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1、解析几何 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试时间120 分钟 第卷 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2013济南模拟)若 k，1，b 三个数成等差数列，则直线 ykxb 必经过定点()A(1，2)B(1,2)C(1,2)D(1，2)【解析】依题意，kb2，b2k，ykxbk(x1)2，直线 yk(x1)2 必过定点(1，2)【答案】A 2(2013福建高考)已知集合 A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既
2、不充分也不必要条件【解析】A1，a，B1,2,3，AB，aB 且 a1，a2 或3，“a3”是“AB”的充分而不必要条件【答案】A 3(2013陕西高考)设 z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A若|z1z2|0，则 z1 z2 B若 z1 z2，则 z1z2 C若|z1|z2|，则 z1 z1z2 z2 D若|z1|z2|，则 z21z22【解析】A，|z1z2|0z1z20z1z2 z1 z2，真命题；B，z1 z2 z1 z2z2，真命题；C，|z1|z2|z1|2|z2|2z1 z1z2 z2，真命题；D，当|z1|z2|时，可取 z11，z2i，显然 z211，z221，即
3、z21z22，假命题【答案】D 4若圆心在 x 轴上、半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x2y0相切，则圆 O 的方程是()A(x 5)2y25 B(x 5)2y25 C(x5)2y25 D(x5)2y25【解析】设圆心为(a,0)(a0)，则 r|a20|1222 5，解得 a5，所以，所求圆的方程为：(x5)2y25，故选 D.【答案】D 5(2013北京高考)若双曲线x2a2y2b21 的离心率为 3，则其渐近线方程为()Ay2x By 2x Cy12x Dy22x【解析】e 3，ca 3，即a2b2a23，b22a2，双曲线方程为x2a2y22a21，渐近线方程为 y 2
4、x.【答案】B 6(2013课标全国卷)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C上，|MF|5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为()Ay24x 或 y28x By22x 或 y28x Cy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x【解析】设 M(x0，y0)，A(0,2)，MF 的中点为 N.由 y22px，Fp2，0，N 点的坐标为x0p22，y02.由抛物线的定义知，x0p25，x05p2.y0 2p5p2.|AN|MF|252，|AN|2254.x0p222y0222254.即5p2p224 2p5p2222254.2p5p2220.整理
5、得 p210p160.解得 p2 或 p8.抛物线方程为 y24x 或 y216x.【答案】C 7若变量 x，y 满足约束条件 xy2，x1，y0，则 z2xy 的最大值和最小值分别为()A4 和 3 B4 和 2 C3 和 2 D2 和 0【解析】作直线 2xy0，并向右上平移，过点 A 时 z 取最小值，过点 B时 z 取最大值，可求得 A(1,0)，B(2,0)，zmin2，zmax4.【答案】B 8(2013北京高考)直线 l 过抛物线 C：x24y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与C 所围成的图形的面积等于()A.43 B2 C.83 D.16 23【解析】由 C：x24y，知焦点
6、 P(0,1)直线 l 的方程为 y1.所求面积 S221x24dx xx3122283.【答案】C 9(2013皖南八校联考)双曲线x2my2n1(m0，n0)的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y24mx 的焦点重合，则 n 的值为()A1 B4 C8 D12【解析】抛物线焦点 F(m,0)为双曲线的一个焦点，mnm2.又双曲线离心率为 2，1nm4，即 n3m.所以 4mm2，可得 m4，n12.【答案】D 10(2013杭州质检)已知椭圆 C 的方程为x216y2m21(m0)，如果直线 y22x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A2 B2 2 C8
7、D2 3【解析】根据已知条件 c 16m2，则点(16m2，2216m2)在椭圆x216y2m21(m0)上，16m21616m22m21，可得 m2 2.【答案】B 第卷 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在题中横线上)11已知点 M(3，0)，椭圆x24y21 与直线 yk(x 3)交于点 A、B，则ABM 的周长为_【解析】因为直线过椭圆的左焦点(3，0)，所以ABM 的周长为|AB|AM|BM|4a8.【答案】8 12l1，l2是分别经过 A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当 l1，l2间的距离最大时，直线 l1的方程是_【解析】当 AB
8、l1，且 ABl2时，l1与 l2间的距离最大 又 kAB11012，直线 l1的斜率 k12，则 l1的方程是 y112(x1)，即 x2y30.【答案】x2y30 13(2013福建高考改编)双曲线x24y21 的顶点到其渐近线的距离等于_ 【解析】由x24y21 知顶点(2,0)，渐近线x2y0，顶点到渐近线的距离d252 55.【答案】2 55 14执行如图 1 所示的程序框图，若输入 n 的值为 4，则输出 s 的值为_ 图 1【解析】i1，s1s1，i2s2，i3s4，i4s7，i5结束【答案】7 15三角形 ABC 中，已知ABBCBCCACAAB6，且角 C 为直角，则角 C
