 在第二象限，k12，故选：B【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出 CFOF12解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质
8、找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论 二、解答题 5定义：有两个相邻内角互余的凸四边形称为互余四边形，这两个角的夹边称为互余线 （1）在 ABC 中，AB=AC，AD 是 ABC 的角平分线，E、F分别是 BD，AD上的点，求证：四边形 ABEF是互余四边形；（2）如图 2，在 54的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的互余四边形 ABEF，使 AB是互余线，E、F在格点上；（3）如图 3，在（1）的条件下，取 EF中点 M，连接 DM并延长交 AB于点 Q，延长 EF交 AC于点 N，若N 为 AC 的中点，DE=2BE，如互余线 AB=10，求 BQ的长
9、【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得ADBC，则可得DAB与DBA互余，即FAB与EBA互余，从而可得答案；（2）画出图形即可；（3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得BDCD、DMME，再判定DBQECN，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解【详解】解：（1）ABAC，AD是ABC的角平分线，ADBC，90ADB，90DABDBA，FAB与EBA互余，四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示，四边形 ABEF即为所求；（答案不唯一）（3）ABAC，AD是ABC的角平分线，BDCD，2DEBE，3BDCDBE，5CECDDE
10、BE，90EDF，点M是EF的中点，DMME，MDEMED，ABAC，BC，DBQECN，35BQBDCNCE，AB=10，10ACAB N为 AC 的中点，152CNAC，355BQ 3BQ【点睛】本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键 6如图，在ABC中，10ABAC，15BC，点D为边BC上一点，且BDCD，点E为AC中点，ADEB （1）求BD的长（2）求证：DADE【答案】（1）5；（2）证明见解析；【分析】（1）先证明出ABDDCE，得出ABBDDCCE，假设 BD为 x，则 DC=
11、15-x，代入分式方程求出 BD的长；（2）由（1）可知BC，推出ABDDCE，得出结果；【详解】（1）10ABAC，BC，ADEB，180180ADEB，ADBEDCADBBAD，EDCBAD，ABDDCE，ABBDDCCE，E为AC中点，152CEAC，15BC，设BDx，则15DCx，即：10155xx，解得：15x，210 x，BDCD，5BD （2）由（1）可知5BDCE，10ABDC，BC，在ABD和DCE中，BDCEBCABDC，ABDSASDCE DADE【点睛】本题考查三角形全等的性质，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用 7如图，在ABC中，90ACB，
12、CD是高，BE平分ABC，BE分别与AC，CD相交于点E，F（1）求证：AEBCFB（2）求证：AEABCECB（3）若5CE，2 5EF，6BD，求AD的长 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）323【分析】（1）由题意易得90ACDBCD，进而可知ABCD ，然后有ABECBE，进而问题得证；（2）由题意易得CFEBCDCBEAABE，进而有CECF，AEABCFCB，进而问题得证；（3）如图，作CHEF于H，从而易得5EHFH，进而可得3DF，8CDCFDF，然后由ACDCBD可进行求解【详解】证明：（1）90ACB 90ACDBCD CD为AB边上的高，90ADC 90A
13、ACD ABCD，BE是ABC的平分线，ABECBE AEBCFB；（2）ABECBE，ABCD ，CFEBCDCBEAABE CEFAABE ，CEFCFE CECF AEBCFB AEABCFCB AEABCECB；（3）如图，作CHEF于H CECF，CHEF 5EHFH，22225(5)2 5CHECEH 由BFDCFH，DFBDHFCH，652 5DF 3DF，8CDCFDF，由ACDCBD ADCDCDBD 886AD 323AD 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键 8如图，四边形 ABCD 中，ADCD，DABACB9
