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1、努力的你，未来可期!精品 鹤岗一中 2021 届高三上学期第二次月考 数（文科）试题 一、选择题（本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1设集合2230Ax xx，2log1Bxx，则AB（）A02xx B01xx C31xx D12xx 2设,a bR，若0ab，则下列不等式中正确的是（）A0ba B330ab C220ab D0ba 3ABC中，cos,sinmAA，cos,sinnBB，若12m n，则角C为()A3 B23 C6 D56 4世界上最古老的数学著作莱茵德纸草书中有一道这样的题目：把 60 磅面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的12是较小
2、的三份之和，则最小的 1 份为（）A163磅 B53磅 C49磅 D43磅 5已知复数13aizi为纯虚数（其中 i为虚数单位），则实数a（）A3B3C13D13 6已知1sin35，则sin 26（）努力的你，未来可期!精品 A225 B2325 C225 D2325 7函数lg1()xxf xx的函数图象是（）ABCD 8若数列 na是等差数列，首项10a，202020210aa，202020210aa，则使前n项和0nS 成立的最大自然数n是（）A4040 B4041 C4042 D4043 9在ABC中，内角、ABC所对的边分别为 a、b、c，给出下列四个结论：若ABC，则sinsin
3、sinABC；等式coscoscaBbA一定成立；sinsinsinabcABC；若ABACABAC0BC，且ABACABAC12，则ABC为等边三角形；以上结论正确的个数是（）A1 B2 C3 D4 10己知奇函数()f x的导函数为()fx，xR当(0,)x时，()()0 xfxf x若()2(2)(2)af afaaf a，则实数a的取值范围是（）A(,1)B 1,1 C(,11,)D1,)11若函数 2xef xm xx 恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）努力的你，未来可期!精品 A1,4 B1,14 C1,4 D4,12已知函数3()242()xxf xxxee，若2(52
4、)(3)0fafa，则实数 a的取值范围是（）A1,23 B2 1,3 C2,13 D1 2,3 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若关于 x的不等式220 xax在区间1,4上有解，则实数 a的取值范围为_.14ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知sinsin2 2 sinsinbCcBaBC，2226bca，则ABC的面积为_ 15下列说法中 对于命题p：存在00sin1xx，R，则p：sin1xx，R；命题“若01a，则函数 xfxa在R上是增函数”的逆命题为假命题；若pq为真命题，则pq，均为真命题；命题“若22 0 xx ，则2x”的逆否命
5、题是“若2x，则220 xx”其中错误的是_ 16已知数列na与 nb满足13nnaa，11nnbb，613ba，若(21)36nnab，对一切*nN恒成立，则实数的取值范围是_ 努力的你，未来可期!精品 三、解答题（本题共 6 道题，第 17 题 10 分，其它 5 道题各 12 分，共 70 分）17ABC的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且sin3 cosbCcB （1）求 B；（2）若2 3,4bac，求ABC的周长 18已知等比数列 na的各项均为正，且124212,72aaaa（1）求数列 na的通项公式；（2）若311log,nnnnnbacb b，求数列 nc的前n
6、项和nT 19已知函数325f xxaxbx，曲线 yf x在点 1,1Pf处的切线方程为31yx（1）求,a b的值；（2）求 yf x在3,1上的最大值 20已知正项数列 na的前n项和为nS，对任意nN，点,nna S都在函数 22f xx的图象上.（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列21nnbna，求数列 nb的前n项和nT；21已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为,a b c，其外接圆半径R满足22232cosRacBac.（1）求B的大小；努力的你，未来可期!精品（2）已知ABC的面积312abcS，求ac的取值范围.22已知函数 11 lnxxf xx，lng
