《2023届张家口市重点中学九年级数学第一学期期末教学质量检测试题含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届张家口市重点中学九年级数学第一学期期末教学质量检测试题含解析.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022-2023 学年九上数学期末模拟试卷 注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)1在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（）A平移、旋转和轴对称 B轴对称和平移 C平移和旋转 D旋转和轴对称 22020 的相反数
2、是（）A12020 B12020 C-2020 D2020 3 如图，平行四边形HEFG的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上./NE AD，分别交DC，HG，AB于点N，M，E，且CGMN.要求得平行四边形HEFG的面积，只需知道一条线段的长度.这条线段可以是（）AEH BAE CEB DDH 4如图，O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120，那么圆心O到弦AB的距离等于（）A1 B3 C2 D2 3 5将抛物线 的图象先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A B C D 6已知正多边形的一个内角是 135，则这个正多边形的边数是（）A3 B4
3、 C6 D8 7如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果ACD34，那么BAD 等于（）A34 B46 C56 D66 8袋子中装有 4 个黑球和 2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球下列事件是必然事件的是（）A摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B摸出的三个球中至少有一个球是白球 C摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D摸出的三个球中至少有两个球是白球 9关于 x 的一元二次方程2(3)(2)0 xxp的根的情况是（）A有两个不相等的实数根 B没有实数根 C有两个相等的实数根 D不确定 10点 A(3，2)关于 x 轴的对称点 A的
4、坐标为（）A(3，2)B(3，2)C(3，2)D(3，2)二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)11有一个二次函数的图象,三位同学分别说了它的一些特点:甲:图象与x轴只有一个交点；乙:图象的对称轴是直线3x ；丙:图象有最高点，请你写出一个满足上述全部特点的二次函数的解析式_.12小明制作了一张如图所示的贺卡.贺卡的宽为xcm，长为40cm，左侧图片的长比宽多4cm.若1416x，则右侧留言部分的最大面积为_2cm.13已知抛物线2yxbxc经过点0,5A、4,5B，那么此抛物线的对称轴是_ 14当m_时，关于x的方程22(1)2(1)10mxmx 有实数根 15已知：如图，点P是边长为2
5、的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M是AB边的中点，且60BAD，则MPPB的最小值是 _ 16已知 y与 x的函数满足下列条件：它的图象经过（1，1）点；当1x 时，y随 x的增大而减小写出一个符合条件的函数：_ 17若6ab，4ab，则22ab_.18如图，AB为O的直径，C、D 为O上的点，弧 AD=弧 CD若CAB40，则CAD_ 三、解答题(共 66 分)19（10 分）如图，某货船以 24 海里/时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处，在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 60的方向上该货船航行 30 分钟后到达 B 处，此时再测得该岛在北偏东 30的方向上，（
6、1）求 B 到 C 的距离；（2）如果在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁 若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由（31.732）20（6 分）某商店代销一批季节性服装，每套代销成本 40 元，第一个月每套销售定价为 52 元时，可售出 180 套；应市场变化调整第一个月的销售价，预计销售定价每增加 1 元，销售量将减少 10 套（1）若设第二个月的销售定价每套增加 x 元，填写下表 时间 第一个月 第二个月 每套销售定价（元）销售量（套）（2）若商店预计要在这两个月的代销中获利 4160 元，则第二个月销售定价每套多少；（3）求当 4x6 时第二个月销售利润的最大值 21（6