14、0，过点 D 作 DEAC，垂足为 F，DE 与 AB相交于点 E（1）求证：ABAFCBCD；（2）已知 AB15 cm，BC9 cm，P 是射线 DE 上的动点设 DPx cm（0 x），四边形 BCDP 的面积为 y cm2 求 y 关于 x 的函数关系式；当 x 为何值时，PBC 的周长最小，并求出此时 y 的值 【答案】（1）见解析；（2）1963272yxx（）（0 x）；当252x 时，PBC的周长最小，此时1292y 【分析】（1）由已知条件易证DCFABC，可得CDCFABCB，即可得 ABAFCBCD；（2）由勾股定理求得 AC=12，即可得 CFAF6，根据四边形 BCD
15、P 的面积=DCP 的面积+BCP 的面积即可得 y关于 x 的函数关系式；由题意可知PBC的周长最小，就是 PBPC最小，当当 P、A、B三点共线时 PBPA 最小 这时求得 x、y的值即可【详解】（1）证明：ADCD，DEAC，DE 垂直平分 AC AFCF，DFADFC90，DAFDCF DABDAFCAB90，CABB90，DCFDAFB 在 RtDCF和 RtABC中，DFCACB90，DCFB DCFABC CDCFABCB，即CDAFABCB ABAFCBCD（2）解AB15 BC9 ACB90 AC22ABBC2215912 CFAF6 y=12（x+9）63x27（x0）BC
16、9（定值），PBC 的周长最小，就是 PBPC最小 由（1）可知，点 C 关于直线 DE的对称点是点 A，PBPCPBPA，故只要求 PBPA最小 显然当 P、A、B 三点共线时 PBPA最小 此时 DPDE，PBPAAB 由（1），ADFFAE，DFAACB90，得DAFABC 由 EFBC，得 AEBE12AB152，EF92 AFBCADAB，即 69AD15 AD10 RtADF中，AD10，AF6，DF8 DEDFFE892252 当 x252时，PBC的周长最小，此时 y1292 9已知，如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD的中点，EFEC交 AB于 F，连结 FC（ABAE）
17、（1）求证：AEFDCE （2）AEF与ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由（3）设ABkBC，是否存在这样的k值，使得AEF与BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）相似，理由见解析；（3）存在，k=32【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等可得DEC=AFE，再根据A=D=90可证得结论；（2）延长 FE与 CD的延长线交于G，证明 RtAEFRtDEG（ASA）由全等三角形的性质可得出EF=EG 证明 RtEFCRtEGC（SAS）得出AFE=EGC=EFC则可证得结论；（3）分两种情况讨论，当
18、AFE=BCF时根据一个三角形最多有一个直角排除，当AFE=BFC，设 BC=a，则 AB=ka，由AEFBCF，得出 AF=13ka，BF=23ka，再借助AEFDCE 即可证明【详解】解：（1）EFEC，FEC=90，即AEF+DEC=90，四边形 ABCD 为矩形，A=D=90，AEF+AFE=90，DEC=AFE，A=D=90，AEFDCE；（2）AEFECF证明如下：延长 FE 与 CD 的延长线交于 G，E为 AD的中点，AE=DE，AEF=GED，A=EDG，RtAEFRtDEG（ASA）EF=EG CE=CE，FEC=CEG=90，RtEFCRtEGC（SAS）AFE=EGC=
19、EFC 又A=FEC=90，AEFECF；（3）存在 k值，使得AEF与BFC 相似 理由如下：假定AEF与BFC 相似，则有两种情况：当AFE=BCF，则有AFE 与BFC 互余，于是EFC=90，因此此种情况是不成立的；当AFE=BFC，使得AEF与BFC 相似，设 BC=a，则 AB=ka，AEFBCF，12AFAEBFBC，AF=13ka，BF=23ka，AEFDCE，AEAFCDDE，即113212kaakaa，解得，k=32【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理，能正确识图是解题的关键 10在