7、xxmx mR.（1）求函数 g x的单调区间；（2）当0m 时，对任意的 11,2x，存在21,2x，使得 123f xmg x成立，试确定实数 m 的取值范围 努力的你，未来可期!精品 鹤岗一中 2021 届高三上学期第二次月考 数学文科试题参考答案 1B 由题意可得31Axx，02Bxx，2D【解析】解析】利用赋值法:令1,0ab排除 A,B,C,选 D.3B cos,sinmAA，cos,sinnBB，1coscossinsincoscos2m nABABABC，1cos2C ，故23C.故选：B.4D 由于数列为等差数列，设最小一份为1a，且公差为d，依题意可知451235260aa
8、aaaS，即111272 3351060adadad，解得143a.故选D.故选：B.5A 由题意，复数1313313331010aiiaiaaziiii，努力的你，未来可期!精品 因为复数z为纯虚数，可得30310aa，解得3a.故选：A.6D 解：因为223cos212sin3325，即223cos 2325，则2223sin 2sin 2cos 2632325 故选：D 7A 首先去绝对值化得函数为lg11()lg 101lg 10 xxf xxxx x，结合对数型复合函数的单调性即可得出选项.【详解】去绝对值可得lg11lg1()lg 101lg 10 xxxxf xxxxx x，当1
9、x 时，lg1yx单调递增，当01x时，lg 1yx单调递减，且0y，当0 x 时，lg 1yx 单点递增，且0y，综上只有 A符合，故选：A 8A 努力的你，未来可期!精品 202020210aa，2020a和2021a异号，又数列 na是等差数列，首项10a，na是递减的数列，202020210,0aa，202020210aa，140404040202020214040()2020()02aaSaa，14041404120214041()404102aaSa，满足0nS 的最大自然数n为 4040 9D ABC，abc，又2sinsinsinabcRABC sinsinsin222abcA
10、BCRRR，sinsinsinABC 故成立；sinsinCC sinsinCAB sinsincossincosCABBA coscoscaBbA；故成立；努力的你，未来可期!精品 2sinsinsinabcRABC sinsinsin222abcABCRRR，20sinsinsin222abcabcabcRabcABCabcRRR sinsinsinabcABC；故成立；AB|AB|表示为AB边的单位向量，AC|AC|表示为AC边的单位向量，所以（ABAC|AB|AC|）.0BC 表示|AB|AC|，又12ABAC.cosBAC|AB|AC|，60BAC 所以ABC为等边三角形 故成立.故
11、选：D.10.D 设()()g xxf x()()()0g xf xxfx所以当(0,)x时，()g x是增函数，因为()f x是奇函数，所以有()()fxf x，因此有()()()()()gxx fxxf xg x，所以()g x是偶函数，努力的你，未来可期!精品 而2(2)(2)2(2)(2)(2)(2)faaf afaafaa fa，()2(2)(2)af afaaf a可以化为()(2)(2)()(2)af aa fag aga，()g x是偶函数，所以有()(2)()(2)g agag aga，当(0,)x时，()g x是增函数，所以有21aaa，故本题选 D.11C 函数 2xef
12、 xm xx 恰有三个不同的零点，即方程22xemx有三个不同的实数根，设 22xeg xx，即直线ym与 g x的图象有三个不同的交点，求出 232xexgxx，讨论出函数 g x的单调区间，作出其大致图象，根据图象可求答案.【详解】由 20 xef xm xx 可得，22xemx，构造函数 22xeg xx，232xexgxx，令 0gx得到2x 或0 x，令 0gx得到02x，所以 g x的单调递增区间为 02+，递减区间为0 2，显然 220 xeg xx,当x 时，20 xe，210 x，则220 xex 当x 时，由指函数2xye增加的速度比幂函数2yx快得多，所以22xex.当0
13、 x 时,22xee,21x,所以22xex.画出函数 22xeg xx的大致图象，如图.努力的你，未来可期!精品 可知当0m 时，直线ym与 g x的图象无交点；当0m 时，函数 22xeg xx在2x 时取得极小值，且 124g.当14m 时，22xeg xx的图象与ym有三个不同的交点，即函数 2xef xm xx 恰有三个不同的零点，所以m的取值范围为1,4.故选：C【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数问题，考查构造函数利用导数解决问题的能力，属于中档题.12D【解析】由函数3()242()xxf xxxee，可得 33()2()4()2()242()xxxxfxxxeexxeef