7、 分）边长为 2 的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DEDC，DEDC.以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t秒.过点P作PFCD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.22（8 分）关于x的一元二次方程2x2xm0的两个实数根分
8、别为1x，2x.（1）求m的取值范围；（2）若1212102xxx x，求m的值.23（8 分）在一个不透明的袋子中装有 3 个乒乓球，分别标有数字 1，2，3，这些乒乓球除所标数字不同外其余均相同先从袋子中随机摸出 1 个乒乓球，记下标号后放回，再从袋子中随机摸出 1 个乒乓球记下标号，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的乒乓球标号之和是偶数的概率 24（8 分）如图所示，在边长为 1 的正方形组成的网格中，AOB 的顶点均在格点上，点 A，B 的坐标分别是A（3，3）、B（1，2），AOB 绕点 O逆时针旋转 90后得到 A1OB1（1）画出 A1OB1，直接写出点 A1，B1的坐标；
9、（2）在旋转过程中，点 B经过的路径的长 25（10 分）先阅读，再填空解题：（1）方程：220 xx的根是：1x _，2x _，则12xx_，12x x _（2）方程22730 xx的根是：1x _，2x _，则12xx_，12x x _（3）方程2450 xx的根是：1x _，2x _，则12xx_，12x x _（4）如果关于x的一元二次方程20axbxc（0a 且a、b、c为常数）的两根为1x，2x，根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：12xx，12x x与系数a、b、c有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由 26（10 分）解方程：4x28x+3=1 参考答案 一、选择题(每小题
10、3 分,共 30 分)1、D【分析】根据图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，里外各一个顺时针旋转 8 次，可得答案【详解】解：图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，得轴对称 里外各一个顺时针旋转 8 次，得旋转 故选：D【点睛】本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形观察时要紧扣图形变换特点，认真判断 2、C【分析】根据相反数的定义选择即可.【详解】2020 的相反数是-2020，故选 C.【点睛】本题考查相反数的定义，注意区别倒数，绝对值，负倒数等知识，掌握概念是关键 3、C【分析】根据图形
11、证明 AOECOG，作 KMAD，证明四边形 DKMN 为正方形，再证明 Rt AEHRt CGF，Rt DHGRt BFE，设正方形ABCD边长为 a，CG=MN=x，根据正方形的性质列出平行四边形HEFG的面积的代数式，再化简整理，即可判断.【详解】连接 AC,EG，交于 O点，四边形HEFG是平行四边形，四边形ABCD是正方形，GO=EO,AO=CO,又AOE=COG AOECOG，GC=AE,NEAD，四边形 AEND 为矩形，AE=DN,DN=GC=MN 作 KMAD，四边形 DKMN 为正方形，在 Rt AEH 和 Rt CGF 中，AECGHEFG Rt AEHRt CGF，AH
12、=CF,AD-AH=BC-CF DH=BF,同理 Rt DHGRt BFE，设 CG=MN=x，设正方形ABCD边长为 a 则 SHDG=12DHx+12DGx=SFBE SHAE=12AHx=SGCF S平行四边形EFGH=a2-2SHDG-2SHAE=a2-(DH+DG+AH)x,DG=a-x S平行四边形EFGH=a2-(a+a-x)x=a2-2ax+x2=(a-x)2 故只需要知道 a-x 就可以求出面积 BE=a-x，故选 C.【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是根据题意设出字母，表示出面积进行求解.4、C【分析】过 O作 ODAB 于 D,根据等腰三角形三线合一得BOD=
13、60，由 30角所对的直角边等于斜边的一半求解即可.【详解】解：过 O作 ODAB，垂足为 D,OA=OB,BOD=12AOB=12120=60,B=30,OD=12OB=124=2.即圆心O到弦AB的距离等于 2.故选：C.【点睛】本题考查圆的基本性质及等腰三角形的性质，含 30角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，解直角三角形是解答此题的关键.5、B【解析】根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可.【详解】y=2x2向右平移 2 个单位得 y=2（x2）2，再向上平移 3 个单位得 y=2（x2）2+3.故选 B.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成