20、ABC中，90ACB，20AB，12BC （1）如图1，折叠ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若9ABCDHQSS，则HQ （2）如图 2，折叠ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F 若/FMAC，求证：四边形AEMF是菱形（3）如图 3，在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得CMP和HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由 【答案】（1）4；（2）证明见解析；（3）存在，满足条件PQ的值为327或 8 或83【分析】（1）利用勾股定理求出 AC，设 HQx，根据 SABC=9SDHQ，构建方程即可解决问题；（2
21、）由翻折的性质可得 AE=EM，AF=FM，然后证明出 AE=AF即可；（3）设 AEEMFMAF4m，则 BM3m，FB5m，构建方程求出 m的值，然后根据 QH=4，AQ=163，求出 QC=323，设 PQ=x，分两种情形分别求解即可解决问题【详解】（1）如图，在ABC中，90ACB，20AB，12BC，22201216.AC 设HQx，/HQ BC，AHQABC，AQHQACBC，即1612AQx，43AQx，9ABCDHQSS，11416 129223xx 整理得：216x，解得：14x，24x （舍去），4HQ （2）如图 由翻折的性质可知：AEEM，AFFM，AFEMFE，/FM
22、AC，AEFMFE，AEFAFE，AE=AF，AEAFMFME，四边形AEMF是菱形；（3）如图，连接 MP、HP，设4AEEMFMAFm 则3BMm，5FBm，4520mm，解得209m 809AEEM 80641699ECACAE，22163CMEMEC 4QH，163AQ 323QC 设PQx，当HQPMCP时，QHPQCMPC，4163233xx 解得：327x 327PQ，当HQPPCM时，QHPQPCCM，4321633xx 解得：8x 或83 8PQ 或83 综上所述，满足条件PQ的值为327或 8 或83【点睛】本题属于相似形综合题，考查了翻折变换、三角形的面积、菱形的判定和性
23、质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 11关于 x的方程12(1)kx 和一元二次方程2(2)380k xmxm中，k，m均为实数，方程的根为非负数 （1）求 k 的取值范围；（2）当 k 为最小整数时，方程有两根分别为1p和5p，求 m的值；（3）在（2）的条件下，若直线 y=kx+1与 x 轴，y轴分别交于点 A，B，点 C是双曲线2ymx在第一象限 图像上一动点，作 CDy轴交线段 AB 于点 E，作 CFx 轴交线段 AB 于点 G，坐标原点为 O按要求补全图形并完成：BGAE_；求EOG 的
24、度数【答案】（1）k-1 且 k2；（2）m=4；（3）1；EOG=45【分析】（1）先解方程，根据方程的根为非负数及一元二次方程的定义即可得答案；（2）由（1）可知 k-1，根据 k 为最小整数可知 k=-1，可得方程为23380 xmxm，利用一元二次方程根与系数的关系即可得答案；（3）根据（2）可得直线 AB和双曲线的解析式，根据题意作出图形，过点 E 作 EPx 轴于 P，过 G作GQy轴于 Q，设点 C 坐标为（t，12t），由直线 AB 解析式可得 A、B两点坐标，可得AOB是等腰直角三角形，进而可得BQG和EPA 是等腰直角三角形，可得 BG=2QG，AE=2PE，即可得答案；如
25、图，连接 OE、OG，由得 BGAE=1，OA=OB=1，OBA=OAB=45，可得BGOAOBAE，即可证明BOGAEO，可得OGB=EOA，根据外角性质及角的和差关系可得EOG=OAB=45【详解】（1）12(1)kx，x=12k，方程12(1)kx 的根为非负数，方程2(2)380k xmxm是一元二次方程，12k 0，2-k0，解得：k-1 且 k2（2）由（1）可知 k-1，k 为最小整数，k=-1，方程为23380 xmxm，方程有两根分别为1p和5p，1p+(5p)=33m，即-m=-4，解得：m=4 （3）根据题意补全图形如下，过点 E 作 EPx 轴于 P，过 G作 GQy轴