9、的对边 c 的长为_【解析】由ABBCBCCACAAB6，得AB(BCCA)BCCA6，即ABBABCCA6，C90，c26，c 6.【答案】6 三、解答题(本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分 12 分)已知圆 C 的方程为：x2y22mx2y4m40(mR)(1)试求 m 的值，使圆 C 的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆 C 相切，且过点(1，2)的直线方程【解】圆 C 的方程：(xm)2(y1)2(m2)21.(1)当 m2 时，圆的半径有最小值 1，此时圆的面积最小(2)当 m2 时，圆的方程为(x2)2(y1)21，设所
10、求的直线方程为 y2k(x1)，即 kxyk20，由直线与圆相切，得|2k1k2|k211，k43，所以切线方程为y243(x1)，即 4x3y100，又因为过点(1，2)且与 x 轴垂直的直线 x1 与圆也相切，所以所求的切线方程为x1 或 4x3y100.17(本小题满分 12 分)(2013山东高考改编)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C 的中心在原点 O，焦点在 x 轴上，短轴长为 2，离心率为22.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 A，B 是椭圆 C 上的两点，AOB 的面积为64.若 A、B 两点关于 x 轴对称，E 为线段 AB 的中点，射线 OE 交椭圆 C 于点 P
11、.如果OPtOE，求实数 t的值【解】(1)设椭圆 C 的方程为：x2a2y2b21(ab0)，则 c2a2b2，ca22，2b2，解得 a 2，b1，故椭圆 C 的方程为x22y21.(2)由于 A、B 两点关于 x 轴对称，可设直线 AB 的方程为 xm(2x 2，且 m0)将 xm 代入椭圆方程得|y|2m22，所以 SAOB|m|2m2264.解得 m232或 m212.又OPtOE12t(OAOB)12t(2m,0)(mt,0)，又点 P 在椭圆上，所以mt221.由得 t24 或 t243.又因为 t0，所以 t2 或 t2 33.18(本小题满分 12 分)如图 2，四棱柱 AB
12、CDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O平面 ABCD，ABAA1 2.图 2(1)证明：A1C平面 BB1D1D；(2)求平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角 的大小【解】(1)证明 法一：由题设易知 OA，OB，OA1两两垂直，以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ABAA1 2，OAOBOA11，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，A1(0,0,1)由A1B1AB，易得 B1(1,1,1)A1C(1,0，1)，BD(0，2,0)，BB1(1,0,1)，A1CBD0，A1CBB10，A1CBD，A1CBB1，又
13、BDBB1B，A1C平面 BB1D1D，A1C平面 BB1D1D.法二：A1O平面 ABCD，A1OBD.又ABCD 是正方形，BDAC，BD平面 A1OC，BDA1C.又 OA1是 AC 的中垂线，A1AA1C 2，且 AC2，AC2AA21A1C2，AA1C 是直角三角形，AA1A1C.又 BB1AA1，A1CBB1，A1C平面 BB1D1D.(2)设平面 OCB1的法向量 n(x，y，z)OC(1,0,0)，OB1(1,1,1)，nOCx0，nOB1xyz0，x0，yz.取 n(0,1，1)，由(1)知，A1C(1,0，1)是平面 BB1D1D 的法向量，cos|cosn，A1C|12
14、212.又02，3.19(本小题满分 12 分)(2013广东高考)设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn，满足 4Sna2n14n1，nN*，且 a2，a5，a14构成等比数列(1)证明：a2 4a15；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有1a1a21a2a31anan10，所以 a2 4a15.(2)因为 4Sna2n14n1，所以当 n2 时，4Sn1a2n4(n1)1，由得 4ana2n1a2n4，即 a2n1a2n4an4(an2)2(n2)因为 an0，所以 an1an2，即 an1an2(n2)因为 a2，a5，a14成等比数列，所以 a25a2a
15、14，即(a232)2a2(a2122)，解得 a23.又由(1)知 a2 4a15，所以 a11，所以 a2a12.综上知 an1an2(nN*)，所以数列an是首项为 1，公差为 2 的等差数列 所以 an12(n1)2n1.所以数列an的通项公式为 an2n1(nN*)(3)证明：由(2)知1anan112n12n1 1212n112n1，所以1a1a21a2a31anan1 12113131512n112n1 12112n11214n20)的焦点，M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点，过 M，F，O 三点的圆的圆心为 Q，点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为34.(1)求抛物线
16、 C 的方程；(2)是否存在点 M，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由【解】(1)依题意知 F(0，p2)，圆心 Q 在线段 OF 的垂直平分线 yp4上，因为抛物线 C 的准线方程为 yp2，所以3p434，即 p1.因此抛物线 C 的方程为 x22y.(2)假设存在点 M(x0，x202)(x00)满足条件，抛物线 C 在点 M 处的切线斜率为y|xx0(x22)|xx0 x0，所以直线 MQ 的方程为 yx202x0(xx0)令 y14得 xQx0214x0，所以 Q(x0214x0，14)又|QM|OQ|，故(14x0 x02)2(14x202)2(14x0 x02)2116，因此(14x202)2916.又 x00，所以 x0 2，此时 M(2，1)故存在点 M(2，1)，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M.