14、顶点式 y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”6、D【分析】根据正多边形的一个内角是 135，则知该正多边形的一个外角为 45，再根据多边形的外角之和为 360，即可求出正多边形的边数【详解】解：正多边形的一个内角是 135，该正多边形的一个外角为 45，多边形的外角之和为 360，边数360845，这个正多边形的边数是 1 故选：D【点睛】本题考查了正多边形的内角和与外角和的知识，知道正多边形的外角之和为 360是解题关键 7、C【解析】由 AB是O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得AD
15、B90，又由ACD34，可求得ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案【详解】解：AB是O的直径，ADB90，ACD34，ABD34 BAD90ABD56，故选：C【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用 8、A【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可.【详解】A、是必然事件；B、是随机事件，选项错误；C、是随机事件，选项错误；D、是随机事件，选项错误 故选 A 9、A【分析】将方程化简，再根据24bac 判断方程的根的情况.【详解】解：原方程可化为22560 xxp，222(5)4(6)10pp 所以
16、原方程有两个不相等的实数根.故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，灵活利用的正负进行判断是解题的关键.当 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程没有实数根.10、D【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质得出符合题意的答案【详解】解：点 A（3，2）关于 x 轴的对称点 A的坐标为：（3，2），故选：D【点睛】本题考查了关于 x 轴对称的点的坐标特征，关于 x 轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数 二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)11、2(3)yx（答案不唯一）【解析】利用二次函数的顶点式解决问题即可【详解】由题意抛物线的顶点坐标
17、为（3，0），设抛物线的解析式为 ya（x3）1 开口向下，可取 a=1，抛物线的解析式为 y=（x3）1 故答案为 y=（x3）1（答案不唯一）【点睛】本题考查了抛物线与 x轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 12、320【分析】先求出右侧留言部分的长，再根据矩形的面积公式得出面积与 x 的函数解析式，利用二次函数的图像与性质判断即可得出答案.【详解】根据题意可得，右侧留言部分的长为(36-x)cm 右侧留言部分的面积22363632432418324x xxxx 又 14x16 当 x=16 时，面积最大21618324320(2)cm 故答案为
18、 320.【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，比较简单，解题关键是根据题意写出面积的函数表达式.13、直线2x 【分析】根据点 A、B 的纵坐标相等判断出 A、B关于对称轴对称，然后列式计算即可得解【详解】解：点0,5A、4,5B的纵坐标都是 5 相同，抛物线的对称轴为直线0422x 故答案为：直线2x 【点睛】此题考查二次函数的性质，观察出 A、B 是对称点是解题的关键 14、1【分析】根据题意分关于x的方程为一元一次方程和一元二次方程进行分析计算.【详解】解：当关于x的方程为一元一次方程时，有210m ，解得1m ，又因为1m 时，方程无解，所以1,1mm；当关于x的方程为一元二次方程
19、时，根据题意有2222(1)4(1)0mm，解得1m；综上所述可知：1m.故答案为：1.【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解答此题时要注意关于x的方程为一元一次方程的情况.15、3【分析】找出 B 点关于 AC 的对称点 D，连接 DM，则 DM 就是 PM+PB 的最小值，求出即可【详解】解：连接 DE 交 AC 于 P，连接 BD，BP，由菱形的对角线互相垂直平分，可得 B、D 关于 AC 对称，则 PD=PB，PE+PB=PE+PD=DE，即 DM 就是 PM+PB 的最小值，BAD=60，AD=AB，ABD 是等边三角形，AE=BE，DEAB（等腰三角形三线合一的性质）在 RtA
20、DE 中，DM=22ADAM=2221=3 故 PM+PB 的最小值为3 故答案为：3 【点睛】本题考查的是最短线路问题及菱形的性质，由菱形的性质得出点 D 是点 B关于 AC 的对称点是解答此题的关键 16、y=-x+2（答案不唯一）【解析】图象经过（1，1）点；当 x1 时y 随 x 的增大而减小，这个函数解析式为 y=-x+2，故答案为 y=-x+2（答案不唯一）17、28【分析】先根据完全平方公式把22ab变形，然后把6ab，4ab 代入计算即可.【详解】6ab，4ab，22ab(a+b)2-2ab=36-8=28.故答案为：28.【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全