26、于 Q，由（2）可知 k=-1，m=4，直线 AB 解析式为 y=-x+1，双曲线的解析式为2142yxx，直线 y=kx+1 与 x轴，y轴分别交于点 A，B，A（1，0），B（0，1），OA=OB=1，OBA=OAB=45，AOB是等腰直角三角形，EPx轴，GQy轴，BQG 和EPA是等腰直角三角形，BG=2GQ，AE=2PE，CDy轴，CFx 轴，GQ=CD，PE=CF，设点 C坐标为（t，12t），则 CD=t，CF=12t，BGAE=2t212t=1 如图，连接 OE、OG，由得 BGAE=1，OA=OB=1，OBA=OAB=45，BG=1AE，BGOAOBAE，BOGAEO，OGB
27、=EOA，OGB=GOA+OAB，EOA=EOG+GOA，EOG=OAB=45 【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根与系数的关系；等腰直角三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，如果两个三角形的两组对应边成比例，且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根为 x1、x2，那么 x1+x2=ba，x1x2=ca；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键 12（问题情境）如图，在Rt ABC中，90ACB，ACBC，点D为AB中点，连结CD，点E为CB上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F易知BE与CF的数量关系为_（探索发现）如图，在Rt
28、 ABC中，90ACB，ACBC，点D为AB中点，连结CD，点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F（问题情境）中的结论还成立吗？请说明理由（类比迁移）如图，在等边ABC中，4AB，点D是AB中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60交BC于点F当2CFCE时，CE _ 【答案】【问题情境】BECF；【探索发现】成立，理由见解析；【类比迁移】33或17 【分析】问题情境：根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；探索发现：根据线段的中点的定义得到 CDBD，求得DBCDCB45，得到CDFBDE，推出CF
29、BE；类比迁移：根据等边三角形的性质得到AB60，求得BDFAED，设 CEx，则 CF2x，当点E在线段 AC上时，如图，当点 E 在 AC的延长线上时，根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】问题情境：证明：在 RtABC 中，ACB90，ACBC，点 D为 AB中点，CDAB，CDBDAD12AB，BCDB45，BDC90，EDF90，CDFBDE，在BDE 与CDF中，BDCF，BDCD，BDECDF，BDECDF（ASA），BECF；探索发现:成立，理由如下：在 RtABC中，D为 AB中点，CDBD，又ACBC，DCAB，DBCDCB45，DEDF，EDF90，EDBBDFCDFB
30、DF90，CDFBDE，ADFCDE，AFCE，CFBE；类比迁移：ABC 是等边三角形，AB60，FDE60，BDF120ADE，AED120ADE，BDFAED，AEDBDF，ADAE=BFBD，点 D 为 AB中点，AB4，ADBD2，ACBC4，CF2CE，设 CEx，则 CF2x，当点 E在线段 AC 上时，AE4x，BF42x，24-x=4-2x2，解得：x33，x33（不合题意，舍去），CE33，如图，当点 E 在 AC的延长线上时，AE4x，BF42x，24+x=4-2x2，解得：x17，（负值舍去），CE17 综上所述，CE33或17，故答案为：CE33或17【点睛】本题考查
31、了几何变换综合题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键 13如图，AB是O 的直径，O过 AC 的中点 D，DEBC于点 E，连接 BD（1）求证：AB=BC；（2）求证：DEAB=ADBD 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角为 90可得ADB=BDC=90，由 SAS 证明ABDCBD，即可得 AB=BC；（2）由ABDCBD可得C=A，再由DEC=ADB=90可证ECDDAB，从而得到DECDBDAB，因为 CD AD，所以 DEAB=ADBD【详解】证明：（1）AB是O 的直径，ADB=BDC=90，D
