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1、2019 全国研究生招生考试数学二真题及答案解析一、选择题1.当时，若与是同阶无穷小，则0xxxtankxkA.1.B.2. C.3.D.4.2.的拐点）（202xxcosxsinxyA.B. 2,22 , 0C.D.2 ,23,233.下列反常积分收敛的是（）A.B.dxxex0dxxex02C.D.dxxx021arctandxxx0214.c ,b ,a,xCCycebyyayx-xx则的通解为已知e)e(21 的值为（ ） A.1,0,1 B.1,0,2 C.2,1,3 D.2,1,45.已知积分区域， 2yx|y, xD）（dxdyyxI D22 1，试比较的大小dxdyyxI D2
2、2 2sindxdyyxI D)cos122 3321,IIIA.B.123III321IIIC.D.312III132III6.已知是二阶可导且在处连续，请问相切于且曲率相等是)()(xgxfax )()(xgxfa的什么条件？0)()()(lim2axxgxfaxA.充分非必要条件B.充分必要条件 C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件7.设是四阶矩阵，是的伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只有 2 个向A*AA0Ax量，则的秩是*AA.0B.1 C.2D.38.设是 3 阶实对称矩阵，是 3 阶单位矩阵，若，且，则二次型AEEAA224A的规范形为AxxTA.B.2 32 22 1y
3、yy2 32 22 1yyyC.D.2 32 22 1yyy2 32 22 1yyy二、填空题9.2 lim(2 )xxxx 10.曲线在对应点处切线在 y 轴上的截距为sin1 cosxttyt 3 2t11.设函数可导，则( )f u2 ()yzyfx2zzxyxy12. 设函数的弧长为lncos6yxx（0）13. 已知函数，则2sin( )xttf xxdtt10( )f x dx 14.已知矩阵，表示中元的代数余子式，则11 002 11132 210034A ijAA( , )i j1112AA三、解答题：1523 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15
4、.（本题满分 10 分）已知函数，求 010)(2xxexxxfxx的极值并求)()(xfx f16.（本题满分 10 分）求不定积分.dxxxxx ) 1() 1(632217.（本题满分 10 分）是微分方程满足条件的特解.)(xyy 2221x exxyyey) 1 (（1）求)(xy（2）设平面区域，求 D 绕x轴旋转一周所)x( yy,xy,D021x）（得旋转体的体积. 18.（本题满分 10 分）已知平面区域满足，求D4322yyx|y, x.dxdyyxyxD2219.（本题满分 10 分）的图像与 x 轴所谓图形的面积，求，并求xxfS ,Nnxnsine)(是nS.Sn n
5、lim20.（本题满分 11 分）已知函数满足求的值，使得在变)(y, xu,yu xu yu xu033222222 b ,a换下，上述等式可化为不含一阶偏导数的等式.byaxy, xvy, xu)e()()(y, xv21.（本题满分 11 分）已知函数在上具有二阶导数，且，证明：),(yxf 1 , 0101)(, 1) 1 (, 0)0(dxxfff（1）存在，使得；) 1 , 0(0)(f（2）存在，使得.) 1 , 0(2)( f22.（本题满分 11 分）已知向量组（）， 4111 4012 32123 a（），若向量组（）和向量组（）等价， 3111 a a1202 33123
6、 a求的取值，并将用线性表示.a321,23.（本题满分 11 分）已知矩阵相似与 yBxA0001001220022122（1）求，yx,（2）求可逆矩阵使得,PBAPP12019 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析（数学二）数学试题解析（数学二）1.C2.C3.D4.D5.A6.C7.A8.C9.24e10.22311.z12.3ln2113.) 11(cos4114.4 15.解：当时，.0x 22 ln2 ln22ln2 =2ln2xxxxxxfxxeexxx当时，.0x e1ee1exxxxfxxxx当时，=0x 01f， 22 ln000112 l
7、n0limlimlimxxxxxxxexxfxxx . 001 10limlim1x xxxxefex 故. 22ln2 0=1e0xxxxxfxxx令，得. =0fx1 12,1xex （1）当单调递减， 10,0,xefxf x当单调递增， 1,0,xefxf x，+故为极小值. 211=ef ee（2）当单调递增， 0 ,0,xfxf x-1，当单调递减， 10,0,xefxf x故为极大值. 0 =1f（3）当单调递减， , 1 ,0,xfxf x 当单调递增， 0 ,0,xfxf x-1，故为极小值. 11 =1fe16.17.18.2333sin54444 044433222444
8、44sin11=sinsincos22111 coscos1 2coscoscos2243 2 120rIdrdrddrdd 19.20.解：,ax byu x yv x y e，22 2 2222 2 22ax byax byax byax byax byax byax byax byax byax byax byax byuveavexx uvebveyyuvvveaeaea vexxxx uvvvebebeb veyyyy 带入得，解得.430 340a b 3 4 3 4ab 21. 22.解：123123 2222111101,10212344+33 1+31111010110220
9、011 11aaaaaaaa （1）当，即时，此时两个向量210a 1a 123123,3,3rr 组必然等价，且.3123=+（2）当时，=1a123123111101 ,011022 000000 此时两个向量组等价，.3123=232+kkk（3）当时，.=1a123123111101 ,011022 000220 此时两个向量组不等价.23.（1）与相似，则，即，解得AB( )( )tr Atr BAB41 482xy xy 3 2x y （2）的特征值与对应的特征向量分别为A，；，；，.1=211 =2 0 2= 122 =1 0 3=231 =2 4 所以存在，使得.1123=P,1 112 1 2P AP 的特征值与对应的特征向量分别为B，；，；，.1=211 = 0 0 2= 121 =3 0 3=230 = 0 1 所以存在，使得.2123=P ,1 222 1 2PAP 所以，即11 2211=PAPP AP 111 2112BP P APPPAP其中.1 12111 212 004PPP