21、平方公式(ab)2=a22ab+b2是解答本题的关键.18、25【分析】先求出ABC50，进而判断出ABDCBD25，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论【详解】解：如图，连接 BC，BD，AB为O的直径，ACB90，CAB40，ABC50，弧 AD=弧 CD ABDCBD12ABC25，CADCBD25 故答案为：25 【点睛】本题考查的是圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线.三、解答题(共 66 分)19、（1）12 海里；（2）该货船无触礁危险，理由见解析【分析】（1）证出BACACB，得出 BCAB24306012 即可；（2）过点 C 作
22、CDAD于点 D，分别在 Rt CBD、Rt CAD 中解直角三角形，可先求得 BD 的长，然后得出 CD 的长，从而再将 CD 与 9 比较，若大于 9 则无危险，否则有危险【详解】解：（1）由题意得：BAC901030，MBC903010，MBCBAC+ACB，ACBMBCBAC30，BACACB，BCAB24306012（海里）；（2）该货船无触礁危险，理由如下：过点 C 作 CDAD 于点 D，如图所示：EAC10，FBC30，CAB30，CBD10 在 Rt CBD 中，CD3BD，BC=2BD,由（1）知 BC=AB,AB=2BD.在 Rt CAD 中，AD3CD3BDAB+BD1
23、2+BD，BD1 CD13 139，货船继续向正东方向行驶无触礁危险 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题 20、（1）52；52+x；180；180-10 x；（2）1 元；（3）2240 元【分析】（1）本题先设第二个月的销售定价每套增加 x 元，再分别求出销售量即可；（2）本题先设第二个月的销售定价每套增加 x 元，根据题意找出等量关系列出方程，再把解得的 x 代入即可（3）根据利润的表达式化为二次函数的顶点式，即可解答本题【详解】解：（1）若设第二个月的销售定价每套增加 x 元，填写下表：时
24、间 第一个月 第二个月 销售定价（元）52 52+x 销售量（套）180 180-10 x 故答案为：52；52+x；180；180-10 x（2）若设第二个月的销售定价每套增加 x 元，根据题意得：（52-40）180+（52+x-40）（180-10 x）=411，解得：x1=-2（舍去），x2=8，当 x=-2 时，52+x=50（舍去），当 x=8 时，52+x=1 答：第二个月销售定价每套应为 1 元（3）设第二个月利润为 y 元 由题意得到：y=（52+x-40）（180-10 x）=-10 x2+1x+211=-10（x-3）2+2250-100 当 4x6 时，y 随 x 的增
25、大而减小，当 x=4 时，y 取最大值，此时 y=2240，52+x=52+4=56，即要使第二个月利润达到最大，应定价为 56 元，此时第二个月的最大利润是 2240 元【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件 21、（1）212(2)33yx；（2）1t 或52t 时，以点P，F，D为顶点的三角形与COD相似；（3）存在，四边形MDEN是平行四边形时，1(2,1)M，1(4,2)N；四边形MNDE是平行四边形时，2(2,3)M，2(0,2)N；四边形NDME是平行四边形时，322,3M，312,3N【分析】（1）根据正方形的性质，可得
26、 OAOC，AOCDGE，根据余角的性质，可得OCDGDE，根据全等三角形的判定与性质，可得 EGOD1，DGOC2，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分类讨论：若DFPCOD，根据相似三角形的性质，可得PDFDCO，根据平行线的判定与性质，可得PDOOCPAOC90，根据矩形的判定与性质，可得 PC 的长；若PFDCOD，根据相似三角形的性质，可得DPFDCO，PDDFCDOD，根据等腰三角形的判定与性质，可得 DF 于 CD 的关系，根据相似三角形的相似比，可得 PC 的长；（3）分类讨论：当四边形NDME是平行四边形时，四边形MNDE是平行四边形时，四边形MDEN是平行四边形时，根据
27、一组对边平行且相等的四边形式平行四边，可得答案【详解】解：（1）过点E作EGx轴于G点.四边形OABC是边长为 2 的正方形，D是OA的中点，2OAOC，1OD，90AOCDGE.90CDE，90ODCGDE.90ODCOCD，OCDGDE.在OCD和GED中CODDGEOCDGDEDCDE ，ODCGED AAS，1EGOD，2DGOC.点E的坐标为(3,1).抛物线的对称轴为直线AB即直线2x，可设抛物线的解析式为2(2)ya xk，将C、E点的坐标代入解析式，得421akak，解得1323ak.抛物线的解析式为212(2)33yx；（2）若DFPCOD，则PDFDCO，/PD OC，90