32、是 AC 的中点，AD=CD，又BD是公共边，ABDCBD，C=A，ABBC （2）DEBC，AB是O的直径，DEC=ADB=90，又C=A，ECDDAB，DECDBDAB，CDAD，DEAB=ADBD【点睛】本题考查圆的综合题，应用到全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，掌握圆的性质为解题关键 14在平面直角坐标系 xOy中，直线1yx62 与x轴、y轴分别交于点 A、B，与直线yx相交于点C(1)直接写出点 C 的坐标；(2)如图，现将直角FCE绕直角顶点 C 旋转，旋转时始终保持直角边 CF与x轴、y轴分别交于点 F、点 D，直角边 CE与x轴交于点 E.在直角FCE旋转
33、过程中，CDCE的值是否会发生变化?若改变，请说明理由；若不变，请求出这个值.在直角FCE旋转过程中，是否存在以 C、E、F为顶点的三角形与ODE 相似?若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（4，4）；（2）不变，值为 1；存在，(0,84 2)或(0,4 2)【分析】（1）联立两直线解析式，求方程组的解即可求得点 C的坐标；（2）过点 C作 CHy轴于点 H，过点 C作 CKx 轴于点 K，则可证明CHDCKE，结合点 C 的坐标，可求得CDCE的值；分ODECEF和ODECFE 两种情况，当ODECEF时，利用相似三角形的性质可求得 O 为 EF中点，可求得 OF
34、的长，再证明CHDFOD，利用相似三角形的性质可求得 OD的长，可求得 D点的坐标；当ODECFE 时，过点 C作 CMy轴于点 M，过点 C 作 CNx轴于点 N，利用CMDCNE可证得 OC=OD，则可求得点 D 的坐标【详解】解：（1）联立两直线解析式可得162yxyx，解得44xy，(4,4)C；（2）不变；如图 1，过点C作CHy轴于点H，过点C作CKx轴于点K，则4CHCK，190DCK ，290DCK ，12，且CHDCKE，CHDCKE，414CDCHCECK；存在，1若ODECEF，如图 2，则OEDCFE，DFDE，又ODEF，OFOE，90FCE，12OCEF，在Rt C
35、HO中，由勾股定理得4 2OC，4 2OEOFOC，又/CHOF，CHDFOD，HDCHODOF，即442 2ODOD，84 2OD，(0,84 2)D；2若ODECFE，如图 3，则CEOOED 过点C作CMy轴于点M，过点C作CNx轴于点N，则4CMCN易证CMDCNE，CEOCDM，CDCE，CDE为等腰直角三角形，45CED，22.5CEOOEDCDM ，CMO为等腰直角三角形，45COM，22.5OCDCOMCDM，OCDODC，ODOC，在Rt CMO中，由勾股定理得4 2OC，4 2ODOC，(0,4 2)D；综上所述若以C、E、F为顶点的三角形与ODE相似，则D点坐标为(0,8
36、4 2)或(0,4 2)【点睛】本题为相似三角形的综合应用，涉及知识点有函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及分类讨论思想等在（1）中联立函数解析式构成方程组是求函数图象交点的常用方法，在（2）中利用相似三角形的性质得到关于 OD的方程求得 OD的长是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大 15如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF 交CD于点F （1）求证：ABEDEF；（2）连结BF，若ABEEBF，试确定点E的位置并说明理由 【答案】（1）见解析；（2）点 E为 AD的中点理由见解析【分析】（1）根据同角的余角相等证明ABE=DEF，再由直角相等
37、即可得出两三角形相似的条件；（2）根据相似三角形的对应边成比例，等量代换得出ABABDEAE，即可得出 DE=AE【详解】（1）证明四边形 ABCD是正方形，A=D=90，AEB+ABE=90，EFBE，AEB+DEF=90，ABE=DEF 在ABE和DEF中，ABEDEFAD ABEDEF；（2）ABEDEF，ABBEDEEF，ABEEBF，ABBEAEEF，ABABDEAE，DE=AE，点 E 为 AD 的中点【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据等角的余角相等证出两角相等是解决（1）的关键，根据相似三角形的对应边成比例等量代换是解决（2）的关键 16如图，在ABC中，CDAB