14、 x ，所以函数 fx为奇函数，努力的你，未来可期!精品 又21()642()xxfxxee，因为1122xxxxeeee，所以 0fx，所以函数 fx为单调递增函数，因为2(52)(3)0fafa，即2(3)(52)(25)fafafa，所以223253520aaaa，解得113a，故选 D 点睛：本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的奇偶性和函数的单调性，转化为不等式23520aa是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性把不等式转化为()()f g xf h x的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转
15、化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x与()h x的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点 13(,1)【解析】【分析】本题现将不等式220 xax运用参变分离化简为2axx，再构造新函数2()f xxx求最大值，最后求实数 a的取值范围.【详解】解：不等式220 xax在区间1,4上有解，不等式22xax在区间1,4上有解，不等式2axx在区间1,4上有解，努力的你，未来可期!精品 令2()f xxx，（14x），则22()1fxx，当14x时，()0fx，()f x单调递减，max2()(1)111f xf 不等式2axx在区间1,4上有解，即max()af x 1a 故答案为：(
16、,1)【点睛】本题考查不等式存在性问题，借导函数研究原函数单调性求最大值，是中档题.1432【解析】【分析】由正弦定理得2sin2A，由平方关系和余弦定理可得322bc，再利用面积公式1sin2SbcA即可得解.【详解】由已知条件及正弦定理可得2sinsin2 2sinsinsinBCABC，易知sinsin0BC，所以2sin2A，又2226bca，所以2223cos2bcaAbcbc，努力的你，未来可期!精品 所以cos0A，所以22cos1sin2AA，即322bc，3 2bc，所以ABC的面积1123sin3 22222SbcA 故答案为：32.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三
17、角形面积公式的应用，属于中档题.15.【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，否定时要将存在量词改为全称量词，还要否定结论；写出原命题的逆命题，再判断真假；若pq为真命题，则必有一个为真命题，即可判断出；利用逆否命题的含义即可得出【详解】解：p：存在0 x R，0sin1x，是一个特称命题，由特称命题的否定是全称命题得，p：任意x R，sin1x，故对；命题“若01a，则函数 xfxa在R上是增函数”的逆命题为“若函数 xfxa在R上是增函数，则01a”，是一个假命题，故对；若pq为真命题，则p、q至少有一个是真命题，可以有一个是假命题，故错；命题“若22 0 xx ，则2x”的逆否命题是“
18、若2x，则220 xx”，故对；努力的你，未来可期!精品 故答案为：【点睛】本题综合考查了简易逻辑的有关知识、指数函数的单调性，属于基础题 1613()18，【解析】由题意可得3,363nnnabnn，满足2136nnab时，有：3633363183121,3323nnnnnnn，其中1118218318 72333nnnnnn，故当4n 时，336313318nnn取得最值，实数的取值范围是1318，17（1）23B；（2）42 3.解：（1）因为sin3 cosbCcB，所以sinsin3sincosBCCB 又sin0C，所以sin3cos BB，即tan3B 又0B，所以23B（2）由
19、余弦定理得22222cos()bacacBacac 因为2 3,4bac，所以4ac 努力的你，未来可期!精品 故ABC的周长为42 3 18（1）3nna；（2）1111nnTnn 解：（1）设数列 na的公比为q 依题意有：1131112,72,aa qa qa q 两式相比，整理得(1)6q q，解得3q 或2q 因为 na的各项均为正，所以3q，13a，所以3nna （2）33l3logognnnban，11111(1)1nnncb bn nnn，所以1111112231nTnn 1111nnn 19（1）a=2,b=-4；（2）13（1）函数 325f xxaxbx的导数为 232f