28、PDOOCPAOC ，四边形PDOC是矩形，1PCOD，1t；若PFDCOD，则PDFDCO，PDDFCDOD.9090PCFDCODPFPDF.PCPD，12DFCD.22222215CDODOC，5CD，52DF.PDDFCDOD，55522PCPD，52t，综上所述：1t 或52t 时，以点P，F，D为顶点的三角形与COD相似：（3）存在，若以 DE 为平行四边形的对角线，如图 2，此时，N 点就是抛物线的顶点（2，23），由 N、E 两点坐标可求得直线 NE 的解析式为：y13x；DMEN，设 DM 的解析式为：y13xb，将 D（1，0）代入可求得 b13，DM 的解析式为：y13x
29、13，令 x2，则 y13，M（2，13）；过点 C 作 CMDE 交抛物线对称轴于点 M，连接 ME，如图 3，CMDE，DECD，CMCD，OCCB，OCDBCM，在OCD 和BCM 中 BCMOCDCBMCODCOCB，OCDBCM（ASA），CMCDDE，BMOD1，CDEM 是平行四边形，即 N 点与 C 占重合，N（0，2），M（2，3）；N 点在抛物线对称轴右侧，MNDE，如图 4，作 NGBA 于点 G，延长 DM 交 BN 于点 H，MNED 是平行四边形，MDEMNE，ENHDHB，BNDF，ADHDHBENH，MNBEDF，在BMN 和FED 中 MBNEFDBNMFDE
30、MNDE BMNFED（AAS），BMEF1，BNDF2，M（2，1），N（4，2）；综上所述，四边形MDEN是平行四边形时，1(2,1)M，1(4,2)N；四边形MNDE是平行四边形时，2(2,3)M，2(0,2)N；四边形NDME是平行四边形时，322,3M，312,3N.【点睛】本题考查了二次函数综合题，（1）利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式；（2）利用了相似三角形的性质，矩形的判定，分类讨论时解题关键；（3）利用了平行四边形的判定，分类讨论时解题关键 22、（1）1m；（2）m=-1.【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根可得：0，列出
31、不等式即可求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系，分别表示出12xx和12x x，然后代入已知等式即可求出 m的值.【详解】（1）解：由题可知：224m0 解出：1m（2）解：由根与系数的关系得：122xx，12x xm 又1212102xxx x 1202m 解出：1m 【点睛】此题考查的是求一元二次方程的参数的取值范围和参数的值，掌握一元二次方程根的情况与的关系和根与系数的关系是解决此题的关键.23、图形见解析，概率为59【分析】根据题意列出树形图,再利用概率公式计算即可.【详解】根据题意，列表如下：共有 9 种结果，并且它们出现的可能性相等，符合题意的结果有 5 种，(59P和为偶数
32、）.【点睛】本题考查概率的计算,关键在于熟悉树形图和概率公式.24、（1）A1（3，3），B1（2，1）；（2）52 【解析】试题分析：（1）根据网格结构找出点,A B绕点O逆时针旋转 90后的对应点11,A B的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；（2）利用勾股定理列式求出OB的长，再利用弧长公式列式计算即可得解；试题解析：（1）如图，1133,21.AB，（2）由 12B，可得：5.OB 1BB 9055.1802 25、（1）-2，1，-1，2；（2）3，12，72，32；（3）5，-1，4，-5；（4）12bxxa，12cxxa，理由见解析【分析】（1）利用十字
33、相乘法求出方程的解，即可得到答案；（2）利用十字相乘法求出方程的解，即可得到答案；（3）利用十字相乘法求出方程的解，即可得到答案；（4）利用公式法求出方程的解，即可得到答案.【详解】（1）220 xx，（x+2）（x-1）=0，12x ，21x，121xx，122x x ；故答案为：-2，1，-1，2；（2）22730 xx，（x-3）（2x-1）=0，13x，212x，1272xx，1232x x，故答案为：3，12，72，32；（3）2450 xx，（x-5）（x+1）=0，15x，21x ，124xx，125x x ，故答案为：5，-1，4，-5；（4）12xx，12x x与系数a、b、
34、c的关系是：12bxxa，12cxxa，理由是20axbxc(0)a 有两根为 2142bbacxa，2242bbacxa，1222bbxxaa，2212244bbaccx xaa【点睛】此题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根据方程的特点选择适合的解法是解题的关键.26、1231,22xx【解析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为 1，两因式中至少有一个为 1 转化为两个一元一次方程来求解【详解】分解因式得：（2x-3）（2x-1）=1，可得 2x-3=1 或 2x-1=1，解得：x1=32，x2=12【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键