38、于D，BEAC于E，试说明：（1）ABEACD（2）AD BCDE AC【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接根据相似三角形的判定证明即可；（2）首先根据相似三角形的性质得出AEABADAC，进而证明ADEACB，最后根据相似三角形的性质即可证明【详解】解：（1）CDAB 于 D，BEAC 于 E，AEB=ADC=90，在ABE和ACD中 90ADCAEBAA ABEACD；（2）ABEACD，AEABADAC 在ADE 和ACB中，AEABADACAA ADEACB ADDEACBC ADBC=DEAC【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题
39、的关键 17如图，在等边三角形 ABC中，BC8，过 BC边上一点 P，作DPE60，分别与边 AB，AC相交于点D 与点 E（1）在图中找出与EPC始终相等的角，并说明理由；（2）若PDE 为正三角形时，求 BD+CE的值；（3）当 DEBC 时，请用 BP 表示 BD，并求出 BD的最大值 【答案】（1）BDPEPC，理由见解析；（2）8；（3）BD28BPBP，BD的最大值为 4【分析】（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角性质解答；（2）证明BDPCPE，根据全等三角形的性质得到 BDCP，BPCE，结合图形计算，得到答案；（3）证明BDPCPE，根据相似三角形的性质列式求出 BP与
40、 BD的关系，根据二次函数的性质求出 BD的最大值【详解】解：（1）BDPEPC，理由如下：ABC为等边三角形，B60，DPE60，DPEB，DPC是BDP的外角，DPE+EPCB+BDP，EPCBDP；（2）PDE为正三角形，PDPE，在BDP 和CPE中，BCBDPCPEPDEP BDPCPE（AAS），BDCP，BPCE，BD+CECP+BPBC8；（3）DEBC，ABC为等边三角形，ADE为等边三角形，ADAE，BDCE，BC，EPCBDP，BDPCPE，BDBPPCCE，即8BDBPBPBD 整理得，BD28BPBP，BP2+8BP（BP4）2+16，BD 的最大值为 4【点睛】此题
41、主要考查等边三角形的性质、三角形的外角性质、全等三角形的判断与性质、相似三角形的判断与性质以及二次函数的性质，灵活运用知识点进行逻辑证明是解题关键 18如图，正方形 ABCD的边长等于3，P 是 BC 边上的一动点，APB、APC的角平分线 PE、PF分别交 AB、CD于 E、F 两点，连接 EF（1）求证：BEPCPF；（2）当PAB30时，求PEF 的面积 【答案】（1）详见解析；（2）2 323【分析】（1）由于PE平分APB，PF平分APC，所以EPF90，然后根据相似三角形的判定即可求证BEPCPF；（2）由题意可知BPE30，FPC60，根据含 30 度的直角三角形的性质即可求出答
42、案【详解】（1）PE平分APB，PF平分APC，APE12APB，APF12APC，APE+APF12（APB+APC）90，EPF90，EPB+BEPEPB+FPC90，BEPFPC，BC90，BEPCPF；（2）PAB30，BPA60，BPE30，在 RtABP 中，PAB30，AB3，BP1，在 RtBPE 中，BPE30，BP1，EP2 33，CP31，FPC60，PF2CP232，PEF的面积为：12PEPF22 33【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，含 30度角的直角三角形的性质，本题属于中等题型 19已知四边形ABCD是矩形（1）如
43、图 1，EF、分别是ABCD、上的点，CE垂直平分BF，垂足为G，连接DG 求证：DGCG；若2BCAB，求DGC的大小；（2）如图 2，6ABBC，MNP、分别是ABCDAD、上的点，MN垂直平分BP，点Q是CD的中点，连接,MP PQ，若PQMP，直接写出CN的长【答案】（1）详见解析；30；（2）43【分析】（1）过 G作 MNCD于 N，与 AB交于点 M，则 MNAD，证明 AM=BM，再证明四边形 ADNM是矩形，得 MN垂直平分 CD，再根据垂直平分线定理得结论；连接 CF，证明 CF=2CD，延长 CD至 H，使得 DH=CD，连接 EH，则 CF=CH，由垂直平分线的性质得C
44、F=HF=CH，得FCD=60，由余角性质得BCF的度数，进而求得GCD，再根据三角形内角和定理得结果；（2）过N点作NKAB于点K，得四边形AKND是矩形，证明ABPKNM，得AP=KM，不妨设BM=MP=x，则 AM=6-x，证明APMDQP，列出 x的方程，求得 x 的值便可得出结论【详解】解：（1）如图 1，过 G作 MNCD于 N，与 AB交于点 M，则 MNAD，CE 垂直平分 BF，GB=GF，AM=BM，四边形 ABCD 是矩形，A=ADN=MND=90，四边形 ADNM 是矩形，DN=AM=12AB=12CD，MN 垂直平分 CD，DG=CD；连接 CF，如图 1，CE 垂直