20、xxaxb，曲线 yf x在点 1,1Pf处的切线斜率为32kab，切点为1,6ab，由切线方程为31yx，可得323ab，64ab，解得2,4ab （2）函数 325f xxaxbx的导数 2344232fxxxxx，由 0fx，努力的你，未来可期!精品 可得23x 或2x；由 0fx，可得223x 则 f(x)的增区间为,2，2,3；减区间为22,3可得 f(x)的两极值点-2,23，f?(?-?2?)?=?-?8?+?8?+?8?+?5?=?13，28889553279327f，又f?(?-?3?)?=?-?27?+?18?+?12?+?5?=?8，14f故 y=f(x)在3,1上的最大
21、值为 13 20（1）2nna；（2）16232nnTn.解：（1）将点,nna S代入函数 yf x的解析式得到22nnSa.当1n 时，1122Sa，即1122aa，解得12a；当2n 时，由22nnSa得1122nnSa，上述两式相减得122nnnaaa，得12nnaa，即12nnaa.所以，数列 na是以2为首项，以2为公比的等比数列，因此，1222nnna；（2）2121 2nnnbnan，nN，因此1231 23 25 2212nnTn ，23121 23 2232212nnnTnn ，由得2311 22 22 22 2212nnnTn 211121 22221263221 2nn
22、nnn ，努力的你，未来可期!精品 所以16232nnTn20（1）3；（2）3 32 21（1）3B（2）(3 3,6【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理计算得到答案.（2）根据面积公式化简得到6sin6acA，根据角度范围得到值域.【详解】（1）22232cosRacBac，222232cosRacacBb，即33Rb，33sin222 3bBbRb，又B为锐角，3B.（2）ABC的面积31sin1223abcSac，3b，2 322 33Rb，又2sinsinacRAC，23ACB，2332(sinsin)2 3 sinsin2 3sincos322acRACAAAA 6sin6
23、A 由ABC是锐角三角形得,6 2A，努力的你，未来可期!精品 2,633A，3sin,162A，(3 3,6ac，即ac的取值范围为(3 3,6.【点睛】22（1）当0m时，g x的单调递增区间是0,，无递减区间；当0m 时，g x的单调递增区间是10,m，递减区间是1,m；（2）0,2ln2.（1）求得 g x的导函数，对m分成0m 和0m 两种情况，讨论函数 g x的单调区间.（2）将问题转化为 minmin3f xmg x，利用导数求得 fx的最小值，结合（1）对m分成111,1,022mmm三种情况进行分类讨论，求得 g x的最小值.从而确定m的取值范围.【详解】（1）由 ln0g
24、xxmx x，得 1gxmx.当0m 时，0gx，所以 g x的单调递增区间是0,，没有减区间.当0m 时，由 0gx，解得10 xm；由 0gx，解得1xm，所以 g x的单调递增区间是10,m，递减区间是1,m.综上所述，当0m 时，g x的单调递增区间是0,，无递减区间；当0m 时，g x的单调递增区间是10,m，递减区间是1,m.（2）当0m 时，对任意 11,2x，存在21,2x，使得 123f xmg x成立，只需 minmin3f xmg x成立.努力的你，未来可期!精品 由 11 lnln1ln1xxxf xxxxx，得 2221 ln11lnxxxfxxxxx.令 ln0h
25、xxx x，则 1xh xx.所以当0,1x时，0hx，当1,x时，0hx.所以 h x在0,1上递减，在1,上递增，且 11h，所以 min110h xh xh.所以 0fx，即 fx在0,上递增，所以 fx在1,2上递增，所以 min12f xf.由（1）知，当0m 时，g x在10,m上递增，在1,m上递减，当101m即m1时，g x在 1,2上递减，min2ln22g xgm；当112m即112m时，g x在11,m上递增，在1,2m上递减，minmin1,2g xgg，由 21ln22ln2ggmmm，当1ln22m时，21gg，此时 min1g xgm，当ln21m时，21gg，此时 min2ln22g xgm，当12m即102m时，g x在 1,2上递增，min1g xgm，所以当0ln2m时，min1g xgm，由0ln223mmm，得0ln2.m 当ln2m时，min2ln22g xgm，由ln223ln22mmm，得 ln22ln2m 努力的你，未来可期!精品 02ln2m综上，所求实数 m的取值范围是0,2ln2【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究不等式恒成立、存在性综合问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题