45、平分 BF，CF=CB BCG=FCG=12BCF，四边形 ABCD 是矩形，AB=CD，CDF=BCD=90，ADBC，BC=2AB，CF=2CD，延长 CD至 H，使得 DH=CD，连接 EH，则 CF=CH，AD 垂直平分 CH，FH=FC=CH，FCD=60，BCF=90-FCD=30，BCG=FCG=15，GDC=GCD=BCD-BCG=75，CGD=180-752=30；（2）过 N点作 NKAB于点 K，得四边形 AKND是矩形，AB=AD=MN，A=MKN=90，MNBP，ABP+KMN=KMN+KNM=90，ABP=KNM，ABPKNM（ASA），AP=KM，MN 垂直平分
46、BP，MB=MP，不妨设 BM=MP=x，则 AM=6-x，AP=22(6)1236xxx，DP=61236x，Q 是 CD的中点，DQ=3，PQMP，A=D=90，APM+AMP=APM+DPQ=90，AMP=DPQ，APMDQP，PAPDQAMD，即66123133626xxx，解得，x=6或103，CN=BK=AB-AM-MK CN=0 或43 舍去 CN=0，CN=43【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，相似三角形的性质与判定，难度中等，第（2）题的关键在证明相似三角形与全等三角形 20如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边
47、上动点(不与,B C重合)连接,AE过点E作,EFAE交DC于点F 1求证：ABEECF；2连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，BAEEAF，请证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）点E在BC中点位置时，BAEEAF，证明见解析【分析】（1）先根据正方形的性质可得90BC，再根据直角三角形的性质、角的和差可得BAECEF，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得,BECHBAEH ，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AEHE，然后根据等腰三角形的判定与性质可得EAFH，最后根据等量代换即可得【详解】（1）四边形ABCD是正方形，9
48、0BC，90BAEBEA，EFAE，90AEF，90BEACEF，BAECEF，在ABE和ECF中，BCBAECEF ，ABEECF；（2）点E在BC中点位置时，BAEEAF，证明如下：如图，连接AF，延长AE于DC的延长线相交于点 H，E为BC中点，BECE，四边形ABCD是正方形，/AB DH，,BECHBAEH ，在ABE和HCE中，BAEHBECHBECE ，()ABEHCE AAS，AEHE，EFAH，AFH是等腰三角形，EAFH，BAEEAF，故当点E在BC中点位置时，BAEEAF 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质
49、等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键 21BCDABCDCEBDBEADFBEACMADCEN 1AD=BE 2ABFADB 【答案】12【解析】（1）ABCCDE、是等边三角形，060ACBECD，,ABBCAC CDCEDE，ACBACEECDACE，即ACDBCE 在ACD和BCE中，有 ACBCACDBCECDCE ACDBCE，ADBE；（2）由（1）知ACDBCE，ADBBEC，由题意知：060ABCECD，/ABCE，即ABEBEC，ABEADB，在ABF和ADB中，有：BAFBADABFADBAFBABD ，ABFADB 22如图，正方
50、形 ABCD的对角线 AC、BD 交于点 O，CBD 的平分线 BG交 AC于 E，交 CD于 F，且DGBG （1）求证：BF2DG；（2）若 BE3，求 BF的长【答案】（1）证明见解析；（2）BF的长为6【分析】（1）要证明 BF=2DG，只要证明 BF=DH 即可，根据题意和图形，作出合适的辅助线，即可得到所要证明的结论成立；（2）根据题意和三角形相似，可以得到 BF的长【详解】解：（1）证明：延长 DG、BC 交于点 H，BG 平分CBD，12，DGBG，BGDBGH90，又BGBG，BGDBGH（ASA），BDBH，DH2DG，四边形 ABCD 是正方形，BCDC，BCFDCH90